3.1: Análisis vectorial

Introducción a los vectores

Ciertas cantidades físicas como la masa o la temperatura absoluta en algún punto del espacio solo tienen magnitud. Un solo número puede representar cada una de estas cantidades, con unidades apropiadas, que se denominan cantidades escalares. Hay, sin embargo, otras cantidades físicas que tienen tanto magnitud como dirección. La fuerza es un ejemplo de una cantidad que tiene tanto dirección como magnitud (fuerza). Se necesitan tres números para representar la magnitud y dirección de una cantidad vectorial en un espacio tridimensional. Estas cantidades se denominan cantidades vectoriales. Las cantidades de vectores también satisfacen dos operaciones distintas, la adición de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar. Podemos sumar dos fuerzas juntas y la suma de las fuerzas debe satisfacer la regla para la adición vectorial. Podemos multiplicar una fuerza por un escalar aumentando o disminuyendo así su fuerza. La posición, el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza y el momento son todas cantidades físicas que pueden ser representadas matemáticamente por vectores. El conjunto de vectores y las dos operaciones forman lo que se llama un espacio vectorial. Hay muchos tipos de espacios vectoriales pero limitaremos nuestra atención al tipo muy familiar de espacio vectorial en tres dimensiones que la mayoría de los estudiantes han encontrado en sus cursos de matemáticas. Comenzaremos nuestra discusión definiendo lo que entendemos por un vector en el espacio tridimensional, y las reglas para las operaciones de adición vectorial y multiplicación de un vector por un escalar.

Propiedades de Vectores

Un vector es una cantidad que tiene tanto dirección como magnitud. Deje que un vector sea denotado por el símbolo\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). La magnitud de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) es\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \equiv A\). Podemos representar vectores como objetos geométricos usando flechas. La longitud de la flecha corresponde a la magnitud del vector. La flecha apunta en la dirección del vector (Figura 3.1).

Figura 3.1: Vectores como flechas. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Hay dos operaciones definitorias para vectores:

(1) Adición de vectores

Se pueden agregar vectores. Dejar\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) ser dos vectores. Definimos un nuevo vector\( \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\), la “adición vectorial” de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\), por una construcción geométrica. Dibuja la flecha que representa\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Coloca la cola de la flecha que representa\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) en la punta de la flecha para\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) como se muestra en la Figura 3.2a. La flecha que inicia en la cola de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y va a la punta de\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) se define como la “suma vectorial”\( \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\). Existe una construcción equivalente para la ley de adición vectorial. Los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) y se\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) pueden dibujar con sus colas en el mismo punto. Los dos vectores forman los lados de un paralelogramo. La diagonal del paralelogramo corresponde al vector\( \overrightarrow{\mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}\), como se muestra en la Figura 3.2b.

Figura 3.2a (CC BY-NC; Ümit Kaya)

Figura 3.2b (CC BY-NC; Ümit Kaya)

La adición de vectores satisface las siguientes cuatro propiedades:

i) Conmutatividad

El orden de adición de vectores no importa;\[\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}} = \overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \] Nuestra definición geométrica para la adición de vectores satisface la propiedad conmutativa (3.1.1). Podemos entender esto geométricamente porque en la representación de cabeza a cola para la adición de vectores, no importa con qué vector empieces, la suma es el mismo vector, como se ve en la Figura 3.3.

Figura 3.3: Propiedad conmutativa de la adición de vectores. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

ii) Asociatividad

Al agregar tres vectores, no importa con qué dos comiences\[(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) + \overrightarrow{\mathbf{C}} = \overrightarrow{\mathbf{A}}+(\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}}) \nonumber \] En la Figura 3.4a, agregamos\((\overrightarrow{\mathbf{B}}+\overrightarrow{\mathbf{C}})+\overrightarrow{\mathbf{A}}\), y usamos la conmutatividad\(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}}) + \overrightarrow{\mathbf{C}}\) para llegar al mismo vector que en la Figura 3.4a.

Figura 3.4a Derecho asociativo. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

(iii) Elemento de Identidad para Adición de Vector

Hay un vector único,\(\overrightarrow{\mathbf{0}}\), que actúa como un elemento de identidad para la adición del vector. Para todos los vectores\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\),\[\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{0}} = \overrightarrow{\mathbf{0}}+\overrightarrow{\mathbf{A}} = \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \]

(iv) Elemento Inverso para Adición de Vector

Por cada vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) hay un vector inverso único\(-\overrightarrow{\mathbf{A}}\) tal que\[\overrightarrow{\mathbf{A}} + (-\overrightarrow{\mathbf{A}}) = \overrightarrow{\mathbf{0}} \nonumber \] El vector\(-\overrightarrow{\mathbf{A}}\) tiene la misma magnitud que\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\),\(|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=|-\overrightarrow{\mathbf{A}}|=A\) pero apuntan en direcciones opuestas (Figura 3.5).

Figura 3.5 Aditivo inverso. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

(2) Multiplicación escalar de vectores

Los vectores se pueden multiplicar por números reales. Dejar\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) ser un vector. \(\text{c}\)Déjese ser un número positivo real. Entonces la multiplicación de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) por\(\text{c}\) es un nuevo vector, que denotamos por el símbolo\(c \overrightarrow{\mathbf{A}}\). La magnitud de\(c \overrightarrow{\mathbf{A}}\) es\(\text{c}\) veces la magnitud de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) (Figura 3.6a),\[|c \overrightarrow{\mathbf{A}}|=c|\overrightarrow{\mathbf{A}}| \nonumber \] Let\(c > 0\), entonces la dirección de\(c \overrightarrow{\mathbf{A}}\) es la misma que la dirección de\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\). Sin embargo, la dirección de\(-c \overrightarrow{\mathbf{A}}\) es opuesta a\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) (Figura 3.6).

Figura 3.6 Multiplicación del vector\(\overrightarrow{\mathbf{A}}\) por\(c > 0\), y\(−c < 0\). (CC BY-NC; Ümit Kaya)

La multiplicación escalar de vectores satisface las siguientes propiedades:

(i) Ley Asociativa para la Multiplicación Escalar

El orden de multiplicar números es no importa. Dejemos\(b\) y\(c\) sean números reales. Entonces

\[b(c \overrightarrow{\mathbf{A}})=(b c) \overrightarrow{\mathbf{A}}=(c b \overrightarrow{\mathbf{A}})=c(b \overrightarrow{\mathbf{A}}) \nonumber \]

ii) Ley Distributiva para Adición de Vectores

Los vectores satisfacen una ley distributiva para la adición de vectores. \(c\)Déjese ser un número real. Entonces

\[c(\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathbf{B}})=c \overrightarrow{\mathbf{A}}+c \overrightarrow{\mathbf{B}} \nonumber \]

La figura 3.7 ilustra esta propiedad.

Figura 3.7 Ley Distributiva para la adición de vectores. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

iii) Ley Distributiva para la Adición Escalar

Los vectores también satisfacen una ley distributiva para la adición escalar. Dejar\(b\) y\(c\) ser números reales.Entonces\[(b+c) \overrightarrow{\mathbf{A}}=b \overrightarrow{\mathbf{A}}+c \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \] Nuestra definición geométrica de adición vectorial y multiplicación escalar satisface esta condición como se ve en la Figura 3.8.

Figura 3.8 Ley distributiva para multiplicación escalar. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

iv) Elemento Identidad para Multiplicación Escalar

El número 1 actúa como un elemento de identidad para la multiplicación,

\[1\overrightarrow{\mathbf{A}} = \overrightarrow{\mathbf{A}} \nonumber \]

Definición: Vector de unidad

Dividir un vector por su magnitud da como resultado un vector de unidad de longitud que denotamos con un símbolo de signo de contraste

\[\hat{\mathbf{A}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{A}}}{|\overrightarrow{\mathbf{A}}|} \nonumber \]

Tenga en cuenta que\(|\hat{\mathbf{A}}|=|\overrightarrow{\mathbf{A}}| /|\overrightarrow{\mathbf{A}}|=1\)