7.S: Simetrías, invarianza y el hamiltoniano (Resumen)

Este capítulo ha explorado la importancia de las simetrías y la invarianza en la mecánica lagrangiana y ha introducido la hamiltoniana. A continuación se resumen las importantes conclusiones derivadas de este capítulo.

Teorema de Noether:

El teorema de Noether explora la notable conexión entre la simetría, más la invarianza de un sistema en transformación, y las leyes de conservación relacionadas que implican la existencia de importantes principios físicos y constantes de movimiento. Las transformaciones donde las ecuaciones de movimiento son invariantes se denominan transformaciones invariantes. Las variables que son invariantes a una transformación se denominan variables cíclicas. Se demostró que si el lagrangiano no contiene explícitamente una coordenada particular de desplazamiento,\(q_{i}\) entonces\(\dot{p}_{i}\) se conserva el momento conjugado correspondiente. Este es el teorema de Noether que establece “Para cada simetría del lagrangiano, hay una cantidad conservada”. En particular se demostró que la invarianza traslacional en una dirección dada conduce a la conservación del momento lineal en esa dirección, y la invarianza rotacional alrededor de un eje conduce a la conservación del momento angular alrededor de ese eje. Estas son las integrales espaciales y angulares de primer orden de las ecuaciones de movimiento. El teorema de Noether también relaciona las propiedades del hamiltoniano con la invarianza temporal del lagrangiano, a saber;

(1)\(H\) se conserva si, y sólo si, el lagrangiano, y consecuentemente el hamiltoniano, no son funciones explícitas del tiempo.

(2) El hamiltoniano da la energía total si las restricciones y transformaciones de coordenadas son independientes del tiempo y la energía potencial es independiente de la velocidad. Esto equivale a afirmar que\(H=E\) si las restricciones, o coordenadas generalizadas, para el sistema son independientes del tiempo.

El teorema de Noether es importante ya que subyace a la relación entre simetrías e invarianzas en toda la física; es decir, su aplicabilidad se extiende más allá de la mecánica clásica.

Impulso generalizado:

El impulso generalizado asociado a la coordenada\(q_{j}\) se define como

\[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\equiv p_{j} \label{7.3}\]donde también\(p_{j}\) se llama el momento conjugado (o impulso canónico) a\(q_{j}\) donde\(q_{j},p_{j}\) son variables conjugadas, o canónicas. Recuerde que el impulso lineal\(p_{j}\) es la integral de tiempo de primer orden dada por la ecuación\((3.4.1)\). Tenga en cuenta que si no\(q_{j}\) es una coordenada espacial, entonces no\(p_{j}\) es impulso lineal, sino que es el momento conjugado. Por ejemplo, si\(q_{j}\) es un ángulo, entonces\(p_{j}\) será momento angular.

Energía cinética en coordenadas generalizadas:

Se demostró que la energía cinética puede expresarse en términos de coordenadas generalizadas mediante\[\begin{align} T(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t) &=&\sum_{\alpha }\sum_{i,j,k}\frac{1}{2}m_{\alpha }\frac{ \partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{ \partial q_{k}}\dot{q}_{j}\dot{q}_{k}+\sum_{\alpha }\sum_{i,j}m_{\alpha } \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial q_{j}}\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{ \partial t}\dot{q}_{j}+\sum_{\alpha }\sum_{i}\frac{1}{2}m_{\alpha }\left( \frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t}\right) ^{2} \label{7.19} \\ &=&T_{2}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)+T_{1}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}} ,t)+T_{0}(\mathbf{q},t)\end{align}\]

Para sistemas escleronómicos con un potencial que es independiente de la velocidad, entonces la energía cinética se puede expresar como\[T=T_{2}=\frac{1}{2}\sum_{l}\dot{q}_{l}p_{l}=\frac{1}{2}\mathbf{\dot{q}\cdot p } \label{7.31}\]

Energía generalizada

La Energía Generalizada de Jacobi\(h(\mathbf{q},\dot{q},t)\) se definió como\[h(\mathbf{q},\mathbf{ \dot{q}},t)\equiv \sum_{j}\left( \dot{q}_{j}\frac{\partial L}{\partial \dot{q }_{j}}\right) -L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \label{7.36}\]

Función hamiltoniana

El hamiltoniano\(H\left( \mathbf{q,p,}t\right)\) se definió en términos de la energía generalizada\(h(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\) y mediante la introducción del impulso generalizado. Eso es\[H\left( \mathbf{q,p,}t\right) \equiv h(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}} ,t)=\sum_{j}p_{j}\dot{q}_{j}-L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)=\mathbf{p\cdot \dot{q}-}L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) \label{7.37}\]

Teorema de la energía generalizada

Las ecuaciones de movimiento conducen al teorema de energía generalizada que establece que la dependencia del tiempo del hamiltoniano está relacionada con la dependencia del tiempo del lagrangiano.

\[\frac{dH\left( \mathbf{q,p,}t\right) }{dt}=\sum_{j}\dot{q}_{j}\left[ Q_{j}^{EXC}+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}( \mathbf{q},t)\right] -\frac{\partial L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{ \partial t} \label{7.38} \]

Tenga en cuenta que si todas las fuerzas generalizadas no potenciales son cero, entonces el paréntesis en la Ecuación\ ref {7.38} es cero, y si el Lagrangiano no es una función explícita del tiempo, entonces el hamiltoniano es una constante de movimiento.

Energía generalizada y energía total:

La energía generalizada, y correspondiente hamiltoniana, equivalen a la energía total si:

1) La energía cinética tiene una dependencia cuadrática homogénea de las velocidades generalizadas y la transformación a coordenadas generalizadas es independiente del tiempo, \(\frac{\partial x_{\alpha ,i}}{\partial t}=0.\)

2) La energía potencial no depende de la velocidad, por lo tanto los términos\(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{i}}=0.\)

El capítulo\(8\) presentará la mecánica hamiltoniana que se construye sobre la hamiltoniana, y el capítulo\(15\) explorará las aplicaciones de la mecánica hamiltoniana.