19.3: Apéndice - Álgebra vectorial

Operaciones lineales

Los campos de fuerza importantes en la mecánica clásica, es decir, gravitación, eléctrica y magnética, son campos vectoriales que tienen una magnitud y dirección dependientes de la posición. Por lo tanto, es útil resumir el álgebra de campos vectoriales.

Un vector\(\mathbf{a}\) tiene tanto una magnitud\(|a|\) como una dirección definida por el vector unitario\(\mathbf{\hat{e}}_a\), es decir, el vector se puede escribir como un carácter en negrita\(\mathbf{a}\) donde

\[\mathbf{a} =a \cdot \mathbf{\hat{e}}_a \label{B.1}\]

donde por convención se omite el signo de módulo implícito. El símbolo hat en el vector\(\mathbf{\hat{e}}_a\) designa que este es un vector unitario con módulo\(|\mathbf{\hat{e}}_a| = 1\).

Se supone que los campos de fuerza vectorial son lineales y, en consecuencia, obedecen al principio de superposición, son conmutativos, asociativos y distributivos como se ilustra a continuación para tres vectores\(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\) más un multiplicador escalar\(\gamma \).

\[\begin{align} \mathbf{a} \pm \mathbf{b} &= \pm \mathbf{b} + \mathbf{a} \label{B.2} \\[4pt] \mathbf{a}+ (\mathbf{b} + \mathbf{c}) &= (\mathbf{a} + \mathbf{b}) +\mathbf{c} \\[4pt] \gamma (\mathbf{a} + \mathbf{b}) &= \gamma \mathbf{a}+\gamma \mathbf{b} \end{align}\]

La manipulación de vectores se facilita enormemente mediante el uso de componentes a lo largo de un sistema de coordenadas ortogonales definido por tres vectores\((\mathbf{\hat{e}}_1,\mathbf{\hat{e}}_2,\mathbf{\hat{e}}_3) \) unitarios ortogonales Por ejemplo, el sistema de coordenadas cartesianas está definido por tres vectores unitarios que, por convención, se denominan\((\mathbf{\hat{i}},\mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}})\).

Producto escalar

La multiplicación de dos vectores puede producir un tensor de 9 componentes que puede ser representado por una\(3 \times 3\) matriz como se discute en el apéndice\(19.5\). Hay dos casos especiales para la multiplicación de vectores que son importantes para el álgebra vectorial; el primero es el producto escalar y el segundo es el producto vectorial.

El producto escalar de dos vectores se define como

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |a| |b| \cos \theta \label{B.3}\]

donde\(\theta\) está el ángulo entre los dos vectores. Es un escalar y por lo tanto es independiente de la orientación del sistema de ejes de coordenadas. Tenga en cuenta que el producto escalar conmuta, es distributivo y asociativo con un multiplicador escalar, es decir

\[\mathbf{a} \cdot\mathbf{ b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \label{B.4} \\ \mathbf{a}\cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \\ (\lambda \mathbf{a})\cdot \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}) \]

Tenga en cuenta que\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |a|^2\) y si\(\mathbf{a}\) y\(\mathbf{b}\) son perpendiculares entonces\(\cos \theta = 0\) y por lo tanto\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =0\)

Si los tres vectores unitarios\((\mathbf{\hat{e}}_1,\mathbf{\hat{e}}_2,\mathbf{\hat{e}}_3)\) forman una base ortonormal, es decir, son vectores unitarios ortogonales, entonces a partir de las ecuaciones\ ref {B.3} y\ ref {B.4}

\[\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_k = \delta_{ik} \label{B.5}\]

Si\(\mathbf{\hat{a}}\) es el vector unitario para el vector\(\mathbf{a}\) entonces el producto escalar de un vector\(\mathbf{a}\) con uno de estos vectores unitarios\(\mathbf{\hat{e}}_n\) da el coseno del ángulo entre el vector\(\mathbf{a}\) y\(\mathbf{\hat{e}}_n\), es decir

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{e}}_1 = |a|(\mathbf{\hat{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_1) = |a| \cos \alpha \label{B.6} \\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{e}}_2 = |a|(\mathbf{\hat{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_2) = |a| \cos \beta \\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{e}}_3 = |a|(\mathbf{\hat{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_3) = |a| \cos \gamma \]

donde los cosenos se denominan cosenos de dirección ya que definen la dirección del vector a con respecto a cada vector de unidad de base ortogonal. Además,\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat{e}}_1 = |a| \mathbf{\hat{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_1 = |a| \cos \alpha\) es el componente de\(\mathbf{a}\) a lo largo del\(\mathbf{\hat{e}}_1\) eje. Así, los tres componentes del vector\(\mathbf{a}\) se definen completamente por la magnitud\(|a|\) y los cosenos de dirección, correspondientes a los ángulos\(\alpha, \beta, \gamma \). Es decir,

\[a_1 = |a|(\mathbf{\hat{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_1) = |a| \cos \alpha \label{B.7} \\ a_2 = |a|(\mathbf{\hat{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_2) = |a| \cos \beta \\ a_3 = |a|(\mathbf{\hat{a}} \cdot \mathbf{\hat{e}}_3) = |a| \cos \gamma \]

Si los vectores de tres unidades\((\mathbf{\hat{e}}_1,\mathbf{\hat{e}}_2,\mathbf{\hat{e}}_3)\) forman una base ortonormal, entonces el vector está completamente definido por

\[\mathbf{a} = a_1\mathbf{\hat{e}}_1 + a_2\mathbf{\hat{e}}_2 + a_3\mathbf{\hat{e}}_3 \label{B.8}\]

Considerar dos vectores

\[\mathbf{a} = a_1\mathbf{\hat{e}}_1 + a_2\mathbf{\hat{e}}_2 + a_3\mathbf{\hat{e}}_3 \nonumber\]

\[\mathbf{b} = b_1\mathbf{\hat{e}}_1 + b_2\mathbf{\hat{e}}_2 + b_3\mathbf{\hat{e}}_3 \nonumber\]

Luego usando\ ref {B.5}

\[\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |a| |b| \cos \theta \label{B.9}\]

donde\(\theta\) está el ángulo entre los dos vectores. En particular, desde la dirección coseno\(\cos \alpha_a = \frac{ a_1}{ |a|} \), entonces la Ecuación\ ref {B.9} da

\[\cos \theta = \cos \alpha_a \cos \alpha_b + \cos \beta_a \cos \beta_b + \cos \gamma_a \cos \gamma_b \label{B.10}\]

Tenga en cuenta que cuando\(\theta = 0\) entonces\ ref {B.10} da

\[\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \label{B.11}\]

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores se define como

\[\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b }= |a| |b| \sin \theta \mathbf{\hat{n}} \label{B.12}\]

donde\(\theta\) es el ángulo entre los vectores y\(\mathbf{\hat{n}}\) es un vector unitario perpendicular al plano definido por\(\mathbf{a}\) y\(\mathbf{b}\) tal que los vectores unitarios\(\left( \mathbf{\hat{a}}, \mathbf{\hat{b}}, \mathbf{\hat{n}} \right)\) obedecen una regla de tornillo diestro. El producto vector actúa como un pseudovector que comprende un vector normal multiplicado por un factor de signo que depende de la manejabilidad del sistema como se describe en el apéndice\(19.4.3\).

Los componentes de\(\mathbf{c}\) están definidos por la relación

\[c_i \equiv \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}a_j b_k \label{B.13}\]

donde el símbolo de permutación (Levi-Civita)\(\varepsilon_{ijk}\) tiene las siguientes propiedades

\[\begin{align} \varepsilon_{ijk} = 0 && \text{ if an index is equal to any another index} \nonumber\\ \varepsilon_{ijk} = +1 && \text{ if } i,j,k, \text{ form an even permutation of } 1, 2, 3 \label{B.14}\\ \varepsilon_{ijk} = −1 && \text{ if } i,j,k, \text{ form an odd permutation of }1, 2, 3 \nonumber \end{align}\]

Por ejemplo, si los vectores de tres unidades\((\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3)\) forman una base ortonormal, entonces\(\mathbf{\hat{e}}_i \equiv \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}\mathbf{\hat{e}}_j\mathbf{\hat{e}}_k\), i.e.

\[\begin{align} \mathbf{\hat{e}}_1 \times \mathbf{\hat{e}}_2 = \mathbf{\hat{e}}_3 && \mathbf{\hat{e}}_2 \times \mathbf{\hat{e}}_3 = \mathbf{\hat{e}}_1 && \mathbf{\hat{e}}_3 \times \mathbf{\hat{e}}_1 = \mathbf{\hat{e}}_2 \label{B.15}\\ \mathbf{\hat{e}}_2 \times \mathbf{\hat{e}}_1 = −\mathbf{\hat{e}}_3 && \mathbf{\hat{e}}_3 \times \mathbf{\hat{e}}_2 = −\mathbf{\hat{e}}_1 && \mathbf{\hat{e}}_1 \times \mathbf{\hat{e}}_3 = −\mathbf{\hat{e}}_2 \label{B.16}\\ \mathbf{\hat{e}}_1 \times \mathbf{\hat{e}}_1 = \mathbf{0} && \mathbf{\hat{e}}_2 \times \mathbf{\hat{e}}_2 = \mathbf{0} && \mathbf{\hat{e}}_3 \times \mathbf{\hat{e}}_0 = \mathbf{0} \label{B.17}\end{align}\]

El producto vector anticonmuta en que

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = −\mathbf{b} \times \mathbf{a} \label{B.18}\]

Sin embargo, es distributivo y asociativo con un multiplicador escalar

\[\mathbf{a}\times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c} \label{B.19}\]

\[(\lambda \mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \lambda (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \label{B.20}\]

Tenga en cuenta que cuando\(\sin \theta = 0\) entonces\(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = 0\) y en particular,\(\mathbf{a} \times \mathbf{a} = 0\).

Considerar dos vectores

\[\mathbf{a} = a_1\mathbf{\hat{e}}_1 + a_2\mathbf{\hat{e}}_2 + a_3\mathbf{\hat{e}}_3 \nonumber\]

\[\mathbf{b} = b_1\mathbf{\hat{e}}_1 + b_2\mathbf{\hat{e}}_2 + b_3\mathbf{\hat{e}}_3 \nonumber\]

Luego usando las ecuaciones\ ref {B.12} y\ ref {B.15} −\ ref {B.17}

\[\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |a| |b| \sin \theta = \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{e}}_1 & \mathbf{\hat{e}}_2 & \mathbf{\hat{e}}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \mathbf{\hat{e}}_1 (a_2b_3 − a_3b_2) + \mathbf{\hat{e}}_2 (a_3b_1 − a_1b_3) + \mathbf{\hat{e}}_3 (a_1b_2 − a_2b_1) \nonumber\]

donde\(\theta\) es el ángulo entre los dos vectores y el determinante se evalúa para la fila superior. Ejemplos de productos vectoriales son el par\(\mathbf{N} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}\), el momento\(\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}\) angular y la fuerza magnética\(\mathbf{F}_B = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}\).

Productos triples

Los siguientes productos triples escalares y vectoriales se pueden formar a partir del producto de tres vectores y se utilizan frecuentemente.

Productos triples escalares

Existen varias permutaciones de productos triples escalares de tres vectores\([\mathbf{a},\mathbf{b}, \mathbf{c}]\) que son idénticos.

\[\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \mathbf{c}\cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{b}\cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})=(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = −\mathbf{a}\cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{b}) \label{B.21}\]

Es decir, el producto escalar es invariante a permutaciones cíclicas de los tres vectores pero cambia signo por intercambio de dos vectores. El producto escalar no cambia intercambiando el escalar\((dot)\) y el vector\((cross)\).

Debido a la simetría, el producto triple escalar se puede denotar como\([ \mathbf{ a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}]\) y

\[ \begin{align} [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] > 0 && \text{ if } [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] \text{ is right-handed} \nonumber\\ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}]=0 && \text{ if } [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] \text{ is coplanar} \label{B.22} \\ [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] < 0 && \text{ if } [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] \text{ is left-handed} \nonumber\end{align}\]

El triple producto escalar se puede escribir en términos de los componentes usando un determinante

\[[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \label{B.23}\]

Producto triple vectorial

El producto triple del vector\(\mathbf{a}\times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) es un vector. Ya que\((\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) es perpendicular al plano de\(\mathbf{b}, \mathbf{c}\), entonces\(\mathbf{a}\times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})\) debe estar en el plano que contiene\(\mathbf{b}, \mathbf{c}\). Por lo tanto, el triple producto se puede ampliar en términos de\(\mathbf{b}, \mathbf{c}\), según lo dado por la siguiente identidad

\[\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} − (\mathbf{a} \cdot \mathbf{ b}) \mathbf{c} \label{B.24}\]

Problemas

1. Particiona los siguientes ejercicios entre tus colaboradores. Una vez que hayas completado tu problema, consulta con un compañero de clase antes de escribirlo en la pizarra. Después de haber verificado que ha encontrado la solución correcta, escriba su respuesta en el espacio provisto en la pizarra, cuidando de incluir los pasos que utilizó para llegar a su solución. Se necesita la siguiente información.

\(\mathbf{a} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} − 9\mathbf{k}\)	\(\mathbf{b} = −2\mathbf{i} + 3\mathbf{k}\)	\(\mathbf{c} = −2\mathbf{i} + \mathbf{j} − 6\mathbf{k}\)	\(\mathbf{d} = \mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 4\mathbf{k}\)
\(\mathbf{E} = \begin{pmatrix} 2 & 7 & −4 \\ 3 & 1 & −2 \\ −2 & 0 & 5 \end{pmatrix}\)	\(\mathbf{F} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\)	\(\mathbf{G} = \begin{pmatrix} 2 & −4 \\ 7 & 1 \\ −1 & 1 \end{pmatrix}\)	\(\mathbf{H} = \begin{pmatrix} −8 & −1 & −3 \\ −4 & 2 & −2 \\ −1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Calcula cada una de las siguientes

1. \(|\mathbf{a} − (\mathbf{b} + \mathbf{3c})|\)	7. \((\mathbf{EH})^T\)
2. Componente de a\(\mathbf{c}\) lo largo\(\mathbf{a}\)	8. \(|\mathbf{HE}|\)
3. Ángulo entre\(\mathbf{c}\) y\(\mathbf{d}\)	9. \(\mathbf{EHG}\)
4. \((\mathbf{b} \times \mathbf{d}) \cdot \mathbf{a}\)	10. \(\mathbf{EG} − \mathbf{HG}\)
5. \((\mathbf{b} \times \mathbf{d}) \times \mathbf{a}\)	11. \(\mathbf{EH} − \mathbf{H}^T \mathbf{E}^T\)
6. \(\mathbf{b}\times (\mathbf{d} \times \mathbf{a})\)	12. \(\mathbf{F}^{−1}\)

2. ¿Para qué valores de\(a\) son los vectores\(\mathbf{A} = 2a\hat{i} − 2\hat{j} + a\hat{k}\) y\(\mathbf{B} = a\hat{i} + 2a\hat{j}+ 2\hat{k}\) perpendiculares?

3. Demostrar que el producto escalar triple\((A \times B) \cdot C\) puede escribirse como

\[(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C} = \begin{vmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \\ C_1 & C_2 & C_3 \end{vmatrix} \nonumber\]

Mostrar también que el producto no se ve afectado por el intercambio de las operaciones del producto escalar y vectorial o por el cambio en el orden de\(A, B, C\) siempre y cuando estén en orden cíclico, es decir

\[(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C} = \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A}) =(\mathbf{C} \times \mathbf{A}) \cdot \mathbf{ B} \nonumber\]

Por lo tanto, podemos usar la notación\(ABC\) para denotar el producto escalar triple. Finalmente dar una interpretación geométrica de\(ABC\) calculando el volumen del paralelepípedo definido por los tres vectores\(\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\).