4.5: Fuerza
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Objetivos de aprendizaje
- Explicar la fuerza y la relatividad
La fuerza es un concepto que rara vez se necesita en la relatividad, y por eso esta sección es opcional.
Cuatro fuerzas
Por analogía con la mecánica newtoniana, definimos un vector de fuerza relativista
F=m⋅a
dondea está el cuatro vector de aceleración (sección 3.5) ym es la masa de una partícula que tiene esa aceleración como resultado de la fuerzaF. Esto equivale a
F=dpdτ
dondep está la masa de la partícula yτ su tiempo adecuado. Dado que la parte similar al tiempop es la energía de masa de la partícula, el componente temporal de la fuerza está relacionado con el poder consumido por la fuerza. Estas definiciones sólo funcionan para partículas masivas, ya que para una partícula sin masa no podemos definira oτ. Fse ha definido en términos de invariantes de Lorentz y cuatro vectores, y por lo tanto se transforma como un cuatro vector temeroso de Dios.
La fuerza medida por un observador
El problema con todo esto es queF no es lo que realmente medimos cuando medimos una fuerza, excepto si nos encontramos en un marco de referencia que momentáneamente coincide con el resto del marco de la partícula. Al igual que con la velocidad y la aceleración (sección 3.7), tenemos un cuatro vector que tiene propiedades de transformación simples y estándar, pero una diferenteFo, que es lo que en realidad mide el observadoro. Se define como
Fo=dpdt
con adt en el denominador en lugar de adτ. Es decir, mide la tasa de transferencia de impulso de acuerdo con el observador, cuya coordenada de tiempo est, noτ —a menos que el observador se mueva junto con la partícula. A diferencia de los tres vectoresvo yao, cuyos componentes similares al tiempo son cero por definición según el observadoro,Fo generalmente tiene un componente temporal que no desaparece, que es la tasa de cambio de la masa-energía de la partícula, es decir, la potencia. Podemos referirnos a la parte espacial deFo como la de tres fuerzas.
Los dos ejemplos siguientes muestran que un objeto que se mueve a velocidades relativistas tiene menos inercia en la dirección transversal que en la longitudinal. Un corolario es que la triple aceleración no necesita ser paralela a la de tres fuerzas.
Ejemplo4.5.1: Circular motion
Para una partícula en movimiento circular uniforme,γ es constante, y tenemos
Fo=ddt(mγv)=mγdvdt
La masa-energía de la partícula es constante, por lo que el componente temporal deFo sí resulta ser cero en este ejemplo. En términos de los tres vectoresvo yao definidos en la sección 3.7, tenemos
Fo=mγdvodt=mγao
que es mayor que el valor newtoniano por el factorγ. Como ejemplo práctico, en un tubo de rayos catódicos (CRT) como el tubo en un osciloscopio o televisión anticuados, un haz de electrones se acelera hasta una velocidad relativista. Para pintar una imagen en la pantalla, la viga tiene que ser dirigida por fuerzas transversales, y dado que los ángulos de deflección son pequeños, la línea mundial de la viga es aproximadamente la de movimiento circular uniforme. La fuerza requerida para desfletar la viga es mayor en un factor deγ lo que se habría esperado según las leyes de Newton.
Ejemplo4.5.2: Linear motion
Para el movimiento lineal acelerado en la dirección x, ignorandoy yz, tenemos un vector de velocidad
v=drdτ
cuyox componente esγv. Entonces
Fo,x=md(γv)dt=md(γ)dtv+mγdvdt=mdγdvdvdt+mγa=m(v2γ3a+γa)=maγ3
La inercia aparente de la partícula se incrementa por un factor deγ3 debido a la relatividad.
Los resultados de los dos ejemplos anteriores se pueden combinar de la siguiente manera:
Fo=mγao,⊥+mγ3ao,∥
donde los subíndices⊥ y∥ se refieren a las partes deao perpendicular y paralela avo.
Transformación de la fuerza medida por un observador
Definir un marco de referenciao para el marco inercial de referencia de un observador que se mueve junto con la partícula en un instante determinado en el tiempo. Entoncest es lo mismo queτ, yFo lo mismo queF. En este marco, la partícula está momentáneamente en reposo, por lo que el trabajo que se está realizando sobre ella desaparece, y los componentes temporales deFo yF son ambos cero.
Supongamos que hacemos una transformación Lorentz de o a un nuevo marcoo′, y supongamos que el impulso es paralelo aFo yF (que son ambos puramente espaciales en frameo). Llama a esta direcciónx. Entoncesdp=(dpt,dpx)=(0,dpx) se transforma adp′=(−γvdpx,γdpx), así que esoFo′,x=dp′x/dt′=(γdpx)/(γdt)=Fo,x. Los dos factores deγ cancelación, y nos encontramos con esoFo′,x=Fo,x.
Ahora hagamos el caso donde el impulso está en lay dirección, perpendicular a la fuerza. La transformación de Lorentz no cambiadpy, entonces
Fo′,y=dp′ydt′=dpy(γdt)=Fo′,yγ
El resumen de nuestros resultados es el siguiente. DejarFo ser la fuerza que actúa sobre una partícula, medida en un marco instantáneamente comoving con la partícula. Entonces en un marco de referencia moviéndose relativo a éste, tenemos
Fo′,∥=Fo,∥
y
Fo′,⊥=Fo,⊥γ
donde∥ indica la dirección paralela a la velocidad relativa de los dos cuadros, y⊥ una dirección perpendicular a ella.
Trabajo
Considere la versión unidimensional de las tres fuerzas,F=dp/dt. Una ventaja de esta cantidad es que nos permite utilizar la forma newtoniana de la relación trabajo-energía cinética (unidimensional)dE/dx=F sin corrección. Prueba:
dEdx=dEdpdpdtdtdx=dEdpFv
Por diferenciación implícita de la definición de masa, encontramos quedE/dp=p/E, y esto a su vez equivalev por la identidad demostrada en el Ejemplo 4.3.2. Esto lleva al resultado reclamado, el cual es válido tanto para partículas sin masa como de material.