4.5: Fuerza

Objetivos de aprendizaje

• Explicar la fuerza y la relatividad

La fuerza es un concepto que rara vez se necesita en la relatividad, y por eso esta sección es opcional.

Cuatro fuerzas

Por analogía con la mecánica newtoniana, definimos un vector de fuerza relativista

\[F = m\cdot a\]

donde\(a\) está el cuatro vector de aceleración (sección 3.5) y\(m\) es la masa de una partícula que tiene esa aceleración como resultado de la fuerza\(F\). Esto equivale a

\[F = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \tau }\]

donde\(p\) está la masa de la partícula y\(τ\) su tiempo adecuado. Dado que la parte similar al tiempo\(p\) es la energía de masa de la partícula, el componente temporal de la fuerza está relacionado con el poder consumido por la fuerza. Estas definiciones sólo funcionan para partículas masivas, ya que para una partícula sin masa no podemos definir\(a\) o\(τ\). \(F\)se ha definido en términos de invariantes de Lorentz y cuatro vectores, y por lo tanto se transforma como un cuatro vector temeroso de Dios.

La fuerza medida por un observador

El problema con todo esto es que\(F\) no es lo que realmente medimos cuando medimos una fuerza, excepto si nos encontramos en un marco de referencia que momentáneamente coincide con el resto del marco de la partícula. Al igual que con la velocidad y la aceleración (sección 3.7), tenemos un cuatro vector que tiene propiedades de transformación simples y estándar, pero una diferente\(F_o\), que es lo que en realidad mide el observador\(o\). Se define como

\[F_o = \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t }\]

con a\(dt\) en el denominador en lugar de a\(dτ\). Es decir, mide la tasa de transferencia de impulso de acuerdo con el observador, cuya coordenada de tiempo es\(t\), no\(τ\) —a menos que el observador se mueva junto con la partícula. A diferencia de los tres vectores\(v_o\) y\(a_o\), cuyos componentes similares al tiempo son cero por definición según el observador\(o\),\(F_o\) generalmente tiene un componente temporal que no desaparece, que es la tasa de cambio de la masa-energía de la partícula, es decir, la potencia. Podemos referirnos a la parte espacial de\(F_o\) como la de tres fuerzas.

Los dos ejemplos siguientes muestran que un objeto que se mueve a velocidades relativistas tiene menos inercia en la dirección transversal que en la longitudinal. Un corolario es que la triple aceleración no necesita ser paralela a la de tres fuerzas.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Circular motion

Para una partícula en movimiento circular uniforme,\(γ\) es constante, y tenemos

\[F_o = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t }(m\gamma v) = m\gamma \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\]

La masa-energía de la partícula es constante, por lo que el componente temporal de\(F_o\) sí resulta ser cero en este ejemplo. En términos de los tres vectores\(v_o\) y\(a_o\) definidos en la sección 3.7, tenemos

\[F_o = m\gamma \frac{\mathrm{d} v_o}{\mathrm{d} t} = m\gamma a_o\]

que es mayor que el valor newtoniano por el factor\(γ\). Como ejemplo práctico, en un tubo de rayos catódicos (CRT) como el tubo en un osciloscopio o televisión anticuados, un haz de electrones se acelera hasta una velocidad relativista. Para pintar una imagen en la pantalla, la viga tiene que ser dirigida por fuerzas transversales, y dado que los ángulos de deflección son pequeños, la línea mundial de la viga es aproximadamente la de movimiento circular uniforme. La fuerza requerida para desfletar la viga es mayor en un factor de\(γ\) lo que se habría esperado según las leyes de Newton.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Linear motion

Para el movimiento lineal acelerado en la dirección x, ignorando\(y\) y\(z\), tenemos un vector de velocidad

\[v = \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \tau }\]

cuyo\(x\) componente es\(γv\). Entonces

\[\begin{align*} F_{o,x} &= m\frac{\mathrm{d} (\gamma v)}{\mathrm{d} t}\\ &= m\frac{\mathrm{d} (\gamma )}{\mathrm{d} t}v + m\gamma \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\\ &= m\frac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} v}\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} + m\gamma a\\ &= m\left ( v^2 \gamma ^3 a + \gamma a \right )\\ &= ma\gamma ^3 \end{align*}\]

La inercia aparente de la partícula se incrementa por un factor de\(γ^3\) debido a la relatividad.

Los resultados de los dos ejemplos anteriores se pueden combinar de la siguiente manera:

\[F_o = m\gamma a_{o,\perp } + m\gamma ^3 a_{o,\parallel }\]

donde los subíndices\(\perp\) y\(\parallel\) se refieren a las partes de\(a_o\) perpendicular y paralela a\(v_o\).

Transformación de la fuerza medida por un observador

Definir un marco de referencia\(o\) para el marco inercial de referencia de un observador que se mueve junto con la partícula en un instante determinado en el tiempo. Entonces\(t\) es lo mismo que\(τ\), y\(F_o\) lo mismo que\(F\). En este marco, la partícula está momentáneamente en reposo, por lo que el trabajo que se está realizando sobre ella desaparece, y los componentes temporales de\(F_o\) y\(F\) son ambos cero.

Supongamos que hacemos una transformación Lorentz de o a un nuevo marco\(o'\), y supongamos que el impulso es paralelo a\(F_o\) y\(F\) (que son ambos puramente espaciales en frame\(o\)). Llama a esta dirección\(x\). Entonces\(dp = (dp_t,dp_x) = (0,dp_x)\) se transforma a\(dp' = (-γv dp_x,γ dp_x)\), así que eso\(F_{o',x} = dp'_x/dt' = (γ dp_x)/(γ dt) = F_{o,x}\). Los dos factores de\(γ\) cancelación, y nos encontramos con eso\(F_{o',x} = F_{o,x}\).

Ahora hagamos el caso donde el impulso está en la\(y\) dirección, perpendicular a la fuerza. La transformación de Lorentz no cambia\(dp_y\), entonces

\[\begin{align*} F_{o',y} &= \frac{\mathrm{d} p'_y}{\mathrm{d} t'}\\ &= \frac{\mathrm{d} p_y}{(\gamma \mathrm{d} t)}\\ &= \frac{F_{o',y}}{\gamma } \end{align*}\]

El resumen de nuestros resultados es el siguiente. Dejar\(F_o\) ser la fuerza que actúa sobre una partícula, medida en un marco instantáneamente comoving con la partícula. Entonces en un marco de referencia moviéndose relativo a éste, tenemos

\[F_{o',\parallel } = F_{o,\parallel }\]

y

\[F_{o',\perp } = \frac{F_{o,\perp }}{\gamma }\]

donde\(\parallel\) indica la dirección paralela a la velocidad relativa de los dos cuadros, y\(\perp\) una dirección perpendicular a ella.

Trabajo

Considere la versión unidimensional de las tres fuerzas,\(F = dp/dt\). Una ventaja de esta cantidad es que nos permite utilizar la forma newtoniana de la relación trabajo-energía cinética (unidimensional)\(dE/dx = F\) sin corrección. Prueba:

\[\frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} p} \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{d} p} \frac{F}{v}\]

Por diferenciación implícita de la definición de masa, encontramos que\(dE/dp = p/E\), y esto a su vez equivale\(v\) por la identidad demostrada en el Ejemplo 4.3.2. Esto lleva al resultado reclamado, el cual es válido tanto para partículas sin masa como de material.