7.E: Coordenadas (Ejercicios)
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En el Ejemplo 7.4.2 se discutieron las coordenadas polares en el plano euclidiano. Utilice la técnica demostrada en la sección 7.3 para encontrar la métrica en estas coordenadas.
Q2
Las coordenadas cartesianas oblicuas son como coordenadas cartesianas normales en el plano, pero sus ejes están formando un ángulo\(\varphi \neq \pi /2\) entre sí. Mostrar que la métrica en estas coordenadas es
\[ds^2 = dx^2 + dy^2 + 2cos\varphi dxdy\]
Q3
Deje que un\(3\) plano\(U\) se defina en las coordenadas de Minkowski por la ecuación\(x = t\). ¿Este avión es espacial, temporal o ligero? Encontrar un covector\(S\to \) que sea normal\(U\) en el sentido descrito en la sección 7.6, describiéndolo en términos de sus componentes. Compute el vector\(S\), también en forma de componente. Verifica eso\(S\to S = 0\). Demostrar que\(\to S\) es tangente a\(M\).
Q4
Para las coordenadas cartesianas oblicuas definidas en el problema Q2, use el determinante de la métrica para mostrar que el tensor Levi-Civita es
\[\epsilon = \begin{pmatrix} 0 & \sin \varphi \\ -\sin \varphi & 0 \end{pmatrix}\]
Q5
Utilice la técnica demostrada en el Ejemplo 7.6.6, para encontrar el volumen de la esfera unitaria.