1.5: El principio de equivalencia (Parte 1)

Proporcionalidad de la masa inercial y gravitacional

¿Qué interpretación física debemos dar a las “líneas” descritas en geometría ordenada? Galileo describió un experimento (que pudo o no haber realizado realmente) en el que simultáneamente dejó caer una bala de cañón y una bola de mosquete desde una torre alta. Los dos objetos golpearon el suelo simultáneamente, desmentiendo la afirmación de Aristóteles de que los objetos cayeron a una velocidad proporcional a sus pesos. En una gráfica de espacio-tiempo con ejes x y t, las curvas trazadas por los dos objetos, llamadas sus líneas de mundo, son parábolas idénticas. (Los caminos de las bolas a través del espacio x − y − z son rectos, no curvados). Una manera de explicar esta observación es que lo que llamamos “masa” es realmente dos cosas separadas, que resultan ser iguales. La masa inercial, que aparece en el a = de Newton\(\frac{F}{m}\), describe lo difícil que es acelerar un objeto. La masa gravitacional describe la fuerza con la que actúa la gravedad. La bala de cañón tiene cien veces más masa gravitacional que la bola de mosquete, por lo que la fuerza de gravedad que actúa sobre ella es cien veces mayor. Pero su masa inercial también es precisamente cien veces mayor, por lo que los dos efectos se cancelan, y cae con la misma aceleración. Esta es una propiedad especial de la fuerza gravitacional. Las fuerzas eléctricas, por ejemplo, no se comportan de esta manera. La fuerza que experimenta un objeto en un campo eléctrico es proporcional a su carga, la cual no está relacionada con su masa inercial, por lo que diferentes cargas colocadas en un mismo campo eléctrico tendrán en general movimientos diferentes.

Figura\(\PageIndex{1}\) - La bala de cañón y la bola de mosquete tienen líneas mundiales parabólicas idénticas. En este tipo de parcelas espacio-temporales, el espacio se muestra convencionalmente en el eje horizontal, por lo que la torre tiene que ser representada en su costado.

Tratamiento Geométrico de la Gravedad

Einstein se dio cuenta de que esta propiedad especial de la fuerza gravitacional permitía describir la gravedad en términos puramente geométricos. Definimos las líneas mundiales de pequeños objetos ⁹ sobre los que actúa la gravedad para ser las líneas descritas por los axiomas de la geometría. Como normalmente pensamos en las “líneas” descritas por la geometría euclidiana y sus familiares como líneas rectas, esto equivale a una redefinición de lo que significa que una línea sea recta. Por analogía, imagina estirar un trozo de cuerda tenso a través de un globo, como podríamos hacer para planificar un vuelo de avión o apuntar una antena de radio direccional. La cuerda puede no aparecer recta como se ve desde el espacio euclidiano tridimensional en el que está incrustado el globo, pero es lo más recta posible en el sentido de que es el camino seguido por una onda de radio, ¹⁰ o por un piloto de avión que mantiene sus alas niveladas y su timón recto. La “línea” mundial de un objeto sobre el que actúan fuerzas no gravitacionales no se considera una “línea” recta en el sentido de O1-O4. Cuando es necesario, se elimina esta ambigüedad en el término sobrecargado “línea” al referirse a las líneas de O1-O4 como geodésicas. La línea mundial de un objeto de baja masa sobre el que se actúa solo por gravedad es un tipo de geodésico. ¹¹

Figura\(\PageIndex{2}\) - Un trozo de cuerda tenso sobre un globo forma un geodésico desde la Ciudad de México hasta Londres. Aunque parece curvo, es el análogo de una línea recta en la geometría no euclidiana confinada a la superficie de la Tierra. De igual manera, las líneas mundiales de la figura a aparecen curvas, pero son los análogos de las líneas rectas en la geometría no euclidiana utilizadas para describir los campos gravitacionales en la relatividad general.

Notas

⁹ La razón de la restricción a objetos pequeños es esencialmente la radiación gravitacional. El objeto también debe ser eléctricamente neutro, y ni el objeto ni el espacio-tiempo circundante deben contener ninguna forma exótica de energía negativa. Esto se discute con más detalle más adelante. Ver también problema 1.

¹⁰ Las ondas de radio en la banda HF tienden a quedar atrapadas entre el suelo y la ionosfera, haciendo que se curven sobre el horizonte, permitiendo la comunicación a larga distancia.

¹¹ Para mayor justificación de esta afirmación, véase la sección 9, problema 1.

Ahora podemos ver la profunda importancia física del enunciado O1, que dos eventos determinan una línea. Para predecir la trayectoria de una pelota de golf, necesitamos tener algunos datos iniciales. Por ejemplo, podríamos medir el evento A cuando el balón rompe el contacto con el club, y el evento B un tiempo infinitesimal después de A. ¹² Este par de observaciones puede pensarse como fijar la posición inicial y la velocidad del balón, lo que debería ser suficiente para predecir una línea mundial única para el balón, ya que la relatividad es una teoría determinista. Con esta interpretación, también podemos ver por qué no es necesariamente un desastre para la teoría si O1 falla a veces. Por ejemplo, el evento A podría marcar el lanzamiento de dos satélites en órbitas circulares desde el mismo lugar de la Tierra, dirigiéndose en direcciones opuestas, y B podría ser su posterior colisión en el lado opuesto del planeta. A pesar de que esto viola O1, no viola el determinismo. El determinismo solo requiere la validez de O1 para eventos infinitesimalmente cercanos. Incluso para eventos elegidos aleatoriamente muy separados, la probabilidad de que violen O1 es cero.

Figura\(\PageIndex{3}\) - Si las geodésicas definidas por un avión y una onda de radio difieren entre sí, entonces no es posible tratar ambos problemas exactamente usando la misma teoría geométrica. En la relatividad general, esto sería análogo a una violación del principio de equivalencia. La validez de la relatividad general como teoría puramente geométrica de la gravedad requiere que el principio de equivalencia se satisfaga exactamente en todos los casos.

Nota

En cuanto a los infinitesimales, véase el Ejemplo 3.

Experimentos de Eötvös

Todo el sistema de Einstein se descompone si hay alguna violación, por pequeña que sea, de la proporcionalidad entre la masa inercial y la gravitacional, y por lo tanto se vuelve muy interesante buscar experimentalmente tal violación. Por ejemplo, podríamos preguntarnos si los neutrones y protones tenían proporciones ligeramente diferentes de masa gravitacional e inercial, lo que en un experimento al estilo Galileo causaría una pequeña diferencia entre la aceleración de un peso de plomo, con una gran relación neutrón-protón, y uno de madera, que consiste en luz elementos con números casi iguales de neutrones y protones. Los primeros experimentos de alta precisión de este tipo fueron realizados por Eötvös alrededor de principios del siglo XX, y verificaron la equivalencia de la masa inercial y gravitacional a dentro de aproximadamente una parte en 10 ⁸. Estos se denominan genéricamente experimentos de Eötvös.

Figura\(\PageIndex{4}\): Lorand Eötvös (1848-1919).

La Figura 1.5.5 a continuación muestra una estrategia para realizar experimentos de Eötvös que permitieron una prueba a aproximadamente una parte en 10 ¹². El panel superior es una versión simplificada. La plataforma está equilibrada, por lo que se observa que las masas gravitacionales de los dos objetos son iguales. Los objetos están hechos de diferentes sustancias. Si la equivalencia de la masa inercial y gravitacional no logra retener estas dos sustancias, entonces la fuerza de gravedad en cada masa no será exactamente proporcional a su inercia, y la plataforma experimentará un ligero par a medida que la tierra gira.

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Figura\(\PageIndex{5}\): Un experimento de Eötvös. Top: versión simplificada. Abajo: versión realista de Braginskii y Panov. (Dibujo después de Braginskii y Panov.)

El panel inferior muestra un dibujo más realista de un experimento de Braginskii y Panov. ¹³ Todo estaba encerrado en un tubo de vacío alto, el cual se colocó en un sótano sellado cuya temperatura se controló a un rango de 0.02 °C. La masa total de las masas de prueba de platino y aluminio, más el alambre de tungsteno y los brazos de equilibrio, fue de sólo 4.4 g. Para detectar pequeños movimientos, un rayo láser fue rebotado de un espejo unido al cable. Había tan poca fricción que la balanza habría tardado del orden de varios años en calmarse por completo después de ser puesta en marcha; para detener estas vibraciones, se aplicaron fuerzas eléctricas estáticas a través de las dos placas circulares para proporcionar giros muy suaves sobre la masa elipsoidal entre ellas.

En los 45 años transcurridos desde el trabajo de Braginskii y Panov, se han realizado mejoras en pruebas experimentales más directas del principio de equivalencia, en las que las masas de prueba simplemente caen libremente. El mejor experimento terrestre de este tipo ¹⁴ ha dado un límite de 10 ⁻⁹, mientras que un nuevo experimento en órbita ¹⁵ lo ha ajustado a 10 ⁻¹⁴.

Equivalencia de Campos Gravitacionales y Aceleraciones

Una consecuencia de los resultados nulos de los experimentos de Eötvös es que no es posible distinguir entre una aceleración y un campo gravitacional. En ciertos momentos durante la excursión de Betty, se siente presionada contra su asiento, e interpreta esto como evidencia de que se encuentra en una nave espacial que está sufriendo violentas aceleraciones y desaceleraciones. Pero es igualmente posible que Tutorbot simplemente haya dispuesto que su cápsula sea colgada de una cuerda y colgada en el campo gravitacional de un planeta. Supongamos que la primera explicación es correcta. La cápsula se encuentra inicialmente en reposo en el espacio exterior, donde no hay gravedad. Betty puede soltar un lápiz y una bola de plomo en el aire dentro de la cabina, y se quedarán en su lugar. La cápsula luego se acelera, y para Betty, quien ha adoptado un marco de referencia atado a su cubierta, techo y paredes, parece que el lápiz y la pelota caen a la cubierta. Se les garantiza que permanezcan uno al lado del otro hasta que golpeen las placas de cubierta, porque de hecho no están acelerando; simplemente parecen acelerar, cuando en realidad son las placas de cubierta las que están subiendo y golpeándolas. Pero ahora consideremos la segunda explicación, que la cápsula se ha sumergido en un campo gravitacional. El balón y el lápiz seguirán cayendo uno al lado del otro al suelo, porque tienen la misma relación de masa gravitacional a inercial.

El principio de equivalencia

Esto lleva a una forma de afirmar un principio central de relatividad conocido como el principio de equivalencia: las aceleraciones y los campos gravitacionales son equivalentes. No hay ningún experimento que pueda distinguir uno del otro. ¹⁶

Nota

Esta afirmación del principio de equivalencia se resume, junto con algunas otras formas del mismo que se encontrarán más adelante.

Para ver qué salida radical es esto, necesitamos compararlo con el cuadro completamente diferente que presenta la física newtoniana y la relatividad especial. La ley de inercia de Newton establece que “Todo objeto persevera en su estado de reposo, o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que se vea obligado a cambiar ese estado por fuerzas impresas en él”. ¹⁷ La intención de Newton aquí era afirmar claramente una contradicción de la física aristotélica, en la que se suponía que los objetos dejaban de moverse naturalmente y llegar a descansar en ausencia de una fuerza. Para Aristóteles, “en reposo” significaba en reposo relativo a la Tierra, lo que representaba un marco especial de referencia. Pero si el movimiento no se detiene naturalmente por su propia voluntad, entonces ya no hay forma de señalar un marco de referencia, como el que está atado a la Tierra, como especial. Un marco de referencia igualmente bueno es un automóvil que circula en línea recta por la interestatal a velocidad constante. Tanto la tierra como el automóvil representan marcos de referencia inerciales válidos, en los que es válida la ley de inercia de Newton. Por otra parte, existen otros marcos de referencia no inerciales, en los que se viola la ley de inercia. Por ejemplo, si el auto desacelera repentinamente, entonces a las personas que están en el auto les parece como si sus cuerpos estuvieran siendo sacudidos hacia adelante, a pesar de que no hay ningún objeto físico que pudiera estar ejerciendo algún tipo de fuerza hacia adelante sobre ellos. Esta distinción entre marcos de referencia inerciales y no inerciales fue trasladada por Einstein a su teoría de la relatividad especial, publicada en 1905.

Nota

parafraseado de una traducción de Motte, 1729

Pero para cuando publicó la teoría general en 1915, Einstein se había dado cuenta de que esta distinción entre marcos de referencia inerciales y no inerciales era fundamentalmente sospechosa. ¿Cómo sabemos que un determinado marco de referencia es inercial? Una forma es verificar que su movimiento relativo a algún otro marco inercial, como el de la Tierra, esté en línea recta y a velocidad constante. Pero, ¿cómo empieza todo el asunto? Necesitamos iniciar el proceso con al menos un marco de referencia para actuar como nuestro estándar. Podemos buscar un marco en el que la ley de inercia sea válida, pero ahora nos encontramos con otra dificultad. Para verificar que se mantiene la ley de inercia, tenemos que verificar que un observador atado a ese fotograma no vea los objetos acelerándose sin motivo alguno. El problema aquí es que por el principio de equivalencia, no hay forma de determinar si el objeto se está acelerando “sin razón alguna” o por una fuerza gravitacional. Betty, por ejemplo, no puede decir por ninguna medición local (es decir, cualquier medición realizada dentro de la cápsula) si está en un marco inercial o no inercial.

Figura\(\PageIndex{6}\): ¿No sería bueno que pudiéramos definir el significado de un marco de referencia inercial newtoniano? Newton hace que suene fácil: para definir un marco inercial, basta con encontrar algún objeto que no esté acelerando porque no está siendo actuado por ninguna fuerza externa. Pero, ¿qué objeto usaríamos? ¿La tierra? ¿Las “estrellas fijas?” ¿Nuestra galaxia? ¿Nuestro supercúmulo de galaxias? Todos estos se están acelerando —en relación con algo.

Podríamos esperar resolver la ambigüedad haciendo mediciones no locales en su lugar. Por ejemplo, si a Betty se le hubiera permitido mirar por un ojo de buey, podría haber intentado decir si su cápsula se estaba acelerando en relación con las estrellas. Incluso esta posibilidad termina por no ser satisfactoria. Las estrellas de nuestra galaxia se mueven en órbitas circulares alrededor de la galaxia. A una escala aún mayor, el universo se está expandiendo tras el Big Bang. Pasó cerca de la primera mitad de su historia desacelerándose debido a la atracción gravitacional, pero ahora se observa que la expansión se está acelerando, aparentemente debido a un fenómeno poco comprendido al que se refiere el término “energía oscura”. En general, no hay un trasfondo distante de objetos físicos en el universo que no se esté acelerando.

Marcos Lorentz

La conclusión es que debemos abandonar toda la distinción entre los marcos de referencia inerciales y no inerciales al estilo de Newton. Lo mejor que podemos hacer es señalar ciertos marcos de referencia definidos por el movimiento de objetos que no están sujetos a ninguna fuerza no gravitacional. Una roca que cae define tal marco de referencia. En este marco, la roca está en reposo, y el suelo se está acelerando. La línea mundial de la roca es una línea recta de constante x = 0 y t variable. Tal marco de referencia de caída libre se llama marco de Lorentz. El marco de referencia definido por una roca sentada sobre una mesa es un marco inercial de referencia según la visión newtoniana, pero no es un marco Lorentz.

En la física newtoniana, los marcos inerciales son preferibles porque simplifican el movimiento: los objetos sin fuerzas que actúen sobre ellos se mueven a lo largo de líneas rectas del mundo. De igual manera, los marcos de Lorentz ocupan una posición privilegiada en la relatividad general porque simplifican el movimiento: los objetos se mueven a lo largo de líneas mundiales “rectas” si no tienen fuerzas no gravitacionales que actúen sobre ellos.

Ejemplo 1: El horizonte artificial

El piloto de un avión no siempre puede decir fácilmente qué camino está arriba. El horizonte puede no estar nivelado simplemente porque el suelo tiene una pendiente real, y en cualquier caso el horizonte puede no ser visible si el clima es brumoso. Uno podría imaginar que el problema podría resolverse simplemente colgando un péndulo y observando en qué dirección apuntaba, pero por el principio de equivalencia el péndulo no puede distinguir entre un campo gravitacional y una aceleración de la aeronave en relación con el suelo —ni ningún otro acelerómetro, como el oído interno del piloto.

Figura\(\PageIndex{7}\)

Por ejemplo, cuando el avión gira hacia la derecha, los acelerómetros serán engañados para que crean que “abajo” está abajo y hacia la izquierda. Para sortear este problema, los aviones utilizan un dispositivo llamado horizonte artificial, que es esencialmente un giroscopio. El giroscopio tiene que ser inicializado cuando se sabe que el plano está orientado en un plano horizontal. Ningún giroscopio es perfecto, así que con el tiempo va a la deriva. Por esta razón el instrumento también contiene un acelerómetro, y el giroscopio se restablece automáticamente a acuerdo con el acelerómetro, con una constante de tiempo de varios minutos. Si el avión es volado en círculos durante varios minutos, el horizonte artificial será engañado para que indique que la dirección equivocada es vertical.

Ejemplo 2: sin antigravedad

Toda esta cadena de razonamiento se basaba en los resultados nulos de los experimentos de Eötvös. En las caricaturas de Rocky y Bullwinkle, hay una sustancia no eötvösiana llamada upsidasium, que cae hacia arriba en lugar de hacia abajo. Su relación de masa gravitacional a inercial es aparentemente negativa. Si se pudiera encontrar tal sustancia, falsearía el principio de equivalencia. Ejemplo 10.

Figura\(\PageIndex{8}\): Las barras de upsidasium se mantienen en almacenes especiales, atornillados al suelo. © Jay Ward Productions, utilizado bajo la excepción de uso justo de Estados Unidos a la ley de derechos de autor.

Definición Operativa de un Marco Lorentz

Podemos definir un marco Lorentz en términos operativos usando una variación idealizada (Figura\(\PageIndex{9}\)) en un dispositivo realmente construido por Harold Waage en Princeton como una demostración de conferencia para ser utilizada por su compañero en el crimen John Wheeler. Construir una cámara sellada cuyo contenido esté aislado de todas las fuerzas no gravitacionales. De las cuatro fuerzas conocidas de la naturaleza, las tres que necesitamos excluir son la fuerza nuclear fuerte, la fuerza nuclear débil y la fuerza electromagnética. La fuerza nuclear fuerte tiene un alcance de solo alrededor de 1 fm (10 ⁻¹⁵ m), así que para excluirla simplemente necesitamos hacer que la cámara sea más gruesa que eso, y también rodearla con suficiente cera de parafina para mantener fuera cualquier neutrón que pase volando. La débil fuerza nuclear también tiene un alcance corto, y aunque el blindaje contra neutrinos es una imposibilidad práctica, su influencia en el aparato interior será insignificante. Para proteger contra las fuerzas electromagnéticas, rodeamos la cámara con una jaula de Faraday y una lámina sólida de mu-metal. Por último, nos aseguramos de que la cámara no esté siendo tocada por ninguna materia circundante, por lo que se excluyen las fuerzas eléctricas residuales de corto alcance (fuerzas pegajosas, enlaces químicos, etc.). Es decir, la cámara no puede ser soportada; es de caída libre.

Figura\(\PageIndex{9}\): La cámara esférica, mostrada en una vista en corte, tiene capas de blindaje para excluir todas las fuerzas no gravitacionales conocidas. Una vez que la cámara ha sido calibrada marcando las tres trayectorias de líneas discontinuas en condiciones de caída libre, un observador dentro de la cámara siempre puede decir si está en un marco de Lorentz.

Fundamentalmente, el blindaje no excluye las fuerzas gravitacionales. De hecho, no existe una forma conocida de proteger contra los efectos gravitacionales como la atracción de otras masas o la propagación de ondas gravitacionales. Debido a que el blindaje es esférico, no ejerce ninguna fuerza gravitacional propia sobre el aparato interior.

En su interior, una observadora realiza una calibración inicial disparando balas a lo largo de tres ejes cartesianos y trazando sus caminos, los cuales define como lineales.

Hemos hecho todo lo posible para demostrar que realmente podemos determinar, sin referencia a ningún marco de referencia externo, que la cámara no está siendo actuada por ninguna fuerza no gravitacional, para que sepamos que es de caída libre. Además, también queremos que el observador pueda decir si la cámara está rotando. Ella podría mirar a través de un ojo de buey a las estrellas, pero a eso le faltaría todo el punto, que es mostrar que sin referencia a ningún otro objeto, podemos determinar si un fotograma en particular es un marco de Lorentz. Una forma de hacerlo sería vigilar la precesión de un giroscopio. O, sin tener que recurrir a aparatos adicionales, la observadora puede comprobar si los caminos trazados por las balas cambian cuando cambia la velocidad del hocico. Si lo hacen, entonces ella infiere que hay fuerzas Coriolis dependientes de la velocidad, por lo que debe estar rotando. Luego puede usar volantes para deshacerse de la rotación y rehacer la calibración.

Después de la calibración inicial, siempre puede decir si está o no en un cuadro de Lorentz. Simplemente tiene que disparar las balas, y ver si siguen o no los caminos precalibrados. Por ejemplo, puede detectar que el marco se ha vuelto no lorentziano si la cámara es girada, se le permite descansar en el suelo, o acelerada por un motor de cohete.

Puede parecer que la construcción detallada de este elaborado pensamiento-experimento no hace más que confirmar algo obvio. Vale la pena señalar, entonces, que realmente no sabemos si funciona o no. Funciona en la relatividad general, pero hay otras teorías de la gravedad, como la gravedad Brans-Dicke, que también son consistentes con todas las observaciones conocidas, pero en las que el aparato de la Figura 1.5.8 no funciona. Dos de los supuestos anteriores fallan en esta teoría: existen efectos de blindaje gravitacional y los efectos de Coriolis se vuelven indetectables si no hay suficiente otra materia cerca.

Localidad de Lorentz Frames

Sería conveniente si pudiéramos definir un solo marco de Lorentz que cubriera todo el universo, pero no podemos En la Figura 1.5.9, dos niñas caen simultáneamente de las ramas de los árboles, una en Los Ángeles y otra en Mumbai. La chica que cae libremente en Los Ángeles define un marco de Lorentz, y en ese marco, otros objetos que caigan cerca también tendrán líneas rectas del mundo. Pero en el marco de referencia de la chica de Los Ángeles, la chica que cae en Mumbai no tiene una línea mundial recta: está acelerando hacia la chica de Los Ángeles con una aceleración de alrededor de 2g.

Figura\(\PageIndex{10}\): Dos marcos locales de Lorentz.

Una segunda forma de afirmar el principio de equivalencia es que siempre es posible definir un marco local de Lorentz en un barrio particular del espacio-tiempo. ¹⁸ No es posible hacerlo de manera universal.

Nota

Esta afirmación del principio de equivalencia se resume, junto con algunas otras formas del mismo, en el Apéndice C.

La localidad de los marcos de Lorentz se puede entender en la analogía de la cuerda estirada por todo el globo. No notamos la curvatura de la superficie terrestre en la vida cotidiana porque el radio de curvatura es de miles de kilómetros. En un mapa de Los Ángeles, no notamos ninguna curvatura, ni la detectamos en un mapa de Mumbai, pero no es posible hacer un mapa plano que incluya tanto LA como Mumbai sin ver distorsiones severas.

Terminología

Los significados de las palabras evolucionan con el tiempo, y como la relatividad tiene ahora un siglo de antigüedad, ha habido cierta deriva semántica confusa en su nomenclatura. Esto se aplica tanto al “marco inercial” como a la “relatividad especial”.

Las primeras formulaciones de la relatividad general nunca se refieren a “marcos inerciales”, “marcos de Lorentz” o cualquier otra cosa de ese sabor. El primer tema de la presentación sistemática original de la teoría ¹⁹ de Einstein es un ejemplo (Figura 1.5.10) que involucra a dos planetas, cuyo propósito es convencer al lector de que todos los marcos de referencia son creados iguales, y que cualquier intento de convertir algunos de ellos en segundo- ciudadanos de clase es invidiosa. Otros tratamientos de relatividad general de la misma época siguen el ejemplo de Einstein. ²⁰ El problema es que este ejemplo es más una declaración de las aspiraciones de Einstein para su teoría que una representación precisa de la física que en realidad implica. La relatividad general realmente permite hacer una distinción inequívoca entre los marcos de Lorentz y los marcos no Lorentz, como se describió anteriormente. La afirmación de Einstein debería haber sido más débil: las leyes de la física (como la ecuación de campo de Einstein) son las mismas en todos los marcos (Lorentz o no Lorentz). Esto es diferente de la situación en la mecánica newtoniana y la relatividad especial, donde las leyes de la física adquieren su forma más simple solo en marcos inerciales de Newton.

Figura\(\PageIndex{11}\) - Un planeta gira alrededor de su eje y el otro no. Como se discutió con más detalle más adelante, Einstein creía que la relatividad general era aún más radicalmente igualitaria sobre los marcos de referencia de lo que realmente es. Pensó que si los planetas estuvieran solos en un universo por lo demás vacío, no habría manera de saber qué planeta está rotando realmente y cuál no, por lo que el bulto ecuatorial de B tendría que desaparecer. No habría manera de saber qué superficie del planeta era un marco de Lorentz.

Nota

Dos que creo que fueron relativamente influyentes son la teoría de la relatividad de Einstein de 1920 de Born y la teoría matemática de la relatividad de 1924 de Eddington. Born sigue servilmente el papel “Foundation” de Einstein. Eddington parece solo mencionar los marcos inerciales en algunos lugares donde el contexto es newtoniano.

Debido a que Einstein no quería hacer distinciones entre marcos, terminamos ensillados con terminología inconveniente para ellos. La elección menos incómoda verbalmente es secuestrar el término “inercial”, redefiniéndolo de su significado newtoniano. Entonces decimos que la superficie de la Tierra no es un marco inercial, en el contexto de la relatividad general, mientras que en el contexto newtoniano es un marco inercial a una muy buena aproximación. Este uso es bastante estándar, ²¹ pero habría confundido a Newton y a Einstein infeliz. Si seguimos este uso, entonces es posible que a veces tengamos que decir “Newtonianinertial” o “Einstein-inercial”. Un término más torpe, pero también más preciso, es “marco Lorentz”, como se usa en este libro; esto parece ser ampliamente entendido. ²²

La distinción entre relatividad especial y general ha experimentado un cambio similar a lo largo de las décadas. Einstein definió originalmente la distinción en términos de admisibilidad de marcos de referencia acelerados. Esto, sin embargo, nos pone en la absurda posición de decir que la relatividad especial, que se supone que es una generalización de la mecánica newtoniana, no puede manejar marcos de referencia acelerados de la misma manera que la mecánica newtoniana. De hecho, tanto la mecánica newtoniana como la relatividad especial tratan los marcos de referencia newtonianos no inerciales de la misma manera: modificando las leyes de la física para que no asuman su forma más simple (por ejemplo, violando la tercera ley de Newton), al tiempo que conservan la capacidad de cambiar las coordenadas a una preferida marco en el que se aplican las leyes más simples. Se comprendió bastante temprano el ²³ que la distinción importante era entre la relatividad especial como teoría del espacio-tiempo plano, y la relatividad general como una teoría que describía la gravedad en términos de espacio-tiempo curvo. Todos los relativistas que escriben desde alrededor de 1950 parecen estar de acuerdo en esta redefinición más moderna de los términos. ²⁴

En un marco acelerado, el principio de equivalencia nos dice que las mediciones saldrán igual que si hubiera un campo gravitacional. Pero si el espacio-tiempo es plano, describirlo en un marco acelerado no lo hace curvo. (La curvatura es una propiedad física del espacio-tiempo, y no se puede cambiar de cero a distinto de cero simplemente mediante una elección de coordenadas). Así, la relatividad nos permite tener campos gravitacionales en el espacio plano —pero sólo para ciertas configuraciones especiales como esta. La relatividad especial es capaz de funcionar bien en este contexto. Por ejemplo, Chung et al. ²⁵ realizó una prueba de alta precisión de relatividad especial en 2009 usando un interferómetro de materia en un plano vertical, específicamente para probar si hubo alguna violación de la relatividad especial en un campo gravitacional uniforme. Su experimento se interpreta puramente como una prueba de relatividad especial, no de relatividad general.

Paradoja de Chiao

El resto de esta subsección trata de la sutil cuestión de si el principio de equivalencia puede aplicarse a las partículas cargadas y cómo. Es posible que desee omitirlo en una primera lectura. La respuesta corta es que usar el principio de equivalencia para sacar conclusiones sobre las partículas cargadas es como los intentos de los esclavistas y abolicionistas en Estados Unidos del siglo XIX de apoyar sus posiciones basadas en la Biblia: probablemente puedas probar cualquiera que sea la conclusión que se propuso probar.

Figura\(\PageIndex{12}\) - Paradoja de Chiao: una partícula cargada y una partícula neutra están en órbita alrededor de la tierra. ¿Irradiará la partícula cargada, violando el principio de equivalencia?

El principio de equivalencia no es un enunciado único, simple, matemáticamente bien definido. ²⁶ Como ejemplo de una ambigüedad que sigue siendo algo polémica, 90 años después de que Einstein propusiera por primera vez el principio, considerar la cuestión de si se aplica o no a las partículas cargadas. Raymond Chiao ²⁷ propone el siguiente experimento pensativo, al que me referiré como la paradoja de Chiao. Dejar que una partícula neutra y una partícula cargada se pongan, una al lado de la otra, en órbita alrededor de la tierra. Supongamos (irrealista) que el espacio alrededor de la tierra no tiene campo eléctrico ni magnético. Si el principio de equivalencia se aplica independientemente de la carga, entonces estas dos partículas deben seguir orbitando amistosamente, una al lado de la otra. Pero entonces tenemos una violación de la conservación de la energía, ya que la partícula cargada, que se está acelerando, irradiará ondas electromagnéticas (con muy baja frecuencia y amplitud). Parece que la órbita de la partícula debe decaer.

Nota

Una buena discusión reciente sobre esto es “Teoría de las teorías de la gravitación: un informe sin progreso”, Sotiriou, Faraoni y Liberati, http://arxiv.org/abs/0707.2748

La resolución de la paradoja, como lo demuestran los cálculos peludos ²⁸ es interesante porque ejemplifica la naturaleza local del principio de equivalencia. Cuando una partícula cargada se mueve a través de un campo gravitacional, en general es posible que la partícula experimente una reacción de sus propios campos electromagnéticos. Esto puede parecer imposible, ya que un observador en un marco momentáneamente en reposo con respecto a la partícula ve la radiación volar en todas las direcciones a la velocidad de la luz. Pero, de hecho, existen varios mecanismos diferentes por los cuales una partícula cargada puede reunirse con su descendencia electromagnética perdida hace mucho tiempo. Un ejemplo (no directamente relacionado con el escenario de Chiao) es el siguiente.

Nota

El primer cálculo detallado parece haber sido de Cécile y Bryce DeWitt, “Falling Charges”, Physics 1 (1964) 3. Desafortunadamente, este trabajo es muy difícil de obtener ahora. Un tratamiento más reciente de Grøn y Næss es accesible en arxiv.org/abs/0806.0464v1. Una exposición completa de las técnicas es dada por Poisson, “El movimiento de partículas puntuales en el espacio-tiempo curvo”, www.livingreviews.org/lrr-2004-6.

Trae un láser muy cerca de un agujero negro, pero no tan cerca que se haya desviado dentro del horizonte de eventos, que es el punto esférico de no retorno desde dentro del cual nada puede escapar. El ejemplo 14 da un argumento de plausibilidad basado en la física newtoniana de que el radio ²⁹ del horizonte de eventos debería ser algo así\(r_{H} = \frac{GM}{c^{2}}\), y la sección 6.3 deriva el factor relativisticamente correcto de 2 al frente, de modo que eso\(r_{H} = \frac{2GM}{c^{2}}\). Resulta que a r =\(\left( \frac{3}{2}\right) r_{H}\), un rayo de luz puede tener una órbita circular alrededor del agujero negro. Dado que esto es mayor que r _H, podemos, al menos en teoría, mantener el láser estacionario a este valor de r usando un potente motor de cohete. Si apuntamos el láser en la dirección azimutal, su propio rayo volverá y lo golpeará.

Nota

Debido a que la relatividad describe los campos gravitacionales en términos de curvatura del espacio-tiempo, la relación euclidiana entre el radio y la circunferencia de un círculo falla aquí. La coordenada r debe entenderse aquí no como el radio medido desde el centro sino como la circunferencia dividida por 2\(\pi\).

Dado que la materia puede experimentar una reacción de retorno a partir de su propia radiación electromagnética, se vuelve plausible cómo se puede resolver la paradoja. El principio de equivalencia se mantiene localmente, es decir, dentro de un pequeño parche de espacio y tiempo. Si la partícula cargada y neutra de Chiao se libera una al lado de la otra, entonces obedecerán el principio de equivalencia durante al menos una cierta cantidad de tiempo —y “por lo menos una cierta cantidad de tiempo” es todo lo que debemos esperar, ya que el principio es local. Pero después de un tiempo, la partícula cargada comenzará a experimentar una retroreacción de sus propios campos electromagnéticos, y esto hace que su órbita se descomponga, satisfaciendo la conservación de la energía. Dado que las partículas de Chiao están orbitando la tierra, y la tierra no es un agujero negro, el mecanismo claramente no puede ser tan simple como el descrito anteriormente, pero Grøn y Næss muestran que existen mecanismos similares que pueden aplicarse aquí, por ejemplo, dispersión de ondas de luz por el campo gravitacional no uniforme.

Vale la pena tener presente la cautela de DeWitts de que “Las preguntas respondidas por esta investigación son de interés conceptual solamente, ya que las fuerzas involucradas son demasiado pequeñas para ser detectadas experimentalmente” (ver problema 8).

Referencias

¹³ V.B. Braginskii y V.I. Panov, Física Soviética JETP 34, 463 (1972).

¹⁴ Carusotto et al., “Límites a la violación de la universalidad g con un experimento de Galileotipo”, Phys Let A183 (1993) 355. Disponible gratuitamente en línea en researchgate.net.

¹⁵ Touboul et al., “La misión MICROSCOPIO: primeros resultados de una prueba espacial del Principio de Equivalencia”, arxiv.org/abs/1712.01176

¹⁹ Einstein, “El fundamento de la teoría general de la relatividad”, 1916. Posteriormente se da un extracto.

²¹ Misner, Thorne y Wheeler, Gravitation, 1973, p. 18

²² ibíd., pág. 19

²³ Eddington, op. cit.

²⁴ Misner, Thorne y Wheeler, op. cit. , pp.163-164. Penrose, El camino a la realidad, 2004, p. 422. Taylor y Wheeler, Física del espacio-tiempo, 1992, p. 132. Schutz, Un primer curso de relatividad general, 2009, pp. 3, 141. Hobson, Relatividad General: Una Introducción para Físicos, 2005, sec. 1.14.

²⁵ arxiv.org/abs/0905.1929

²⁷ arxiv.org/abs/quant-ph/0601193v7