4.1: Escalares Lorentz

Un escalar de Lorentz es una cantidad que permanece invariable bajo ambas rotaciones espaciales y potenciadores de Lorentz. La masa es un escalar de Lorentz. ¹ La carga eléctrica también es un escalar de Lorentz, como se demostró con una precisión extremadamente alta por experimentos que miden la neutralidad eléctrica de átomos y moléculas con una precisión relativa mejor que ^10-20; el electrón en un átomo de hidrógeno tiene típicamente velocidades de aproximadamente 1/100, y aquellos en elementos más pesados como el uranio son altamente relativistas, por lo que cualquier violación de la invarianza de Lorentz daría a los átomos una carga eléctrica neta que no se desvanece.

Nota

Algunos libros más antiguos definen la masa como transformadora según m →\(\gamma\) m, que se puede hacer para dar una teoría autoconsistente, pero es fea.

El tiempo medido por un reloj que viaja a lo largo de una línea mundial particular de un evento a otro es algo en lo que todos los observadores estarán de acuerdo; simplemente notarán el desajuste con sus propios relojes. Por lo tanto, es un escalar de Lorentz. Este reloj-tiempo medido por un reloj unido al cuerpo en movimiento en cuestión a menudo se denomina tiempo apropiado, “apropiado” siendo utilizado aquí en el sentido algo arcaico de “propio” o “yo”, como en “El Vaticano no se encuentra dentro de Italia propiamente dicha”. El tiempo adecuado, que anotamos τ, solo se puede definir para líneas mundiales similares a tiempo, ya que una línea mundial similar a la luz o al espacio no es posible para un reloj material.

De manera más general, cuando expresamos una métrica como ds ² =.., la cantidad ds es un escalar de Lorentz. En el caso especial de una línea mundial tipo tiempo, ds y dτ son lo mismo. (En los libros que utilizan una métrica − + ++, uno tiene ds = − d\(\tau\).)

Aún más generalmente, los parámetros afín, que existen independientemente de cualquier métrica en absoluto, son escalares. Como ejemplo trivial, si\(\tau\) es el tiempo apropiado de un objeto en particular, entonces\(\tau\) es un parámetro afín válido, pero también lo es 2\(\tau\) +7. Menos trivialmente, el tiempo adecuado de un fotón es siempre cero, pero todavía se puede definir un parámetro afín a lo largo de su trayectoria. Necesitaremos tal parámetro afín, por ejemplo, en la sección 6.2, cuando calculemos la desviación de los rayos de luz por el sol, una de las pruebas experimentales clásicas tempranas de relatividad general.

Otro ejemplo de un escalar de Lorentz es la presión de un fluido perfecto, que a menudo se asume como una descripción de la materia en modelos cosmológicos.

Ejemplo 1: Infinitesimales y el “postulado” del reloj

Al inicio del capítulo 3, motivé el uso de infinitesimales como herramientas útiles para hacer geometría diferencial en espacio-tiempo curvo. Incluso en el contexto de la relatividad especial, sin embargo, los infinitesimales pueden ser útiles. Una forma de expresar el tiempo adecuado acumulado en un reloj en movimiento es

\[\begin{split} s &= \int ds \\ &= \int \sqrt{g_{ij} dx^{i} dx^{j}} \\ &= \int \sqrt{1 - \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2} - \left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2} - \left(\dfrac{dz}{dt}\right)^{2}} dt, \end{split}\]

que sólo contiene una dependencia explícita de la velocidad del reloj, no de su aceleración. Este es un ejemplo del “postulado” del reloj al que se hace referencia en la observación al final de la tarea problema 1. Tenga en cuenta que el postulado del reloj sólo se aplica en el límite de un reloj pequeño. Esto se representa en la ecuación anterior mediante el uso de cantidades infinitesimales como dx.