8.E: Fuentes en la Relatividad General (Ejercicio)

1. Verificar, como se afirma en la sección 8.1, que la presión electromagnética dentro de un núcleo atómico de peso medio sea del orden de 10 ³³ Pa.
2. ¿La singularidad del Big Bang es removible por la transformación de coordenadas t →\(\frac{1}{t}\)?
3. Verificar la afirmación hecha en la sección 8.2 de que a es una función lineal del tiempo en el caso del universo Milne, y que k = −1.
4. Los ejemplos 16 y 18 discutieron cuerdas con longitudes cosmológicas. Reexaminar estos ejemplos en el caso del universo Milne.
5. (a) Demostrar que las ecuaciones de Friedmann son simétricas bajo inversión de tiempo. b) La ruptura espontánea de esta simetría en soluciones en expansión perpetua se discutió en la sección 8.2. Use la definición de un colector para mostrar que esta simetría no se puede restaurar pegando una solución expansiva y una contracción “espalda con espalda” para crear una única solución en un solo colector conectado.
6. Las ecuaciones de campo de Einstein son $$G_ {ab} = 8\ pi T_ {ab} +\ Lambda g_ {ab}, $$y cuando es posible adoptar un marco de referencia en el que la masa-energía local esté en reposo en promedio, podemos interpretar el tensor de tensión-energía como $$T^ {\ mu} _ {\ nu} = diag (-\ rho, P, P, P), $$donde\(\rho\) esta la masa-energia densidad y P es la presión. Fijar algún punto como el origen de un sistema de coordenadas lorentziano local. Analizar las propiedades de estas relaciones bajo una reflexión como x → −x o t → −t.
7. (a) Demostrar que una constante cosmológica positiva viola la condición energética fuerte en un vacío. Al aplicar la definición de la condición energética fuerte, tratar la constante cosmológica como una forma de materia, es decir, “rodar” el término constante cosmológica al término tensión-energía en las ecuaciones de campo. (b) Comentar cómo esto afecta los resultados del siguiente trabajo: Hawking y Ellis, “La radiación cósmica de cuerpo negro y la existencia de singularidades en nuestro universo”, Revista Astrofísica, 152 (1968) 25, artículos.adsabs.harvard.edu/f... pJ... 152... 25H.
8. En el problema 7 del capítulo 5, analizamos las propiedades de la métrica $$ds^ {2} = e^ {2gz} dt^ {2} - dz^ {2}\ ldotp$$
   1. En ese problema encontramos que esta métrica tenía las mismas propiedades en todos los puntos del espacio. Verificar en particular que tenga la misma curvatura escalar R en todos los puntos del espacio.
   2. Demostrar que se trata de una solución de vacío en el espacio bidimensional (t, z).
   3. Supongamos que intentamos generalizar esta métrica a cuatro dimensiones como $$ds^ {2} = e^ {2gz} dt^ {2} - dx^ {2} - dy^ {2} - dz^ {2}\ ldotp$$Demostrar que esto requiere un tensor Einstein con propiedades no físicas.
9. Consideremos la siguiente propuesta para derrotar la prohibición de la relatividad sobre velocidades mayores que c. Supongamos que hacemos una cadena de miles de millones de años luz de largo y unimos un extremo de la cadena a una galaxia en particular. En su otro extremo, la cadena es libre, y barre más allá de las galaxias locales a una velocidad muy alta. Esta velocidad es proporcional a la longitud de la cadena, por lo que al hacer que la cadena sea lo suficientemente larga, podemos hacer que la velocidad supere c.
   Desacreditar esta propuesta en el caso especial del universo Milne.
10. Hacer una definición rigurosa del volumen V del universo observable. Supongamos que alguien pregunta si V depende del estado de movimiento del observador. ¿Esta pregunta tiene una respuesta bien definida? Si es así, ¿qué es? ¿Podemos calcular la dependencia del observador de V aplicando una contracción de Lorentz?
11. Para un fluido perfecto, tenemos P = w\(\rho\), donde w es una constante. Los casos w = 0 y w =\(\frac{1}{3}\) corresponden, respectivamente, a polvo y radiación. Mostrar que para un universo plano con\(\Lambda\) = 0 dominado por un solo componente que es un fluido perfecto, la solución a las ecuaciones de Friedmann es de la forma a\(\propto\) t ^\(\delta\), y determinar el exponente\(\delta\). Verifique su resultado en la caja de polvo contra el de la sección 8.2, luego encuentre el exponente en la caja de radiación. Aunque el caso w = −1 corresponde a una constante cosmológica, muestran que la solución no es de esta forma para w = −1.
12. Aplicar el resultado del problema 11 para generalizar el resultado del ejemplo 22 para el tamaño del universo observable. ¿Cuál es el resultado en el caso del universo dominado por la radiación?
13. La métrica de Kantowski-Sachs es $$ds^ {2} = dt^ {2} -\ Lambda^ {-1} (d\ theta^ {2} +\ sin^ {2}\ theta d\ phi^ {2}) - e^ {2\ sqrt {\ Lambda} t} dz^ {2}\ LDotP$ describe un universo con la topología espacial de un 3 cilindros. Utilice un sistema de álgebra computacional como Maxima para verificar los siguientes hechos.
    1. Cualquier línea mundial de la forma (t,\(\theta, \phi\), z) = (\(\lambda\), constantes) es una geodésica parametrizada por el tiempo adecuado. (Si usa Maxima, encontrará que la función cgeodesic () ahorra tiempo aquí.)
    2. Si dos de esas geodésicas se separan solo en la dirección z, la distancia entre ellas a lo largo de una superficie de t fija aumenta exponencialmente con t, mientras que las geodésicas se separan solo\(\theta\) y\(\phi\) no retroceden entre sí.
    3. No hay campos de materia, sólo una constante cosmológica\(\Lambda\).
    4. El escalar de Ricci R = −4\(\Lambda\) (+ − −− firma) es igual\(\frac{1}{3}\) al valor para la cosmología dominada por vacío de Sitter (sec. 8.2), el factor de 3 ocurre porque hay expansión a lo largo de un solo eje en lugar de tres.
    5. Se suponía que la cosmología dominada por vacío encontrada por de Sitter y presentada en el texto era la solución cosmológica única de este tipo. ¿Por qué la métrica de Kantowski-Sachs no es un contraejemplo?

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