1.5: Parménides y paradojas de Zenón

Parménides ⁸

Parménides de Elea (/pɑːrˈmɛndiːz əv ˈɛliə/; Griego: παρμενδης λετης; fl. finales del siglo VI o principios del V a.C.) fue un filósofo griego presocrático de Elea en la Magna Grecia (Gran Grecia, incluida el sur de Italia). Fue el fundador de la escuela de filosofía Eleatic. La única obra conocida de Parménides es un poema, Sobre la naturaleza, que sólo ha sobrevivido en forma fragmentaria. En este poema, Parménides describe dos visiones de la realidad. En “el camino de la verdad” (una parte del poema), explica cómo la realidad (acuñada como “what-is”) es una, el cambio es imposible, y la existencia es atemporal, uniforme, necesaria e inmutable. En “el modo de opinión”, explica el mundo de las apariencias, en el que las propias facultades sensoriales conducen a concepciones falsas y engañosas.

Vida temprana

Parménides nació en la colonia griega de Elea (ahora Ascea), la cual, según Heródoto, había sido fundada poco antes del 535 a.C. Descendía de una familia rica e ilustre.

Sus fechas son inciertas; según Diógenes Laërtius, floreció justo antes del 500 a.C., lo que pondría su año de nacimiento cerca del 540 a.C., pero Platón lo tiene visitando Atenas a la edad de 65 años, cuando Sócrates era un hombre joven, c. 450 a.C., lo que, de ser cierto, sugiere un año de nacimiento de c. 515 a.C. Se decía que era alumno de Xenófanes, e independientemente de que realmente se conocían, la filosofía de Xenófanes es la influencia más obvia en Parménides. Diógenes Laërtius también describe a Parménides como discípulo de “Ameinias, hijo de Diochaitas, el pitagórico”; pero no hay elementos pitagóricos obvios en su pensamiento.

Sin embargo, según Sir William Smith, en Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology (1870):

Otros se contentan con considerar tanto a Parménides como a Zenón como pertenecientes a la escuela pitagórica, o con hablar de una vida parmenideana, de la misma manera que se habla de una vida pitagórica; e incluso el censuro Timón permite que Parménides haya sido un hombre altísimo; mientras Platón habla de él con veneración, y Aristóteles y otros le dan una preferencia incondicional sobre el resto de las Eleáticas.

Carrera

El primer culto héroe de un filósofo que conocemos fue la dedicación de Parménides de un heroón a su maestra Ameinias en Elea. Parménides fue el fundador de la Escuela de Elea, que también incluyó a Zenón de Elea y Melissus de Samos. De su vida en Elea, se decía que había escrito las leyes de la ciudad. Su alumno más importante fue Zenón, quien según Platón era 25 años menor que él, y era considerado como sus eromenos. Parménides tuvo una gran influencia en Platón, quien no sólo nombró a un diálogo, Parménides, después de él, sino que siempre hablaba de él con veneración.

Pensamiento

William Smith también escribió en Diccionario de Biografía y Mitología Griega y Romana:

La razón es nuestra guía; sobre esta última el ojo que no capta el objeto y vuelve a hacer eco del oído. En el camino anterior nos convencemos de que lo existente no ha llegado a existir, ni es perecedero, y es enteramente de una especie, sin cambios y límites, ni pasado ni futuro, totalmente incluido en el presente. Porque es tan imposible que pueda llegar a ser y crecer a partir de lo existente, como que pueda hacerlo de lo inexistente; ya que esta última, la inexistencia, es absolutamente inconcebible, y la primera no puede precederse a sí misma; y toda venida a la existencia presupone una inexistencia. Por argumentos similares la divisibilidad, el movimiento o el cambio, como también el infinito, se excluyen de lo absolutamente existente, y este último se representa como callado en sí mismo, para que pueda compararse con una bola bien redondeada; mientras que el pensamiento se le apropia como su única definición positiva. Pensamiento y aquello que se piensa en (Objeto) coincidiendo; los pasajes correspondientes de Platón, Aristóteles, Teofrasto, y otros, que autentican esta visión de su teoría.

Adicionalmente, en el mismo volumen, Smith declaró:

De la cosmogonía de Parménides, que se realizó con mucho detalle, poseemos sólo unos pocos fragmentos y avisos, que son difíciles de entender, según los cuales, con un acercamiento a las doctrinas de los pitagóricos, concibió el sistema mundano esférico, rodeado de un círculo de la luz pura (Olimpo, Urano); en el centro de este sistema mundano la tierra sólida, y entre los dos el círculo de la vía lechera, de la estrella matutina o vespertina, del sol, los planetas y la luna; círculo que consideraba como una mezcla de los dos elementos primordiales.

Yo
Los corceles que me portan me llevaron hasta donde siempre mi corazón
Deseado, ya que me trajeron y me pusieron en el renombrado
Camino de la diosa, quien con sus propias manos conduce al hombre
que sabe a través de todas las cosas. En qué camino llevaba

5; porque en él me llevaban los sabios corceles, dibujando mi carro,
y las doncellas mostraban el camino. Y el eje, resplandeciendo en el zócalo
-pues se le urgió redondo por las ruedas giratorias en cada
extremo- dio un sonido como de una pipa, cuando las hijas del
Sol, apresurándose a transmitirme a la luz, echaron hacia atrás sus velos

10 de apagado sus rostros y salieron de la morada de la Noche.
Ahí están las puertas de los caminos de Noche y Día, equipadas
arriba con un dintel y abajo con un umbral de piedra. Ellos
mismos, en lo alto del aire, están cerrados por poderosas puertas, y
Avenging Justice guarda las llaves que los abren. Ella hizo

15 las doncellas suplicando con suaves palabras y hábilmente persuadieron
a desabrochar sin desmurar las barras atornilladas de las puertas.
Entonces, cuando las puertas fueron arrojadas hacia atrás,
revelaron una amplia, cuando sus
bisagras descaradas se balanceaban hacia atrás en los

20 zócalos sujetos con remaches y clavos. Directamente a través de ellos,
en el camino amplio, las doncellas guiaron a los caballos
y al carro, y la diosa me saludó amablemente, y tomó mi mano derecha
en la de ella, y me habló estas palabras: -
Bienvenida, noble juventud, que viene a mi morada en el carro

25 que te lleva atendido por aurigas inmortales! No es mala
oportunidad, sino justicia y derecho lo que te ha enviado a viajar
por este camino. Lejos, en efecto, ¡miente de los caminos trillados de
los hombres! Cumplir es que debes aprender todas las cosas, así como
el corazón inquebrantable de la verdad persuasiva, como las opiniones de

30 mortales en las que no hay verdadera creencia en absoluto. Sin embargo, sin
embargo, aprenderás también de estas cosas, ya que debes juzgar
con aprobación las cosas que a los hombres les parecen como vas a
través de todas las cosas en tu camino”.

II

Ven ahora, te diré -y escuchas mi
dicho y te lo llevas- las únicas dos formas de búsqueda en las que se
puede pensar. El primero, a saber, que es, y que es
imposible que nada no sea, es el camino de. convicción,

5 porque la verdad es su compañera.. El otro, es decir, que no es,
y que algo no tiene que ser necesario, - eso, te digo, es un camino
totalmente poco confiable. Porque no se puede saber lo que
no es -eso es imposible- ni pronunciarlo;

III

Porque es lo mismo que se puede pensar y que puede ser.


VI

Debe ser que lo que se pueda pensar y hablar sea;
porque es posible que sea, y no es posible para, lo que no es
nada que ser. Esto es lo que te pido que reflexione. Te
retengo de esta primera forma de indagación, y de esta otra también,

5 sobre la que los mortales que no saben nada vagan en dos mentes; porque la
vacilación guía el pensamiento errante en sus pechos, para que
sean llevados estupefactos como los hombres sordos y ciegos.
Multitudes sin discernimiento, en cuyos ojos lo mismo y no lo
mismo es y no es, ¡y todas las cosas viajan en direcciones opuestas!

VII

Porque esto nunca se probará, que las cosas que no son
son; y retienes tu pensamiento de esta manera de indagación.
Ni que el hábito te obligue a echar un ojo errante sobre esta pista
tortuosa, ni a voltear ahí tu oído rotundo o tu lengua

5; pero juzgas la sutil refutación de su
discurso pronunciado por mí.

VIII

Un solo camino nos queda para
hablar, es decir, que es. En ella hay muchísimas fichas que
lo que es, es incrédulo e indestructible, solo, completo,
inamovible y sin fin. Ni fue nunca, ni lo será; desde hace

5 ahora es, todo a la vez, uno continuo. Para que tipo de origen
para ello. ¿buscarás? ¿De qué manera y de qué fuente
podría haber sacado su incremento? No te dejaré decir ni
pensar que vino de lo que no es; porque no se puede
pensar ni pronunciar que lo que no es es. Y, si viniera de

10 nada, ¿qué necesidad podría haber hecho que surgiera más tarde que
antes? Por lo tanto, debe ser del todo o no serlo en
absoluto. Tampoco sufrirá nada la fuerza de la verdad para surgir además de
sí misma de aquello que de alguna manera es. Por lo tanto, la Justicia
no suelta sus grilletes y deja que nada venga a existir o pase a

15, sino que la sostiene firme.
“¿Es o no? “Seguramente se considera, como debe
ser necesario, que debemos dejar de lado el único camino como impensable y
sin nombre (porque no es un camino verdadero), y que el otro camino es real
y verdadero. ¿Cómo, entonces, puede lo que va a ser en el futuro de los

20? ¿O cómo podría llegar a existir? Si llegó a
existir, no lo es; ni lo es si va a ser en el futuro. Así se está
extinguiendo y falleciendo para no ser oído hablar.
Tampoco es divisible, ya que es todo igual, y no hay más
de ella en un lugar que en otro, para impedir que se mantenga
unida, ni menos de ella, pero todo está lleno de lo que es.

25 Por tanto, todos se mantienen unidos; porque lo que es; está en contacto con lo que es.
Es más, es inamovible en los lazos de cadenas poderosas, sin
principio y sin fin; ya que venir a
existir y fallecer han sido alejados, y la verdadera creencia los ha desechado.
Es lo mismo, y descansa en el mismo lugar, permaneciendo en sí mismo.

30 Y así permanece constante en su lugar; porque la dura necesidad la
mantiene en las ataduras del límite que la mantiene firme por cada lado.
Por lo tanto, no está permitido a lo que ha de ser infinito; porque no necesita nada; mientras que, si fuera infinito, estaría necesitado de todo. Es lo
mismo que se puede pensar y por el bien de lo cual existe el pensamiento;

35 porque no se puede encontrar el pensamiento sin algo que es, a lo que está
prometido. Y no hay, y nunca habrá, ningún otro tiempo que el que
está presente, ya que el destino lo ha encadenado para que sea íntegro e inamovible.
Por tanto, todas estas cosas no son más que los nombres que los mortales
han dado, creyéndolos, para ser verdad

—40 llegando a existir y fallecer, ser y no ser,
cambio de lugar y alteración de color brillante.
Donde, entonces, tiene su límite más lejano, está completo en
cada lado, igualmente equilibrado desde el centro en todas direcciones,
como la masa de una esfera redondeada; porque no puede ser mayor o

45 menor en un lugar que en otro. Porque no hay nada
que no sea que pueda impedir que se alcance por igual, ni
es posible que haya más de lo que hay en este lugar
y menos en eso, ya que todo es inviolable. Porque, al ser igual
en todas las direcciones, está igualmente confinado dentro de límites.

50 Aquí voy a cerrar mi discurso digno de confianza y pensar en la verdad.
De ahora en adelante aprender las opiniones de los mortales,
dando oídos al ordenamiento engañoso de mis palabras.
Los mortales se han asentado en sus mentes para hablar de dos formas, una de las cuales
deberían haber omitido, y ahí es donde se desvían de la verdad.

55 Han asignado una
sustancia opuesta a cada uno, y marcas distintas entre sí. A
uno le asignan el fuego del cielo, ligero, delgado, en todas direcciones lo
mismo que él mismo, pero no lo mismo que el otro. El otro es
opuesto a él, noche oscura, un cuerpo compacto y pesado. De estos

60 te digo todo el arreglo como les parece a los hombres,
para que ningún mortal te supere en el conocimiento.

IX

Ahora que todas las cosas han sido nombradas luz y noche; y las cosas
que pertenecen al poder de cada una han sido asignadas a estas
cosas y a aquellas, todo está lleno a la vez de luz y noche oscura,
ambos iguales, ya que ninguno tiene nada que ver con el otro.

X

Y conocerás el origen de todas las cosas en lo alto,
y todas las señales en el cielo, y las obras resplandecientes de la clara antorcha del sol
resplandeciente, y de dónde se levantaron. Y
aprenderás igualmente de las hazañas errantes de la luna de

5 caras redondas, y de su origen. También conocerás los cielos
que nos rodean, de dónde se levantaron, y cómo la Necesidad
los tomó y los ató para mantener los límites de las estrellas.

XI

Cómo
surgieron la tierra, y el sol, y la luna, y el cielo que es
común a todos, y la Vía Láctea, y los Olympos más exteriores,
y el poder ardiente de las estrellas.

XII

Los círculos más estrechos se llenan de fuego sin mezclar, y los que los
rodean de noche, y en medio de estos juncos
su porción de fuego. En medio de estos círculos está la divinidad que dirige
el curso de todas las cosas; pues ella gobierna sobre todo nacimiento doloroso y todo engendrador,

5 impulsando a la hembra al abrazo del macho, y al macho al de la hembra.

XIII

Ante todo los dioses que ella inventó Eros.

XIV

Brillando de noche con luz prestada, deambulando por la tierra.

XV

Siempre esforzando sus ojos a los rayos del sol.

XVII A

la derecha chicos; a la izquierda chicas.

XIX

Así, según las opiniones de los hombres, las cosas se competían en
ser, y así lo son ahora. Con el tiempo (ellos piensan) van a
crecer y fallecer. A cada una de estas cosas los hombres
le han asignado un nombre fijo.

PARADOJAS DE ZENO ¹⁰

Las paradojas de Zenón son un conjunto de problemas filosóficos generalmente pensados por el filósofo griego Zenón de Elea (ca. 490—430 a.C.) para apoyar la doctrina de Parménides de que contrariamente a la evidencia de los propios sentidos, la creencia en la pluralidad y el cambio es errónea, y en particular ese movimiento no es más que una ilusión. Se suele suponer, a partir de los Parménides de Platón (128a—d), que Zenón asumió el proyecto de crear estas paradojas porque otros filósofos habían creado paradojas contra la visión de Parménides. Así Platón tiene Zenón decir que el propósito de las paradojas “es mostrar que su hipótesis de que las existencias son muchas, si se les da un seguimiento adecuado, lleva a resultados aún más absurdos que la hipótesis de que son una sola”. (Parménides 128d). Platón tiene Sócrates afirmar que Zenón y Parménides estaban esencialmente argumentando exactamente el mismo punto (Parménides 128a—b).

Algunas de las nueve paradojas supervivientes de Zenón (conservadas en la Física de Aristóteles y el comentario de Simplicio al respecto) son esencialmente equivalentes entre sí. Aristóteles ofreció una refutación de algunos de ellos. Tres de los más fuertes y famosos —el de Aquiles y la tortuga, el argumento de la dicotomía, y el de una flecha en vuelo— se presentan en detalle a continuación.

Los argumentos de Zenón son quizás los primeros ejemplos de un método de prueba llamado reductio ad absurdum también conocido como prueba por contradicción. También se les atribuye como fuente del método dialéctico utilizado por Sócrates.

Algunos matemáticos e historiadores, como Carl Boyer, sostienen que las paradojas de Zeno son simplemente problemas matemáticos, para los cuales el cálculo moderno proporciona una solución matemática. Algunos filósofos, sin embargo, dicen que las paradojas de Zenón y sus variaciones (ver la lámpara de Thomson) siguen siendo problemas metafísicos relevantes.

Los orígenes de las paradojas son algo poco claros. Diógenes Laertius, cuarta fuente de información sobre Zenón y sus enseñanzas, citando a Favorino, dice que el maestro de Zenón, Parménides, fue el primero en introducir la paradoja de Aquiles y la tortuga. Pero en un pasaje posterior, Laertius atribuye el origen de la paradoja a Zenón, explicando que Favorino no está de acuerdo.

Paradojas del movimiento

Aquiles y la tortuga

Aquiles y la tortuga

En una carrera, el corredor más rápido nunca podrá adelantar al más lento, ya que el perseguidor primero debe llegar al punto de donde arrancó el perseguido, para que el más lento siempre tenga ventaja. — según lo relata Aristóteles, Física VI:9, 239b15

En la paradoja de Aquiles y la Tortuga, Aquiles se encuentra en un pie de carrera con la tortuga. Aquiles permite a la tortuga una ventaja inicial de 100 metros, por ejemplo. Si suponemos que cada corredor empieza a correr a cierta velocidad constante (uno muy rápido y otro muy lento), entonces después de algún tiempo finito, Aquiles habrá corrido 100 metros, llevándolo al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha recorrido una distancia mucho más corta, digamos, 10 metros. Entonces le tomará a Aquiles algún tiempo más correr esa distancia, momento en el cual la tortuga habrá avanzado más; y luego aún más tiempo para llegar a este tercer punto, mientras la tortuga avanza. Así, cada vez que Aquiles llega a algún lugar donde ha estado la tortuga, todavía le queda más lejos por recorrer. Por lo tanto, debido a que hay un número infinito de puntos que Aquiles debe alcanzar donde ya ha estado la tortuga, nunca podrá adelantar a la tortuga.

Paradoja dicotomía

Aquello que está en locomoción debe llegar a la etapa intermedia antes de que llegue a la portería. — según lo relata Aristóteles, Física VI:9, 239b10

Supongamos que Homero desea caminar hasta el final de un camino. Antes de que pueda llegar ahí, debe llegar a mitad de camino. Antes de que pueda llegar a mitad de camino, debe llegar hasta allí una cuarta parte del camino. Antes de viajar un cuarto, deberá viajar un octavo; antes de un octavo, un decimosexto; y así sucesivamente.

Esta descripción requiere de uno para completar un número infinito de tareas, lo que Zeno mantiene es una imposibilidad.

Esta secuencia también presenta un segundo problema en que no contiene una primera distancia para correr, ya que cualquier posible primera distancia (finita) podría dividirse por la mitad, y por lo tanto no sería la primera después de todo. De ahí que el viaje ni siquiera pueda comenzar. La conclusión paradójica entonces sería que el recorrido por cualquier distancia finita no puede completarse ni iniciarse, por lo que todo movimiento debe ser una ilusión. Una conclusión alternativa, propuesta por Henri Bergson, es que el movimiento (tiempo y distancia) en realidad no es divisible.

A este argumento se le llama la Dicotomía porque implica dividir repetidamente una distancia en dos partes. Contiene algunos de los mismos elementos que la paradoja de Aquiles y Tortuga, pero con una conclusión más aparente de inmovilidad. También se le conoce como la paradoja del hipódromo. Algunos, como Aristóteles, consideran la Dicotomía como realmente una versión más de Aquiles y la Tortuga.

Hay dos versiones de la paradoja de la dicotomía. En la otra versión, antes de que Homero pudiera llegar al final del camino, debe llegar a la mitad de la distancia hasta él. Antes de llegar a la última mitad, deberá completar el siguiente cuarto de la distancia. Al llegar al siguiente cuarto, deberá entonces cubrir el siguiente octavo de la distancia, luego el siguiente decimosexto, y así sucesivamente. Hay así un número infinito de pasos que primero deben cumplirse antes de que pudiera llegar al final del camino. Expresada de esta manera, la paradoja de la dicotomía es muy análoga a la de Aquiles y la tortuga.

Paradoja de la flecha

Si todo cuando ocupa un espacio igual está en reposo, y si lo que está en locomoción siempre está ocupando ese espacio en cualquier momento, la flecha voladora queda, por tanto, inmóvil.

— según lo relata Aristóteles, Física VI:9, 239b5

En la paradoja de la flecha (también conocida como la paradoja del fletcher), Zenón afirma que para que ocurra el movimiento, un objeto debe cambiar la posición que ocupa. Da un ejemplo de una flecha en vuelo. Afirma que en cualquier instante de tiempo (sin duración), la flecha no se mueve hacia donde está, ni hacia donde no lo está. No puede moverse a donde no está, porque no pasa tiempo para que se mueva ahí; no puede moverse a donde está, porque ya está ahí. En otras palabras, en cada instante del tiempo no se produce movimiento. Si todo está inmóvil a cada instante, y el tiempo está completamente compuesto de instantes, entonces el movimiento es imposible.

Mientras que las dos primeras paradojas dividen el espacio, esta paradoja comienza dividiendo el tiempo y no en segmentos, sino en puntos.

Otras tres paradojas dadas por Aristóteles

Paradoja del lugar

De Aristóteles:

si todo lo que existe tiene un lugar, el lugar también tendrá un lugar, y así sucesivamente ad infinitum.

Paradoja del grano de mijo

Descripción de la paradoja del Diccionario de Filosofía Routledge:

El argumento es que un solo grano de mijo no emite ningún sonido al caer, pero mil granos hacen un sonido. De ahí que mil nada se conviertan en algo, en una conclusión absurda.

La refutación de Aristóteles:

Zeno se equivoca al decir que no hay ninguna parte del mijo que no haga sonido: pues no hay razón para que alguna parte de ese tipo no deba en ningún lapso de tiempo dejar de mover el aire que todo el bushel se mueve al caer. De hecho no mueve por sí misma ni siquiera tal cantidad del aire como se movería si esta parte fuera por sí misma: porque ninguna parte existe incluso de otra manera que potencialmente.

Descripción de Nick Huggett:

Se trata de un argumento parmenideano de que no se puede confiar en el sentido del oído. La respuesta de Aristóteles parece ser que incluso los sonidos inaudibles pueden agregarse a un sonido audible.

Las filas móviles (o estadio)

Las filas móviles

De Aristóteles:

concerniente a las dos filas de cuerpos, estando compuesta cada fila por un número igual de cuerpos de igual tamaño, pasando entre sí en un recorrido de carrera a medida que avanzan con igual velocidad en direcciones opuestas, ocupando originalmente una fila el espacio entre la meta y el punto medio del recorrido y la otra que entre el punto medio y el poste inicial. Esto... implica la conclusión de que la mitad de un tiempo dado es igual al doble de ese tiempo.

Para un relato ampliado de los argumentos de Zenón tal como lo presentó Aristóteles, véase el comentario de Simplicio sobre la física de Aristóteles.

Soluciones propuestas

Simplicio de Cilicia

Según Simplicio, Diógenes el Cínico no dijo nada al escuchar los argumentos de Zenón, sino que se puso de pie y caminó, para demostrar la falsedad de las conclusiones de Zenón. Para resolver completamente cualquiera de las paradojas, sin embargo, se necesita mostrar lo que está mal con el argumento, no solo las conclusiones. A través de la historia, se han propuesto varias soluciones, entre las primeras registradas están las de Aristóteles y Arquímedes.

Aristóteles

Aristóteles (384 BC−322 a.C.) comentó que a medida que disminuye la distancia, el tiempo necesario para cubrir esas distancias también disminuye, de manera que el tiempo necesario también se vuelve cada vez más pequeño. Aristóteles también distinguió “las cosas infinitas con respecto a la divisibilidad” (como una unidad de espacio que puede dividirse mentalmente en unidades cada vez más pequeñas sin dejar de ser espacialmente iguales) de las cosas (o distancias) que son infinitas en extensión (“con respecto a sus extremidades”). La objeción de Aristóteles a la paradoja de la flecha era que “El tiempo no está compuesto por ahornos indivisibles más que cualquier otra magnitud está compuesta por indivisibles”.

Tomás de Aquino

Tomás de Aquino, al comentar la objeción de Aristóteles, escribió “Los instantes no son partes del tiempo, porque el tiempo no se compone de instantes más que una magnitud está hecha de puntos, como ya hemos demostrado. De ahí que no se deduce que una cosa no esté en movimiento en un tiempo dado, sólo porque no está en movimiento en ningún instante de ese tiempo”.

Arquímedes

Antes del 212 a.C., Arquímedes había desarrollado un método para derivar una respuesta finita para la suma de infinitamente muchos términos que se hacen progresivamente más pequeños. (Ver: Serie geométrica, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·, La Cuadratura de la Parábola.) El cálculo moderno logra el mismo resultado, utilizando métodos más rigurosos (ver series convergentes, donde las series “recíprocas de poderes de 2", equivalente a la Paradoja de la Dicotomía, se listan como convergentes). Estos métodos permiten la construcción de soluciones basadas en las condiciones estipuladas por Zenón, es decir, la cantidad de tiempo que se tarda en cada paso es geométricamente decreciente.

Bertrand Russell

Bertrand Russell ofreció lo que se conoce como la “teoría at-at del movimiento”. Está de acuerdo en que no puede haber movimiento “durante” un instante sin duración, y sostiene que todo lo que se requiere para el movimiento es que la flecha esté en un punto a la vez, en otro punto en otro momento, y en los puntos apropiados entre esos dos puntos para tiempos intermedios. En esta visión el movimiento es una función de la posición con respecto al tiempo.

Nick Huggett

Nick Huggett sostiene que Zenón está asumiendo la conclusión cuando dice que los objetos que ocupan el mismo espacio que lo hacen en reposo deben estar en reposo.

Peter Lynds

Peter Lynds ha argumentado que todas las paradojas del movimiento de Zenón se resuelven con la conclusión de que los instantes en el tiempo y las magnitudes instantáneas no existen físicamente. Lynds sostiene que un objeto en movimiento relativo no puede tener una posición relativa instantánea o determinada (porque si lo hiciera, no podría estar en movimiento), y así no puede tener su movimiento fraccionalmente disecado como si lo hiciera, como suponen las paradojas. Para más información sobre la incapacidad de conocer tanto la velocidad como la ubicación, consulte Principio de incertidumbre de Heisenberg.

Hermann Weyl

Otra solución propuesta es cuestionar uno de los supuestos que Zenón utilizó en sus paradojas (particularmente la Dicotomía), que es que entre dos puntos diferentes cualesquiera en el espacio (o tiempo), siempre hay otro punto. Sin esta suposición sólo hay un número finito de distancias entre dos puntos, de ahí que no haya una secuencia infinita de movimientos, y se resuelve la paradoja. Las ideas de la longitud de Planck y el tiempo de Planck en la física moderna ponen un límite a la medición del tiempo y el espacio, si no en el tiempo y el espacio mismos. Según Hermann Weyl, la suposición de que el espacio está hecho de unidades finitas y discretas está sujeta a otro problema, dado por el “argumento de mosaico” o “problema de función de distancia”. Según esto, la longitud de la hipotenusa de un triángulo en ángulo recto en el espacio discretizado siempre es igual a la longitud de uno de los dos lados, en contradicción con la geometría. Jean Paul Van Bendegem ha argumentado que el Argumento del azulejo puede resolverse, y que la discretización puede, por lo tanto, eliminar la paradoja.

Hans Reichenbach

Hans Reichenbach ha propuesto que la paradoja puede surgir de considerar el espacio y el tiempo como entidades separadas. En una teoría como la relatividad general, que presume un único continuo espacio-tiempo, la paradoja puede ser bloqueada.

Las paradojas en los tiempos modernos

Los procesos infinitos permanecieron teóricamente problemáticos en matemáticas hasta finales del siglo XIX. La versión épsilon-delta de Weierstrass y Cauchy desarrolló una formulación rigurosa de la lógica y el cálculo involucrados. Estos trabajos resolvieron las matemáticas que implicaban procesos infinitos.

Si bien las matemáticas pueden calcular dónde y cuándo el Aquiles en movimiento superará a la paradoja de Tortuga de Zenón, filósofos como Brown y Moorcroft afirman que las matemáticas no abordan el punto central en el argumento de Zenón, y que resolver los problemas matemáticos no resuelve todos los temas las paradojas elevar.

La literatura popular suele tergiversar los argumentos de Zenón. Por ejemplo, a menudo se dice que Zenón argumentó que la suma de un número infinito de términos debe ser infinita, con el resultado de que no sólo el tiempo, sino también la distancia a recorrer, se vuelven infinitos. Sin embargo, ninguna de las fuentes antiguas originales tiene Zenón discutiendo la suma de ninguna serie infinita. Simplicio tiene Zenón diciendo “es imposible atravesar un número infinito de cosas en un tiempo finito”. Esto presenta el problema de Zenón no con encontrar la suma, sino con terminar una tarea con un número infinito de pasos: cómo se puede llegar de A a B, si se puede identificar un número infinito de eventos (no instantáneos) que necesitan preceder a la llegada a B, y uno no puede alcanzar incluso el comienzo de un “último evento”?

Continúa el debate sobre la cuestión de si se han resuelto o no las paradojas de Zenón. En La historia de las matemáticas: una introducción (2010) Burton escribe, “Aunque el argumento de Zenón confundió a sus contemporáneos, una explicación satisfactoria incorpora una idea ahora familiar, la noción de una 'serie infinita convergente'”.

Bertrand Russell ofreció una “solución” a las paradojas basadas en la obra de Georg Cantor, pero Brown concluye “Dada la historia de las 'soluciones finales', de Aristóteles en adelante, probablemente sea temerario pensar que hemos llegado al final. Puede ser que los argumentos de Zenón sobre el movimiento, por su sencillez y universalidad, siempre sirvan como una especie de 'imagen de Rorschach' sobre la que las personas puedan proyectar sus preocupaciones fenomenológicas más fundamentales (si las tienen)”.

Pat Corvini ofrece una solución a la paradoja de Aquiles y la tortuga al distinguir primero el mundo físico de las matemáticas abstractas utilizadas para describirlo. Ella afirma que la paradoja surge de un sutil pero fatal cambio entre lo físico y lo abstracto. El silogismo de Zenón es el siguiente:

• P1: Aquiles primero debe atravesar un número infinito de divisiones para llegar a la tortuga
• P2: es imposible que Aquiles atraviese un número infinito de divisiones
• C: por lo tanto, Aquiles nunca podrá superar a la tortuga

Corvini muestra que P1 es una abstracción matemática que no se puede aplicar directamente a P2 que es una afirmación con respecto al mundo físico. El mundo físico requiere una cantidad de resolución utilizada para distinguir la distancia mientras que las matemáticas pueden usar cualquier resolución.

Un antiguo equivalente filosófico chino

Los antiguos filósofos chinos Han de la Escuela Mohista de Nombres durante el período de los Estados Combatientes de China (479-221 a. C.) desarrollaron independientemente equivalentes a algunas de las paradojas de Zenón. El científico e historiador Sir Joseph Needham, en su apreciada obra académica Ciencia y civilización en China, describe una antigua paradoja china del libro de lógica de la Escuela Mohista de Nombres sobreviviente que afirma, en la escritura arcaica antigua china, “un palo de un pie, todos los días le quita la mitad, en una miríada de edades no se agotará”. Se conocen varias otras paradojas de esta escuela filosófica (más precisamente, el movimiento), pero su interpretación moderna es más especulativa.

Efecto Quantum Zeno

En 1977, los físicos E. C. G. Sudarshan y B. Misra que estudiaban la mecánica cuántica descubrieron que la evolución dinámica (movimiento) de un sistema cuántico puede ser obstaculizada (o incluso inhibida) a través de la observación del sistema. Este efecto suele llamarse el “efecto Zeno cuántico” ya que recuerda fuertemente a la paradoja de la flecha de Zenón. Este efecto se teorizó por primera vez en 1958.

Comportamiento de Zenón

En el campo de la verificación y diseño de sistemas cronometrados e híbridos, el comportamiento del sistema se llama Zeno si incluye un número infinito de pasos discretos en una cantidad finita de tiempo. Algunas técnicas formales de verificación excluyen estos comportamientos del análisis, si no son equivalentes al comportamiento no ZenO.

En el diseño de sistemas estos comportamientos también suelen ser excluidos de los modelos de sistema, ya que no pueden implementarse con un controlador digital.