3.3: La Plaza de la Oposición

Habiendo establecido los límites de nuestro dominio de lenguaje natural lógicamente bien portado, pasamos ahora a una investigación de las propiedades de sus habitantes. Los cuatro tipos de categorias están relacionados entre sí de manera sistemática; veremos esas relaciones.

Las relaciones son inferenciales: muchas veces podemos inferir, por ejemplo, de la verdad de una de las cuatro categóricas, si las otras tres son verdaderas o falsas. Estas relaciones inferenciales entre las cuatro proposiciones categóricas se resumen gráficamente en un diagrama: La Plaza de la Oposición. El diagrama se ve así:

Los cuatro tipos de proposiciones categóricas se disponen en las cuatro esquinas del cuadrado, y a lo largo de los lados y diagonales se marcan las relaciones que obtienen entre pares de ellas. Tomamos estas relaciones hacia arriba a su vez.

Contradictorias

Pares contradictorios de proposiciones categóricas se encuentran en esquinas opuestas entre sí en la Plaza de la Oposición. Las proposiciones A y O son contradictorias; las proposiciones E e I son contradictorias. Lo que significa que un par de proposiciones sean contradictorias es esto: tienen valores de verdad opuestos; cuando una es verdadera, la otra debe ser falsa, y viceversa.

Esto es bastante intuitivo. Considera una propuesta A: todos los marineros son piratas. Supongamos que hago esa afirmación. ¿Cómo me contradice? ¿Cómo demuestras que me equivoco? “Mi hermano está en la Marina”, podrías protestar. “Es marinero, pero no es pirata”. Eso haría el truco. La forma en que contradice una afirmación afirmativa universal —una afirmación de que todas las S son P— es demostrando que hay al menos una S (un marinero en este caso, tu hermano) que no es P (no un pirata, como tu hermano no lo es). Al menos una S que no es una P — eso es solo lo negativo particular, O proposición, que algunas S no son P. (Recuerda: 'algunos' significa 'hay al menos uno'.) Las proposiciones A y O hacen afirmaciones opuestas, contradictorias. Si es falso que todos los marineros son piratas, entonces debe ser cierto que algunos de ellos no lo son; así es como demostras que es falso. De igual manera, si es cierto que todos los perros son animales (lo es), entonces debe ser falso que algunos de ellos no lo sean (no vas a encontrar ni siquiera un perro que no sea un animal). Las proposiciones A y O tienen valores de verdad opuestos.

De igual manera para las proposiciones E e I. Si afirmo que ningún santo es sacerdote, y tú me quieres contradecir, lo que tienes que hacer es llegar a un santo que fuera sacerdote. No es difícil: Santo Tomás de Aquino (quien fue el intérprete medieval más destacado de Aristóteles, por cierto, y un excelente filósofo por derecho propio) era sacerdote. Entonces, para contradecir la afirmación negativa universal —que ninguna S es P— hay que demostrar que hay al menos una S (un santo en este caso, Tomás de Aquino) que de hecho es una P (un sacerdote, como lo era Aquino). Al menos una S que es una P, eso es solo lo afirmativo particular, propongo, que algunas S son P. (Nuevamente, 'algunos' significa 'hay al menos uno'.) E y yo las proposiciones hacen afirmaciones opuestas, contradictorias. Si es falso que ningún santo sea sacerdote, debe ser cierto que algunos de ellos lo son; así es como demostras que es falso. De igual manera, es cierto que ningún gato es perro (lo es), entonces debe ser falso que algunos de ellos lo sean (no vas a encontrar ni un gato que sea un perro). Las proposiciones E e I tienen valores de verdad opuestos.

Contrarios

Las dos proposiciones universales —A y E, a lo largo de la parte superior de la Plaza— son un par contrario. Esta es una forma de oposición un poco más débil que ser contradictoria. Ser contrario significa que ambos no pueden ser ciertos, pero ambos podrían ser falsos, aunque no necesitan que ambos sean falsos; uno podría ser verdadero y el otro falso.

Nuevamente, esto es intuitivo. Supongamos que reclamo el afirmativo universal, “Todos los perros van al cielo”, y usted reclama el negativo universal correspondiente, “Ningún perro va al cielo”. (Esas oraciones no están en forma estándar, pero la traducción es fácil). Observación obvia: los dos no podemos tener razón; es decir, ambas afirmaciones no pueden ser ciertas. Por otro lado, los dos podríamos equivocarnos. Supongamos que meterse en el cielo, para los perros, es la forma en que dicen que es para la gente: si eres bueno y esas cosas, entonces entras; pero si eres malo, oh chico, es el Otro Lugar para ti. En ese caso, ambas afirmaciones son falsas: algunos perros (los buenos) van al cielo, pero algunos perros (los malos, los que muerden a los niños, tal vez) no, pero esa imagen también podría estar equivocada. Yo podría tener razón y tú podrías equivocarte: Dios ama a todos los perros por igual y obtienen un pase libre al cielo. O, podría equivocarme y tú podrías tener razón: Dios odia a los perros y no deja entrar a ninguno de ellos; o tal vez no hay cielo en absoluto, y así nadie va ahí, perros incluidos.

Subcontrarios

A lo largo del fondo de la Plaza tenemos las dos Proposiciones particulares —la I y la O— y se dice que son subcontrarias. Esto significa que ambos no pueden ser falsos, pero ambos podrían ser ciertos, aunque no tienen por qué serlo; uno podría ser verdadero y el otro falso.

Es fácil ver cómo tanto yo como O podríamos ser verdad. De hecho, algunos marineros son piratas. Eso es cierto. También, de hecho, algunos de ellos no lo son. También es fácil ver cómo una de las proposiciones particulares podría ser cierta y la otra falsa, siempre que tengamos en cuenta que 'algunos' solo significa 'hay al menos uno'. Es cierto que algunos perros son mamíferos —es decir, hay al menos un perro que es un animal— así que yo proposición es verdad. De hecho, todos ellos son —la proposición A también es cierta. Lo que significa, ya que A y O son contradictorias, que la proposición O correspondiente —que algunos perros no son mamíferos— debe ser falsa. De igual manera, es cierto que algunas mujeres no son sacerdotes (católicas) (al menos una mujer no es sacerdote); y es falso que algunas mujeres sean sacerdotes (la Iglesia no lo permite). Entonces O puede ser verdad mientras yo sea falso.

Es un poco más difícil ver por qué ambas proposiciones particulares no pueden ser falsas. ¿Por qué no pueden ser falsos 'Algunos surfistas son sacerdotes' y 'Algunos surfistas no son sacerdotas'? No es inmediatamente obvio. Pero piénsalo bien: si el I (algunos surfistas son sacerdotes) es falso, eso significa que la E (ningún surfista es sacerdote) debe ser verdad, ya que yo y E son contradictorios; y si la O (algunos surfistas no son sacerdotes) es falsa, eso significa que la A (todos los surfistas son sacerdotes) debe ser verdad, ya que O y A son contradictorios. Es decir, si yo y O fueran ambos falsos, entonces las proposiciones A y E correspondientes tendrían que ser ambas verdaderas. Pero, como ya hemos visto, esto es (obviamente) imposible: si afirmo que todos los surfistas son sacerdotes y tú dices que ninguno de ellos lo es, no podemos tener razón los dos.

Subalternos

Las proposiciones particulares en la parte inferior de la mesa —I y O— son subalternas de las proposiciones universales directamente encima de ellas, y E, respectivamente. (Y las proposiciones universales se llaman superalternas) Esto quiere decir que las parejas tienen la siguiente relación: si la proposición universal es verdadera, entonces la proposición particular (su subalterna) también debe ser cierta. Es decir, si una proposición A es verdadera, su proposición I correspondiente también debe ser cierta; si una proposición E es verdadera, su proposición O correspondiente también debe ser cierta.

Esto es intuitivo si tenemos en cuenta, como siempre, que 'algunos' significa 'hay al menos uno'. Supongamos que la proposición A de que todas las ballenas son mamíferos es cierta (lo es); entonces la proposición I correspondiente, que algunas ballenas son mamíferos, también debe ser cierta. Nuevamente, 'algunas ballenas son mamás' solo significa 'al menos una ballena es mamá'; si todas son, ¡entonces al menos una de ellas lo es! De igual manera, en el lado negativo de la plaza, si es cierto los no sacerdotes son mujeres (negativo universal, E), entonces tiene que ser cierto que algunos sacerdotes no son mujeres (particular negativo, O) —que al menos un sacerdote no es mujer. Si ninguno de ellos lo es, ¡entonces al menos uno no lo es!

Observe que estas relaciones se representan de una manera ligeramente diferente a las demás en la Plaza de la Oposición: hay una flecha apuntando hacia el fondo. Esto se debe a que la relación no es simétrica. Si la proposición en la parte superior es verdadera, entonces la de abajo también debe ser cierta; pero al revés no es el caso. Si una proposición I es cierta —algunos marineros son piratas— no se deduce que la propuesta A correspondiente —que todos los marineros son piratas— sea cierta. De igual manera, la verdad de una proposición O —algunos surfistas no son sacerdotes— no garantiza la verdad de la proposición E correspondiente, de que ningún surfista es sacerdote. (Dudo que sea verdad; tiene que haber al menos un sacerdote surfista, ¿no? Entonces otra vez... El punto es que la O no nos dice si es verdad o no)

La verdad, por así decirlo, viaja por el costado de la Plaza. La falsedad no: si la proposición universal es falsa, eso no nos dice nada sobre la verdad o falsedad del particular correspondiente. Podrías tener una falsa proposición A —todos los hombres son sacerdotes— con una verdadera I correspondiente— Algunos hombres son sacerdotes. Pero también podrías tener una falsa proposición A —todos los gatos son perros— cuya correspondiente I —algunos gatos son perros— también es falsa. De igual manera, podrías tener una falsa proposición E —ningún hombre es sacerdotal— con una verdadera O correspondiente— Algunos hombres no son sacerdotes. Pero también podrías tener una falsa proposición E —ninguna ballena es mamíferos— cuya O correspondiente —algunas ballenas no son mamíferos— también es falsa.

La falsedad no viaja por el costado de la Plaza, pero sí viaja hacia arriba. Es decir, si una Proposición particular —I u O— es falsa, entonces su correspondiente Proposición universal —una o E, respectivamente— también debe ser falsa. Piénsalo en abstracto: si es falso que algunas S sean P, eso significa que ni siquiera hay en S eso también es P; bueno en ese caso, ¡no hay forma de que todas las Ss sean Ps! Falso I, falso A. Igualmente en el lado negativo: si es falso que algunas S no sean P, eso significa que no encontrarás ni una S que no sea P, es decir todas las Ss son Ps; en ese caso, es falso que ninguna S sea P (A y E son contrarias). Falso O, falso E.

Inferencias

Dada la información sobre la verdad o falsedad de una proposición categórica, podemos utilizar las relaciones resumidas en la Plaza de la Oposición para hacer inferencias sobre los valores de verdad de los otros tres tipos de proposiciones categóricas.

Esto es a lo que me refiero. Supongamos que una proposición afirmativa universal —una proposición A— es verdadera. ¿Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones E, I y O correspondientes? (Por “correspondiente”, me refiero a proposiciones con el mismo sujeto y clases de predicado.) The Square nos puede ayudar a responder estas preguntas. En primer lugar, A está en la esquina opuesta a O —son contradictorios. Eso significa que A y O tienen que tener valores de verdad opuestos. Bueno, si A es verdad, como estamos suponiendo, entonces la proposición O correspondiente tiene que ser falsa. Además, A y E son contrarios. Eso quiere decir que ambos no pueden ser ciertos. Bueno, estamos suponiendo que la A es verdadera, entonces la E correspondiente debe ser falsa. ¿Qué pasa con la proposición I? Tres formas de atacar a éste, y todos coinciden en que el yo debe ser cierto: (1) I es el subalterno de A, así que si A es verdad, entonces debo ser verdad también; (2) Yo es la contradictoria de E, y ya hemos determinado que E debe ser falsa, así que debo ser verdad; (3) Yo y O son subcontrarios, es decir, ambos no pueden ser falso, y como ya hemos determinado que O es falso, se deduce que debo ser verdad.

Resumiendo: si una proposición A es verdadera, la E correspondiente es falsa, I es verdadera y O es falsa.

Intentemos otra: supongamos un negativo universal, la proposición E es cierta. ¿Y las proposiciones correspondientes A, I y O? Bueno, de nuevo, A y E son contrarios —no pueden ser ambos ciertos— así que A debe ser falsa. Yo es lo contradictorio de E, por lo que debe ser falso, lo opuesto al valor de verdad de I. Y como O es subalterno a E, debe ser cierto porque E es.

Si una proposición E es verdadera, la A correspondiente es falsa, yo es falsa y O es verdadera.

Otro. Supongamos que una afirmación particular, yo proposición es cierta. ¿Y los otros tres? Bueno, E es su contradictorio, por lo que debe ser falso. Y si algunas S son P, eso significa que algunas de ellas no lo son— así que la O también es verdad. Y como A es lo contradictorio de O... ¡ESPERA SOLO UN MINUTO! Regresa y lee eso otra vez. ¿Ves lo que pasó? “Y si algunas S son P, eso significa que algunas de ellas no son...” ¡No, no lo hace! Recuerda, 'algunos' significa 'hay al menos uno'. Si algunas S son P, eso solo significa que al menos una S es una P y por lo que sabemos, todas ellas podrían serlo; y luego otra vez, tal vez no. Yo y O somos subcontrarios: ambos no pueden ser falsos, ambos podrían ser verdaderos, y uno podría ser verdadero y el otro falso. Saber que yo es verdad no nos dice nada sobre el verdad-valor de la O correspondiente, o la correspondiente A. Que algunos son, es decir, al menos uno es, deja abierta la posibilidad de que todos ellos sean; pero entonces otra vez, tal vez no. El hecho es que, con base en la suposición de que un yo es cierto, sólo podemos conocer con certeza el valor de la verdad de la E correspondiente. Si una proposición I es verdadera, entonces la E correspondiente es falsa, y A y O son de verdad- valor desconocido.

Ejercicios

1. Supongamos que una proposición O es verdadera. ¿Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones A, E e I correspondientes, según la Plaza de la Oposición?

2. Supongamos que una proposición A es falsa. ¿Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones E, I y O correspondientes, según la Plaza de la Oposición?

3. Supongamos que una proposición E es falsa. ¿Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones A, I y O correspondientes, según la Plaza de la Oposición?

4. Supongamos que una proposición I es falsa. ¿Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones A, E y O correspondientes, según la Plaza de la Oposición?

5. Supongamos que una proposición O es falsa. ¿Cuáles son los valores de verdad de las proposiciones A, E e I correspondientes, según la Plaza de la Oposición?