3.4: Operaciones sobre sentencias categóricas

Continuamos nuestra exploración de la porción del lenguaje natural a la que se restringe la lógica de Aristóteles: las oraciones de forma estándar que expresan proposiciones categóricas. Para familiarizarnos más íntimamente con estos, veremos cómo responden cuando realizamos diversas operaciones sobre ellos, cuando los manipulamos de diversas maneras. Examinaremos tres operaciones: conversión, obversión y contraposición. Cada una de estas altera de alguna manera las oraciones de forma estándar. La pregunta que nos haremos es si la nueva oración que resulta de la manipulación es equivalente a la oración original; es decir, ¿la nueva oración expresa la misma proposición que la original?

Conversión

Realizar la conversión en una oración categórica implica cambiar el orden del sujeto y los términos predicados. El resultado de esta operación es una nueva frase, que se dice que es la inversa de la oración original. Nuestra pregunta es: ¿cuándo la realización de la conversión produce una nueva oración equivalente, una conversación que expresa la misma proposición que el original convertido? Veremos los cuatro tipos de oración de forma estándar, respondiendo a la pregunta para cada uno.

Realicemos la conversión sobre una oración expresando una afirmativa universal, una proposición y veamos qué pasa. 'Todos los perros son animales' es tal frase. La conversión cambia el sujeto y los términos predicados, por lo que la oración inversa es 'Todos los animales son perros'. ¿El contrario expresa la misma proposición que el original? ¿Son equivalentes? ¡Diablos, no! La frase original expresa la verdadera proposición de que todos los perros son animales; lo contrario expresa la proposición completamente falsa de que todos los animales son perros. La conversión de una oración A produce una nueva oración que no es equivalente a la original.

Esto quiere decir que el efecto sobre la verdad-valor, en abstracto, de convertir oraciones A, es impredecible. En ocasiones, como con 'Todos los perros son animales', la conversión te llevará de una verdad a una falsedad. Otras veces, puede llevar de la verdad a la verdad: 'Todos los solteros son hombres solteros' y 'Todos los solteros son solteros' expresan diferentes proposiciones, pero ambas son ciertas (porque da la casualidad de que, por definición, un soltero es solo un hombre soltero). la conversión de una A también podría llevar de la falsedad a falsedad, al igual que con la transición de 'Todos los perros son murciélagos 'a 'Todos los murciélagos son perros'. Y podría llevar de la falsedad a la verdad: simplemente invertir el orden de la primera conversión que miramos, de 'Todos los animales son perros' a 'Todos los perros son animales'.

Nuevamente, el punto aquí es que, debido a que la conversión de frases A produce una conversación que expresa una proposición diferente a la original, no podemos saber cuál será el efecto de la conversión en la verdad-valor.

¿Qué tal la conversión de oraciones que expresan proposiciones universales negativas, E? 'No hay perros son gatos' es una frase así. Su conversación sería entonces 'No los gatos son perros'. ¿Son equivalentes? Sí, claro. Recuerde, una proposición E niega incluso la inclusión parcial; hace la afirmación de que las dos clases involucradas no tienen ningún miembro en común. No importa cuál de las dos clases esté listada primero en la oración que expresa esa proposición; todavía se obtiene la afirmación de que las dos clases son exclusivas. Esto es cierto de las oraciones E en general: realizar la conversión sobre ellas siempre produce una nueva oración que es equivalente a la original.

También es cierto para frases que expresan afirmativas particulares, proposiciones. 'Algunos marineros son pirates', después de la conversión, se convierte en 'Algunos piratas son marineros'. Estos expresan la misma proposición: hacen la afirmación de que las dos clases tienen al menos un miembro en común —hay al menos una cosa que es a la vez marinero y pirata. Nuevamente, no importa en qué orden pongas los términos de clase; yo las frases expresan la afirmación de que hay superposición entre las dos clases. Una frase I y su contrario son siempre equivalentes.

No puede decirse lo mismo de las oraciones que expresan particulares negativas, O proposiciones. Considera 'Algunos hombres no son sacerdotas'. Eso expresa una verdadera proposición. Pero es lo contrario, 'Algunos sacerdotes no son hombres' expresa una proposición diferente; sabemos que es una proposición diferente porque es falsa. (Como siempre, estoy usando 'sacerdotes' para referirme a sacerdotes católicos, todos los cuales son hombres). Eso es todo lo que necesitamos para demostrar que una operación no produce oraciones equivalentes: un contraejemplo. Al igual que anteriormente con las oraciones A, esto significa que el efecto sobre el valor de la verdad de convertir oraciones O es impredecible. Puede llevarnos de la verdad a la falsedad, como en este ejemplo, o de la verdad a la verdad, de la falsedad a la falsedad, de la falsedad a la verdad. En resumen, no podemos conocer el efecto sobre la verdad de convertir O oraciones, ya que lo contrario expresa una proposición diferente a la original.

Resumen para conversión: para E e I, las conversas son equivalentes; para A y O, las conversas no lo son.

Obversión

Antes de hablar de nuestra próxima operación, la obversión, necesitamos introducir un nuevo concepto: los complementos de clase. El complemento de una clase, llámala S, es otra clase que contiene todas las cosas que no son miembros de S. Entonces, por ejemplo, el complemento de la clase de árboles es simplemente todas las cosas que no son árboles. La forma más fácil de nombrar complementos de clase es simplemente pegar el prefijo 'non' delante del nombre de clase original. Entonces el complemento de árboles es no árboles. Cuidado: puede ser tentador, por ejemplo, decir que el complemento de los republicanos son los demócratas. Pero eso no está bien. El complemento de republicanos es una clase mucho más grande, que contiene a todos los no republicanos: no solo demócratas, sino comunistas y libertarios e independientes y verdes; oh, y un montón de otras cosas, también, como el planeta Júpiter (no republicano), mi dedo meñique izquierdo, la Gran Muralla China, etc., etc.

Como cuestión de convención notacional, si usamos una letra mayúscula como S para referirnos a una clase, denotaremos el complemento de esa clase como ~ S, que leeremos como “tilde-S”.

Volver a la obversión. Así es como funciona esta operación: primero, se cambia la calidad de la oración (de afirmativa a negativa, o viceversa); luego, se reemplaza el predicado con su complemento. Al resultado de realizar una obversión en una oración se le llama anverso del original.

Resulta que realizar la obversión en una oración siempre produce una nueva oración que es equivalente a ella; una oración y su anverso siempre expresan la misma proposición. Eso significa que comparten un valor de verdad: si una oración es verdadera, también lo es su anverso; si una oración es falsa, su anverso también es falso. Podemos ver que esto es así al observar el resultado de realizar obversión en cada uno de los cuatro tipos de oraciones de forma estándar.

Empezaremos con frases A. Considera 'Todos los patos son nadadores'. Para realizar obversión en esta frase, primero cambiamos su calidad. Esto es una afirmación universal. Su calidad es afirmativa. Entonces cambiamos eso a negativo, manteniendo igual la cantidad (universal). Nuestra nueva frase va a ser una oración universal negativa, E —algo así como la forma No S son P. A continuación, sustituimos el predicado con su complemento. El predicado de la oración es 'nadadores'. ¿Cuál es el complemento de esa clase? Todas las cosas que no son nadadores: los no nadadores. Entonces el anverso de la frase A original es esta: 'No hay patos no nadadores'.

Ahora bien, ¿estas dos frases son equivalentes? Sí. 'Todos los patos son nadadores' expresa la proposición afirmativa universal, afirmando que la clase de patos está contenida enteramente en la clase de nadadores. Es decir, cualquier pato que encuentres también estará en la clase de nadador. Otra forma de decirlo: no encontrarás ningún patos que no estén en la clase de nadadores. En otras palabras, ningún patos deja de ser nadadores. O: 'Ningún patos son no nadadores'. La frase A y su anverso son equivalentes; expresan la misma proposición, hacen la misma afirmación sobre la relación entre la clase de patos y la clase de nadadores.

Probemos la obversión en una oración universal negativa, E. 'Ninguna mujer es sacerdotes' es una. Primero, cambiamos su calidad de negativa a afirmativa: se convierte en una afirmación universal, una oración— algo así como la forma Todas las S son P. A continuación, lo reemplazamos predicado, 'sacerdotes', con su complemento, 'no sacerdotes'. El resultado: 'Todas las mujeres son no sacerdotas'. ¿Eso equivale al original? Nos dice que todas las mujeres están fuera de la clase de sacerdotes. Es decir, ninguno de ellos son sacerdotes. Es decir, 'Ninguna mujer es sacerdote'. Sí, tanto la frase original como su anverso nos dicen que las clases de mujeres y sacerdotes son exclusivas.

A continuación, lo afirmativo particular —una frase I como 'Algunos políticos son demócratas”. OK. Primero, cambiar la calidad, de afirmativa a negativa. Nuestro anverso será un particular negativo, O sentencia —algo así como algunas S no son P. Ahora, reemplace 'demócratas' por 'no demócratas', péguelo en la ranura del predicado, y obtenemos 'Algunos políticos no son no democráticos'. Bueno, eso no es exactamente gramaticalmente elegante, pero el significado es claro: no ser no demócrata es solo ser demócrata. Esto dice lo mismo son los originales, es decir, que algunos políticos son demócratas.

Por último, particular negativo, O. Intentaremos 'Algunas plantas no son flores'. Cambiar de negativo a afirmativo significa que nuestro anverso será un I—Algunas S son P. Sustituimos 'flores' por 'no-flores' y obtenemos 'Algunas plantas no son flores'. Pasamos de 'Algunas plantas no son flores' a 'Algunas plantas no son flores'. Obviamente, esos son equivalentes.

Resumen por obversión: los anverso son equivalentes para A, E, I y O.

Contraposición

Nuestra última operación es la contraposición. A diferencia de la obversión, y como la conversión, no implica cambiar el tipo (A, E, I, O) de la oración en la que estamos operando. Más bien, de nuevo, como conversión, simplemente manipulamos el sujeto y el predicado. Así es como: reemplazar el sujeto con el complemento del predicado; y reemplazar el predicado por el complemento del sujeto. El resultado de realizar una contraposición sobre una oración se llama su contrapositivo.

Realicemos contraposición sobre una frase A: 'Todos los hombres son mortales'. Para formar su contrapositivo, ponemos el complemento del predicado —no mortales— en posición de sujeto y el complemento del sujeto —no hombres— en posición predicada: 'Todos los no mortales son no hombres'. La pregunta, como siempre: ¿son equivalentes estas frases? Este es un poco difícil de ver. Usemos diagramas de Venn para ayudarnos a pensarlo bien. Primero, sabemos cómo es el diagrama de 'Todos los hombres son mortales'; esa frase afirma que no existe tal cosa como un hombre que no sea mortal, así que borramos la porción del círculo de 'hombres' que no está dentro del círculo de los 'mortales':

A continuación, pensemos a través de cómo trazaríamos el diagrama 'Todos los no mortales son no hombres'. Si cambiamos nuestros círculos a 'no hombres' y 'no mortales', respectivamente, es fácil; cuando estás diagramando una proposición A, simplemente borras la parte del círculo de la izquierda (sujeto) que no se superpone con el círculo de la derecha (predicado). No hay tal cosa como los no hombres que no son no mortales:

Pero, ¿cómo comparamos este diagrama con el de 'Todos los hombres son mortales' para ver si expresan la misma proposición? Necesitamos saber que los dos nos darían la misma imagen si los círculos fueran etiquetados de la misma manera.

Comparemos los diagramas sin sombra donde los círculos son “hombres” y “mortales”, por un lado, y “no hombres” y “no mortales” por el otro:

Cuando representamos 'Todos los hombres son mortales', borramos la región 1 del diagrama de la izquierda. Cuando representamos su contrapositivo, 'Todos los no mortales son no hombres', borramos la región w del diagrama de la derecha. Queremos saber si estas dos frases son equivalentes. Lo son, siempre que borrar la región 1 y borrar la región w equivalgan a lo mismo. ¿Ellos? Es decir, ¿las regiones 1 y w contienen los mismos objetos?

Pensemos esto a través, empezando por la región z. ¿Qué hay ahí dentro? Esas son las cosas que están fuera de los círculos tanto de los no mortales como de los no hombres; es decir, no son no mortales y no son no hombres. Entonces son mortales y hombres, ¿verdad? Cosas que son tanto mortales como hombres: en el diagrama de la izquierda, esa es la superposición entre los círculos. La región z y la región 2 contienen las mismas cosas.

¿Qué tal la región y? Esas cosas son no hombres, pero están fuera del círculo de los no mortales, haciéndolos mortales. Mortales que no son hombres: viven en la región 3 en el diagrama de la izquierda. Las regiones y y 3 contienen las mismas cosas. La región x tiene cosas que son tanto no hombres como no mortales; es decir, están fuera tanto de los círculos mortales como de hombres de la izquierda. Las regiones x y 4 contienen las mismas cosas.

Y región w? Fuera del círculo de los no hombres, entonces son hombres. Dentro del círculo de los no mortales, así que no son mortales. Hombres que no son mortales: esa es la región 1 a la izquierda. Las regiones w y 1 contienen las mismas cosas. Y eso significa que la supresión de la región w y la de la región 1 equivalen a lo mismo; ambas son formas de descartar la existencia del mismo grupo de objetos, los hombres que no son mortales —o, como resulta, los no mortales que no son no-hombres. Lo mismo.

Recogiendo de nuevo el hilo principal, lo que todo esto muestra es que cuando realizamos contraposición sobre frases afirmativas universales, A, terminamos con nuevas oraciones que expresan la misma proposición. Una frase A y su contrapositivo son equivalentes. Todavía tenemos que hacer la misma pregunta sobre las frases E, I y O.

Consideremos un negativo universal (E): 'Ningún buceador es cobarde'. Esto seguramente es cierto; se necesita valentía para saltar de un avión (yo no lo haría). Para obtener lo contrapositivo, reemplazamos al sujeto, los paracaidistas, por el complemento del predicado, no cobardes; y reemplazamos al predicado, cobardes, por el complemento del sujeto, no buceadores. El resultado es 'No los no cobardes son no paracaidistas”. Eso es falso. ¿Sabes quién era un no cobarde? Martin Luther King, Jr. El Reverendo Rey fue un valiente defensor de la igualdad racial hasta el último día de su vida. (Si necesitas pruebas, mira su último discurso, dado la noche anterior a que le dispararan, en Memphis. El revuelo final: “Así que estoy feliz esta noche. No me preocupa nada. No estoy temiendo a ningún hombre. ¡Mis ojos han visto la gloria de la venida del Señor!” Sólo míralo; confía en mí. Asombroso) Pero, no un cielero. El contrapositivo afirma que no existe tal cosa como un no cobarde que no se zambulle en el cielo. Pero eso no es así: MLK es un contraejemplo. En general, cuando realizas una contraposición sobre una oración E, terminas con una nueva oración que expresa una proposición diferente. Y como fue el caso con las oraciones A y O que se están convirtiendo, esto tiene efectos impredecibles sobre el valor de la verdad. Se puede pasar de la verdad a la falsedad, como en este caso, o de la verdad a la verdad, de la falsedad a la falsedad, de la falsedad a la verdad. La contraposición cambia la proposición expresada por E oraciones, así que no se puede saber.

A continuación, considere frases particulares negativas (O). Estos son bastante fáciles. 'Algunos hombres no son sacerdotes' es un buen ejemplo de referencia. Al realizar la contraposición, obtenemos 'Algunos no sacerdotes no son no-hombres'. Cosas que no son no-hombres—esos son sólo hombres. Entonces la afirmación que hacen los contrapositivos es que algunos no sacerdotes son hombres. Es decir, hay al menos una cosa que es tanto un no sacerdote como un hombre; o, hay al menos un hombre que no es sacerdote. Conozco una manera de decir eso: 'Algunos hombres no son sacerdotes'. La sentencia O y su contrapositivo hacen la misma pretensión. La contraposición realizada sobre negativos particulares te da una nueva oración que es equivalente a la original.

Por último, las sentencias afirmativas particulares —I. 'Algunos hombres son sacerdotas' es cierto. Así es su contrapositivo: 'Algunos no sacerdotes son no hombres' (hay al menos uno: mi mamá no es hombre, ni nunca fue sacerdote). Entonces ¿la contraposición realizada en un I funciona? Es decir, ¿te da una sentencia equivalente? No necesariamente. Las dos frases pueden ser ambas ciertas, pero podrían estar expresando dos proposiciones verdaderas diferentes. De hecho, lo son. Cuando contraposas una sentencia I, el resultado es una nueva frase que no es equivalente. Para ver por qué, volveremos a los diagramas de Venn.

Hablando genéricamente, el diagrama de una proposición I tiene una X en el área de superposición entre los dos círculos. Para una frase de la forma Algunos S son P, nosotros dibujaríamos esto.

Hay al menos una cosa (la X) que es tanto S como P. Para el contrapositivo, dibujamos esto:

Hay al menos una cosa que es tanto no-P como no-S. La pregunta es, ¿dibujar una X en esas dos regiones de superposición equivale a lo mismo? Pongamos los diagramas uno al lado del otro, sin los Xs, pero con números y letras para las diferentes regiones:

Pasamos por esto anterior cuando estábamos discutiendo los efectos de la contraposición en las proposiciones A. Las regiones 1 y w contienen las mismas cosas, al igual que las regiones 3 e y, pero las regiones 2 y 4 no se alinean con las regiones x y z, respectivamente. Más bien, se invierten: la región 2 tiene los mismos objetos que la región z y la región 4 tiene los mismos objetos que la región x.

Cuando dibujamos el cuadro de la frase I recta, ponemos una X en la región 2; cuando dibujamos el cuadro de su contrapositivo, ponemos una X en la región x, pero la región 2 y la región x no son lo mismo. Entonces la sentencia I y su contrapositiva, en general, no son equivalentes. Realizar contraposición en una frase I cambia la proposición expresada, con efectos impredecibles sobre el valor de la verdad.

Podemos demostrarlo con un ejemplo concreto. Que nuestra frase inicial sea 'Algunos católicos no son papas'. Eso es ciertamente cierto (de nuevo, mi mamá: católica, pero no Papa). El contrapositivo sería 'Algunos papas no son católicos' (el complemento de los no papas son solo papas). Pero eso es falso. Ser católico es un requisito previo para el papado. Una sentencia I y su contrapositivo hacen diferentes afirmaciones.

Ejercicios

1. Realiza la conversión en lo siguiente y anota lo contrario. ¿Es equivalente a la frase original?

(a) Algunos surfistas no son sacerdotes.
(b) Todos los canadienses son culturistas.
c) No hay mexicanos que sean pescadores.
d) Algunos nazis son floristas.

2. Realizar la obversión en lo siguiente y anotar el anverso. ¿Es equivalente a la frase original?

a) Ninguna gente es lagartos.
b) Algunos políticos son delincuentes.
c) Algunas aves no son animales.
d) Todos los demócratas son samurais.

3. Realizar contraposición sobre lo siguiente y anotar el contrapositivo. ¿Es equivalente a la frase original?

a) Todos los filisteos son sirios.
b) Ningún africano es el de los europeos.
(c) Algunos estadounidenses son irlandeses.
d) Algunos suizos no son católicos.

Inferencias

Anteriormente, discutimos cómo podríamos hacer inferencias sobre los valores de verdad de las categóricas utilizando la información codificada en la Plaza de la Oposición. Por ejemplo, dada la suposición de que una frase A expresa una proposición verdadera, podemos inferir que la oración E correspondiente expresa una falsedad (ya que A y E son contrarios, lo cual no puede ser ambos ciertos), que la frase I correspondiente expresa una verdad (ya que yo es el subalterno de A, que significa A's la verdad garantiza la de I), y que la sentencia O correspondiente expresa una falsedad (ya que A y O son contradictorias, que deben tener valores de verdad opuestos).

La palabra clave en ese párrafo es 'correspondiente'. La Plaza de la Oposición nos habla de las relaciones entre las categorías que corresponden, lo que significa que tienen los mismos sujetos y predicados. Si 'Todas las S son P' es verdad, entonces 'No S son P' debe ser falso, según el Cuadrado, ya que estas dos frases tienen el mismo sujeto (S) y predicado (P). El cuadrado no puede licenciar tales inferencias cuando los sujetos y predicados no corresponden. La suposición de que 'Todos los S son P' es verdad no me dice nada en absoluto sobre el valor de verdad de 'Algunos A son B'; los sujetos y predicados son diferentes; estamos tratando con dos clases diferentes.

Sin embargo, hay ocasiones en las que los sujetos y predicados no corresponden, pero podemos hacer inferencias sobre los valores de verdad de las categóricas a partir de información sobre otras. En tales casos, necesitamos combinar nuestro conocimiento de las relaciones representadas en la Plaza de la Oposición con nuestro conocimiento recientemente adquirido sobre las circunstancias en las que la conversión, la obversión y la contraposición nos proporcionan frases equivalentes.

Aquí hay un ejemplo sencillo. Supongamos que una frase de la forma 'No S are P' expresa una verdad (no importa lo que representan 'S' y 'P'; estamos pensando en abstracto aquí). Ante esa información, ¿qué podemos decir de una frase de la forma 'Algunos P son S'? Bueno, la primera es una E y la segunda es una I. Según la Plaza de la Oposición, E y yo somos una pareja contradictoria, por lo que deben tener valores de verdad opuestos. Pero recuerden, las relaciones en la Plaza sólo se mantienen para las oraciones correspondientes. 'No S son P' y 'Algunos P son S' no corresponden; sus términos de clase de sujeto y predicado están en diferentes puntos. El Cuadrado nos dice que la frase I correspondiente a 'No S son P' —es decir, 'Algunas S son P'— debe ser el valor de verdad opuesto. Hemos presumido que la frase E es cierta, por lo que 'Algunas S son P' expresa una falsedad, según la Plaza. Pero queríamos saber el verdad-valor de 'Algunos P son S', la oración con el sujeto y los términos predicados cambiados. Bueno, cambiaron los términos de sujeto y predicado, eso es solo lo contrario de 'Algunas S son P'. Y sabemos por nuestras investigaciones que realizar la conversión en una sentencia I siempre te da otra frase I que es equivalente a la primera; es decir, expresa la misma proposición, entonces es verdadera o falsa en todas las mismas circunstancias que el original. Eso significa que 'Algunos P son S' deben expresar una falsedad, al igual que su conversación.

Aquí te explicamos cómo pensar en la inferencia que acabamos de hacer. Nos dieron el hecho de que 'No S are P' es cierto. Queríamos saber la verdad-valor de 'Algunos P son S'. (Aquí nos estamos poniendo un poco descuidados. Técnicamente, son proposiciones, no oraciones, que son verdaderas o falsas. Otra complicación: aquí ni siquiera estamos hablando de oraciones reales, sino de patrones de oración genéricos, con letras de marcador de posición 'S' y 'P' de pie para términos de clase reales. ¿Pueden ese tipo de cosas ser verdaderas o falsas? Uf. Simplemente aceptemos no ser quisquillosos y no preocuparnos por ello. Todos entendemos lo que está pasando) No podemos comparar estos dos directamente usando la Plaza de la Oposición porque no corresponden: sujeto diferente y predicado. Pero, sabemos que lo contrario de la frase nuestro objetivo —'algunas S son P'— sí corresponde, así que según la Plaza, debe ser falsa (ya que es contradictorio con 'No S son P'). Y, dado que la conversión en frases I arroja resultados equivalentes, 'Algunos P son S' tiene el mismo valor de verdad que 'Algunas S son P', por lo que nuestra sentencia objetivo también debe ser falsa.

Este es el patrón general para este tipo de inferencias de varios pasos. Se le da información sobre el valor de verdad de una afirmación categórica en particular, luego se le pide que evalúe alguna otra afirmación de verdad o falsedad. Es posible que no correspondan, por lo que la primera etapa de sus deliberaciones implica lograr que correspondan, haciendo que el tema y los términos predicados se alineen. Esto se hace realizando la conversión, la obversión y la contraposición según sea necesario, pero solo cuando esas operaciones producen resultados equivalentes: solo usa la conversión en oraciones E e I; solo usa la contraposición en oraciones A y O; y como la obversión siempre produce una oración equivalente, puede usarla cuando quieras. Entonces, una vez que hayas logrado la correspondencia, puedes consultar la Plaza de la Oposición y completar la inferencia.

Otro ejemplo puede ayudar a ilustrar el método. Supongamos que nos dicen que alguna frase 'Todos los S son P' es verdad. ¿Y la frase 'No ~ S are ~ P'? (Recuerda, cuando ponemos las tildes delante de las letras, nos estamos refiriendo a los complementos de estas clases).

Primero, notamos que el sujeto y los términos predicados no corresponden. La oración A tiene 'S' en posición de sujeto y 'P' en posición de predicado, mientras que la oración objetivo E tiene ~ S y ~ P en esas ranuras. Podemos ver esta desalineación claramente (y también nos preparamos más fácilmente para pensar a través de los pasos restantes en la inferencia) si escribimos las oraciones, una encima de la otra (señalando entre paréntesis lo que sabemos sobre sus valores de verdad):

Todas las S son P [T]

No ~ S son ~ P [?]

Enfocándonos únicamente en términos de sujeto y predicado, vemos que los inferiores tienen tildes, los superiores no, necesitamos ponerlos en correspondencia. ¿Cómo? Bueno, se me ocurre que tenemos una operación que nos permite agregar o eliminar tildes, dos a la vez: la contraposición. Cuando realizamos esa operación, reemplazamos al sujeto con el complemento del predicado (agregando o eliminando una tilde) y reemplazamos el predicado con el complemento del sujeto (agregando o eliminando otra). Ahora bien, la contraposición produce oraciones equivalentes para A y O, pero no E e I. Así que sólo puedo realizarla en la oración superior, 'Todas las S son P'. Al hacerlo, produzco un contrapositivo que exprese la misma proposición, y así también debe ser cierto. Podemos escribirlo así:

Todas las S son P [T]
Todas las ~ P son ~ S [T]

No ~ S son ~ P [?]

La frase que acabamos de anotar todavía no se alinea con la frase objetivo en la parte inferior, pero está más cerca: ambos tienen tildes frente a 'S' y 'P'. Ahora el problema es que los '~ S' y '~ P' están en el orden equivocado: posiciones de sujeto y predicado, respectivamente, en la oración objetivo, pero al revés en la oración acabamos de anotar. ¡Tenemos una operación para arreglarlo! Se llama conversión: para realizarla, cambias el orden de sujeto y términos predicados. El caso es que sólo funciona —es decir, te da un resultado equivalente— en las frases E y yo. No puedo realizar la conversión en la frase A 'Todos ~ P son ~ S' que acabo de anotar en la parte superior. Pero, puedo realizarlo en la frase objetivo E en la parte inferior:

Todas las S son P [T]
Todas las ~ P son ~ S [T]

No ~ P son ~ S [?]
No ~ S son ~ P [?]

Yo hice conversión, por así decirlo, de abajo hacia arriba. Esas dos últimas frases E son conversas entre sí, por lo que expresan la misma proposición y tendrán el mismo valor de verdad. Si puedo averiguar el valor de verdad de 'No ~ P are ~ S', entonces puedo averiguar el valor de verdad de mi oración objetivo en la parte inferior; será lo mismo. ¡Y mira! Por fin estoy en condiciones de hacer eso. Las dos frases en el medio, 'Todos ~ P son ~ S' y 'No ~ P son ~ S', corresponden; tienen el mismo sujeto y predicado. Eso significa que puedo consultar a la Plaza de la Oposición. Tengo una frase A que es verdad. ¿Y la frase E correspondiente? Son contrarios, por lo que debe ser falso:

Todas las S son P [T]
Todas las ~ P son ~ S [T]

No ~ P son ~ S [F]
No ~ S son ~ P [?]

Y dado que la frase objetivo en la parte inferior expresa la misma proposición que la que está directamente encima de ella, ese signo de interrogación final también puede ser sustituido por una 'F'. Inferencia hecha, problema resuelto.

Nuevamente, este es el patrón general para hacer este tipo de inferencias: lograr correspondencia usando las tres operaciones, luego usar la información codificada en la Plaza de la Oposición.

Esto funciona la mayor parte del tiempo, pero no siempre. Supongamos que te dicen que 'Todos los S son P' es cierto, y se les pide inferir el valor de verdad de 'No P are ~ S'. Podemos volver a escribirlos uno encima del otro y echarles un vistazo:

Todas las S son P [T]

No P son ~ S [?]

'S' y 'P' están en el orden equivocado, además 'S' tiene una tilde delante de ella en la parte inferior pero no en la parte superior. Lo primero que se me ocurre es deshacerme de esa tilde. Tenemos una operación para agregar o eliminar una tilde a la vez: obversión. Voy a realizarlo en la frase inferior. Primero, cambio la calidad: el negativo universal (E) original se convierte en un universal afirmativo (A). Entonces sustituyo el predicado con su complemento: reemplazo '~ S' por solo 'S' simple. Este es el resultado:

Todas las S son P [T]

Todos los P son S [?]
No P son ~ S [?]

Aún no tenemos correspondencia, pero estamos más cerca con esa tilde fuera del camino. ¿Qué sigue? Bueno, ahora el problema es que 'S' y 'P' están en el orden equivocado. Hay una operación para eso: la conversión. Pero —y aquí está la frotación— sólo podemos usar la conversión en frases E e I. Ahora que hice obversión en el blanco en la parte inferior, las dos frases que me quedo comparando son las dos As. No puedo usar la conversión en una A: el resultado no será equivalente.

En este punto, lo sensato sería probar otras operaciones: tal vez la combinación correcta de obversión, contraposición, y posiblemente, eventualmente, en un tipo diferente de oración, conversión, nos permita lograr correspondencia. Al hacer este tipo de inferencias, a menudo tienes que probar una variedad de cosas antes de llegar allí. Pero estoy aquí para decirte, prueba lo que podrías en este ejemplo, tantas conversiones, obversiones y contraposiciones como quieras, en cualquier orden: nunca lograrás correspondencia. Es imposible.

Entonces, ¿qué significa eso? Significa que, dado que 'Todos los S son P' es cierto, no se puede hacer ninguna inferencia sobre el verdad-valor de 'No P are ~ S'. La respuesta al problema es: “No lo sé”. Recuerden, este tipo de cosas pueden suceder; a veces no podemos hacer inferencias sobre una categórica basada en información sobre otra. Cuando sabemos que un yo es cierto, por ejemplo, no podemos decir cuál es la verdad-valor de la O correspondiente; podría ir en cualquier dirección.

Eso es un poco insatisfactor, sin embargo. Te estoy diciendo que si no puedes lograr la correspondencia —si es imposible— no puedes hacer una inferencia. Pero, ¿cómo sabes que no puedes lograr la correspondencia? Quizás, mientras trabajabas por el problema, simplemente no tropezaste con la combinación correcta de operaciones en el orden correcto. ¿Cómo sabemos con certeza que no se puede hacer una inferencia? De hecho, el único paso que dimos en este problema nos pone en condiciones de saber precisamente eso. Compara 'Todas las S son P' con el anverso de la frase objetivo, 'Todas las P son S'. ¿Cuál es la relación entre esos? Uno es lo contrario del otro. Se nos da una verdadera frase A, y se nos pide que hagamos una inferencia sobre el valor de verdad de una oración equivalente a su inversa. Pero realizar la conversión en una A, como establecimos largamente anteriormente, te da una nueva oración que expresa una proposición diferente. Y esto tiene efectos impredecibles sobre el valor de la verdad: a veces uno va de la verdad a la falsedad; otras veces de la verdad a la verdad, y así sucesivamente. En este caso, sabemos que no podemos conocer el verdad-valor de la sentencia objetivo, porque es equivalente al resultado de realizar la conversión sobre una afirmativa universal, y los efectos de esa operación sobre el valor de la verdad son impredecibles.

En general, puedes saber que la respuesta a uno de estos problemas es “no sé” si puedes usar las operaciones para meterte en una posición en la que estés comparando una oración con su conversa o contrapositiva cuando esas operaciones no funcionan para los tipos de oraciones que tienes. Vimos esto para una A y su contrario. Del mismo modo, si tienes una frase E de valor de verdad conocido, y tu oración objetivo es equivalente a su contrapositiva, sabes que la respuesta es “no lo sé”, porque la contraposición realizada en oraciones E tiene resultados impredecibles sobre el valor de verdad. Lo mismo va para yo y conversión, O y contraposición.

Ejercicios

1. Supongamos que 'Todas las S son P' es verdad. Determinar los valores de verdad de los siguientes (si es posible).

(a) No S son ~ P
(b) Todos los ~S son ~ P
(c) No ~ P son S
(d) Algunos ~ P son S
(e) Algunos ~ S no son ~ P

2. Supongamos que 'No S son P' es cierto. Determinar los valores de verdad de los siguientes (si es posible).

(a) Algunos ~ P no son ~ S
(b) Todos los ~ S son ~ P
(c) No ~ S son ~ P
(d) Algunos ~ P son S
(e) Todos ~ P son ~ S

3. Supongamos que 'Algunas S son P' es verdad. Determinar los valores de verdad de los siguientes (si es posible).

(a) Todas las S son ~ P
(b) Algunas S no son ~ P (c) No P son S
(d) Algunas P son ~ S
(e) No S son ~ P

4. Supongamos que 'Algunas S no son P' es verdad. Determinar los valores de verdad de los siguientes (si es posible).

(a) Ninguna S es ~ P
(b) Algunas S son ~ P
(c) No ~ S son P
(d) No ~ P son S (e) Algunas P son S
(e) Algunas P son S