4.2: Sintaxis de la Lógica Sentencial

Primero, cubrimos la sintaxis. Esta discusión nos dará algunas pistas sobre la relación entre la Lógica Sentencial y el Inglés, pero una contabilidad completa de esa relación tendrá que esperar, como dijimos, a la discusión de la semántica.

Podemos distinguir, en inglés, entre dos tipos de oraciones (declarativas): simples y compuestas. Una oración simple es aquella que no contiene ninguna otra oración como parte componente. Una oración compuesta es aquella que contiene al menos otra oración como parte componente. (No vamos a dar una definición rigurosa de lo que es para una oración ser parte integrante de otra oración. Más bien, trataremos de establecer una comprensión intuitiva de la relación dando ejemplos, y estipular que se podría proporcionar una definición rigurosa, pero es demasiado problema para molestarse). 'Beyoncé es lógico' es una frase simple; ninguna de sus partes es en sí misma una oración. (Se podría pensar que 'Beyoncé is' es una parte de la oración que califica como una oración en sí misma, una oración que afirma que existe, tal vez. Pero eso no va a hacer. La palabra 'es' en la oración original es el “'es' de predicación” —un mero verbo enlazador; 'Beyoncé is' solo cuenta como una oración si cambias el significado de 'es' por el “'es' de existencia”. En fin, deja de causar problemas. Por eso no dimos una definición rigurosa de 'parte componente'; nos empantanaríamos en este tipo de distinciones arcanas.) 'Beyoncé es lógico y James Brown está vivo' es una oración compuesta: contiene dos oraciones simples como partes componentes, a saber, 'Beyoncé es lógico' y 'James Brown está vivo'.

En SL, usaremos letras mayúsculas—'a', 'B', 'C',..., 'Z'— para representar oraciones simples. Nuestra práctica será simplemente elegir letras mayúsculas para oraciones simples que sean fáciles de recordar. Por ejemplo, podemos elegir 'B' para representar 'Beyoncé es lógico' y 'J' para representar 'James Brown está vivo'. Bastante fácil. Lo difícil es simbolizar oraciones compuestas en SL. ¿Cómo manejaríamos 'Beyoncé es lógico y James Brown está vivo', por ejemplo? Bueno, tenemos letras mayúsculas para representar las partes simples de la oración, pero eso deja fuera la palabra 'y'. Necesitamos más símbolos.

Distinguiremos cinco tipos diferentes de oraciones compuestas, e introduciremos un símbolo SL especial para cada una. Nuevamente, en esta etapa solo estamos discutiendo la sintaxis de SL, las reglas para combinar sus símbolos en construcciones bien formadas. Tendremos algunas pistas sobre la semántica de estos nuevos símbolos —pistas sobre sus significados— pero un tratamiento completo de ese tema no llegará hasta la siguiente sección.

Conjudicciones

El primer tipo de oración compuesta es una que ya hemos visto. Las conjunciones son, más o menos, oraciones 'y' —frases como 'Beyoncé es lógico y James Brown está vivo'. Ya decidimos dejar que 'B' signifique 'Beyoncé es lógico' y dejar que 'J' signifique a 'James Brown está vivo'. Lo que necesitamos es un símbolo que significa 'y'. En SL, ese símbolo es un “punto”. Se ve así: •.

Para formar una conjunción en SL, simplemente pegamos el punto entre las dos letras componentes, así:

B • J

Esa es la versión SL de 'Beyoncé es lógica y James Brown está vivo'.

Una nota sobre terminología. Una conjunción tiene dos componentes, uno a cada lado del punto. Nos referiremos a éstas como las “conjunciones” de la conjunción. Si necesitamos ser específicos, podríamos referirnos a la “conjunción izquierda” ('B' en este caso) o a la “conjunción derecha” ('J' en este caso).

Disyunción

Las disyunciones son, más o menos, oraciones 'or', frases como 'Beyoncé es lógico o James Brown está vivo'. En ocasiones, el 'o' va acompañado de la palabra 'cualquiera', como en 'O Beyoncé es lógico o James Brown está vivo'. Nuevamente, dejamos que 'B' signifique 'Beyoncé es lógico' y dejamos que 'J' signifique 'James Brown está vivo'. Lo que necesitamos es un símbolo que signifique 'o' (o 'ya sea/o'). En SL, ese símbolo es una “cuña”. Se ve así:

Para formar una conjunción en SL, simplemente pegamos la cuña entre las dos letras componentes, así:

B

Esa es la versión SL de 'Beyoncé es lógico o James Brown está vivo'.

Una nota sobre terminología. Una disyunción tiene dos componentes, uno a cada lado de la cuña. Nos referiremos a estos como los “desjuntos” de la disyunción. Si necesitamos ser específicos, podríamos referirnos al “disjunto de la izquierda” ('B' en este caso) o al “disjunto de la derecha” ('J' en este caso).

Negaciones

Las negaciones son, más o menos, oraciones 'no', frases como 'James Brown no está vivo'. Puede que le parezca sorprendente que esto se considere una oración compuesta. No queda claro de inmediato cómo cualquier parte componente de esta oración es en sí misma una oración. En efecto, si la definición de 'parte componente' (que intencionalmente no hemos proporcionado) exigía que las partes de las oraciones contengan solo palabras contiguas (palabras una al lado de la otra), no se podría llegar a una parte de 'James Brown no está vivo' que es en sí misma una oración. Pero eso no es una condición en la 'parte componente'. De hecho, esta frase sí contiene otra oración como parte componente, a saber, 'James Brown está vivo'. Esto puede quedar más claro si parafraseamos la oración original. 'James Brown no está vivo' significa lo mismo que 'No es el caso de que James Brown esté vivo'. Ahora tenemos todas las palabras en 'James Brown está vivo' una al lado de la otra; es claramente una parte componente de la oración más grande y compuesta. Tenemos 'J' para representar el componente simple; necesitamos un símbolo para 'no es el caso eso'. En SL, ese símbolo es una “tilde”. Se ve así: ~.

Para formar una negación en SL, simplemente prefijimos una tilde al componente más simple que se está negando:

~J

Esta es la versión SL de 'James Brown no está vivo'.

Condicionales

Los condicionales son, aproximadamente, frases 'si/entonces' —frases como 'Si Beyoncé es lógico, entonces James Brown está vivo'. (James Brown en realidad está muerto. Pero supongamos que Beyoncé es un “James Brown-truther”, cosa que acabo de maquillar. Ella afirma que James Brown fingió su muerte, que el Padrino del Alma sigue vivo, poniéndose funky en algún lugar secreto. (Juega a lo largo.) En ese caso, la sentencia condicional podría tener sentido.) Nuevamente, dejamos que 'B' signifique 'Beyoncé es lógico' y dejamos que 'J' signifique 'James Brown está vivo'. Lo que necesitamos es un símbolo que signifique la parte 'si/entonces'. En SL, ese símbolo es una “herradura”. Se ve así:.

Para formar un condicional en SL, simplemente metemos la herradura entre las dos letras componentes (donde aparece la palabra 'entonces'), así:

B J

Esa es la versión SL de 'Si Beyoncé es lógico, entonces James Brown está vivo'.

Una nota sobre terminología. A diferencia de nuestro tratamiento de las conjunciones y disyunciones, distinguiremos entre los dos componentes de lo condicional. El componente a la izquierda de la herradura se llamará el “antecedente” del condicional; el componente después de la herradura es su “consecuente”. Como veremos cuando lleguemos a la semántica para SL, hay una buena razón para distinguir los dos componentes.

Bicondicional

Los bicondicionales son, aproximadamente, 'si y solo si' frases como 'Beyoncé es lógico si y solo si James Brown está vivo'. (Esta quizá no sea una locución familiar. Hablaremos más sobre lo que significa cuando discutamos la semántica.) Nuevamente, dejamos que 'B' signifique 'Beyoncé es lógico' y dejamos que 'J' signifique 'James Brown está vivo'. Lo que necesitamos es un símbolo que signifique la parte 'si y sólo si'. En SL, ese símbolo es una “triple barra”. Se ve así: ≡.

Para formar un bicondicional en SL, simplemente pegamos la triple barra entre las dos letras componentes, así:

B ≡ J

Esa es la versión SL de 'Beyoncé es lógica si y sólo si James Brown está vivo'.

No hay nombres especiales para los componentes del bicondicional.

Puntuacion - Paréntesis

Nuestro lenguaje, SL, es bastante austero: hasta el momento, solo tenemos 31 símbolos diferentes: las 26 letras mayúsculas, y los cinco símbolos para los cinco tipos diferentes de oración compuesta. Ahora agregaremos dos más: los paréntesis izquierdo y derecho. Y eso va a ser.

Usamos paréntesis en SL por una razón (y solo una razón): para eliminar la ambigüedad. Para ver cómo funciona esto, será útil trazar una analogía entre SL y el lenguaje de la aritmética simple. Este último también tiene un número limitado de símbolos: números, signos para las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) y paréntesis. Los paréntesis se utilizan en aritmética para la desambiguación. Considera esta combinación de símbolos:

2 +3 x 5

Tal y como está, esta fórmula es ambigua. No sé si esto es una suma o un producto; es decir, no sé qué operador —el signo de suma o el signo de multiplicación—es el operador principal. (Es posible que hayas aprendido un “orden de operaciones” en la escuela primaria, según el cual la multiplicación tiene prioridad sobre la suma, para que no haya ambigüedad en esta expresión. Pero el orden de las operaciones es solo una forma (mayormente arbitraria) de eliminar la ambigüedad que estaría ahí sin ella. El punto es que, en ausencia de algún tipo de convención desambiguadora, ya sean paréntesis o un orden de operaciones, los significados de expresiones como esta son indeterminados.) Podemos usar paréntesis para desambiguar, y podemos hacerlo de dos maneras diferentes:

(2 + 3) x 5
o
2 + (3 x 5)

Y claro, donde pongamos los paréntesis hace una gran diferencia. La primera fórmula es un producto; el signo de multiplicación es el operador principal. Sale a 25. La segunda fórmula es una suma; el signo de suma es el operador principal. Y sale a 17. Diferente colocación de paréntesis, resultados diferentes.

Este mismo tipo de cosas van a surgir en SL. Usamos el mismo término que usamos para referirnos a los signos de suma y multiplicación, “operador”, para referirse a punto, cuña, tilde, herradura y triple barra. (Como veremos cuando veamos la semántica para SL, esto es totalmente propio, ya que los operadores SL representan funciones matemáticas sobre valores de verdad). Hay formas de combinar símbolos SL en fórmulas compuestas con más de un operador; y así como es el caso en aritmética, sin paréntesis, estas fórmulas serían ambiguas. Veamos un ejemplo.

Considera esta frase: 'Si Beyoncé es lógico y James Brown está vivo, entonces yo soy la Reina de Inglaterra'. Se trata de una oración compuesta, pero contiene tanto la palabra 'y' como la construcción 'si/entonces'. Y tiene tres componentes simples: los dos a los que ya estamos acostumbrados sobre Beyoncé y James Brown, que hemos estado simbolizando con 'B' y 'J', respectivamente, y uno nuevo —'Soy la Reina de Inglaterra'— que también podríamos simbolizar con una 'Q'. Con base en lo que ya sabemos sobre cómo funcionan los símbolos SL, renderizaríamos la oración así:

B • J Q

Pero así como fue el caso con el ejemplo aritmético anterior, esta fórmula es ambigua. No sé qué tipo de oración compuesta es esta, una conjunción o un condicional. Es decir, no sé cuál de los dos operadores—el punto o la herradura— es el operador principal. Para desambiguar, necesitamos agregar algunos paréntesis. Hay dos formas en que esto puede ir, y tenemos que decidir cuál de las dos opciones captura correctamente el significado de la oración original:

(B • J) Q
o
B • (J Q)

La primera fórmula es un condicional; la herradura es su operador principal, y su antecedente es una oración compuesta (la conjunción 'B • J'). La segunda fórmula es una conjunción; punto es su operador principal, y su conjunción derecha es una oración compuesta (la condicional 'J Q'). Tenemos que decidir cuál de estas dos formulaciones capta correctamente el significado de la frase inglesa 'Si Beyoncé es lógico y James Brown está vivo, entonces yo soy la reina de Inglaterra'.

La pregunta es, ¿qué tipo de oración compuesta es la original? ¿Es un condicional o una conjunción? No es una conjunción. Las conjunciones son, aproximadamente (de nuevo, todavía no estamos haciendo semántica), frases 'y'. Cuando pronuncias una conjunción, te estás comprometiendo con las dos conjunciones. Si digo: “Beyoncé es lógico y James Brown está vivo”, les estoy diciendo que ambas cosas son ciertas. Si interpretamos la oración actual como una conjunción, propiamente simbolizada como 'B • (J Q) ', entonces tomamos que la persona que pronuncia la oración está comprometida con ambas conjunciones; nos está diciendo que dos cosas son ciertas: (1) Beyoncé es lógica y (2) si James Brown está vivo entonces ella es la Reina de Inglaterra. Entonces, si tomamos esto como una conjunción, estamos interpretando al orador como comprometido con la proposición de que Beyoncé es lógico. Pero claramente no lo es. Ella pronunció 'Si Beyoncé es lógico y James Brown está vivo, entonces yo soy la reina de Inglaterra' para expresar dudas sobre la lógica de Beyoncé (y el estatus de James Brown entre los vivos). Esta frase no es una conjunción; es un condicional. Es decir que si esas dos cosas son ciertas (sobre Beyoncé y James Brown), entonces yo soy la Reina de Inglaterra. El hablante duda de ambas conjunciones en el antecedente. La simbolización propiamente dicha de esta oración es la primera de arriba: '(B • J) Q'.

Nuevamente, en SL, los paréntesis tienen un propósito: eliminar la ambigüedad. Solo los usamos para eso. Este tipo de ambigüedad surge en fórmulas, como la que se acaba de discutir, que involucran múltiples instancias de los operadores punto, cuña, herradura y triple barra.

Fíjate que ahí no mencioné la tilde. Tilde es diferente a las otras cuatro. Punto, cuña, herradura y triple barra son lo que podríamos llamar “operadores de dos lugares”. Hay dos componentes más simples en conjunciones, disyunciones, condicionales y bicondicionales. Las negaciones, por otro lado, solo tienen un componente más simple; por lo tanto, podríamos llamar a tilde un “operador de un solo lugar”. Sólo opera en una cosa: la frase que niega.

Esta distinción es relevante para nuestra discusión de paréntesis y ambigüedad. Adoptaremos una convención según la cual la tilde niega inmediatamente a su derecha la primera construcción bien formada de SL. Esta convención tendrá el efecto de eliminar la ambigüedad potencial sin necesidad de paréntesis. Considere la siguiente combinación de símbolos SL:

~ A

Puede parecer que esta fórmula es ambigua, con las siguientes dos posibles formas de desambiguación:

~ (A &; B)
o
(~ A)

Pero este no es el caso. Dado nuestro convencional—tilde niega la primera construcción SL bien formada inmediatamente a su derecha— la fórmula original—'~ A osé B'—no es ambigua; está bien formada. Dado que 'A' es en sí misma una construcción SL bien formada (del tipo más simple), la tilde en '~ A osé B' niega la 'A' solamente. Esto quiere decir que no tenemos que indicar este hecho con paréntesis, como en la segunda de las dos posibles desambiguaciones anteriores. Ese tipo de fórmula, con paréntesis alrededor de una tilde y el ítem que niega, no es una construcción bien formada en SL. Dada nuestra convención sobre tildes, los paréntesis alrededor de '~ A' son redundantes.

La primera desambiguación potencial —'~ (A osé B) '— está bien formada, y significa algo diferente de '~ A osé B'. En la primera, la tilde niega toda la disyunción, 'A osé B'; en la segunda, sólo niega 'A'. Eso marca la diferencia. Una vez más, una analogía con la aritmética es útil aquí. Compare las dos fórmulas siguientes:

- (2 + 5)
vs.
-2 + 5

En el primero, el signo menos cubre toda la suma, y así el resultado es -7; en el segundo, sólo cubre el 2, por lo que el resultado es 3. Esto es exactamente análogo a la diferencia entre '~ (A osé B) 'y '~ A osé B'. La tilde tiene un alcance más amplio en la primera fórmula, y eso marca la diferencia. La diferencia sólo puede explicarse en términos de significado, lo que significa que es el momento de dirigir nuestra atención a la semántica de SL.