4.4: Traducir del inglés a la lógica sentencial

Pronto aprenderemos a evaluar argumentos en Lógica Sentencial —argumentos cuyas premisas y conclusiones son oraciones SL. En la vida real, sin embargo, no nos interesa evaluar argumentos en algún lenguaje artificial; estamos interesados en evaluar argumentos presentados en lenguajes naturales como el inglés. Entonces, para que nuestro procedimiento evaluativo del argumento SL tenga algún significado en el mundo real, necesitamos mostrar cómo los argumentos SL pueden ser representaciones justas de contrapartes de lenguaje natural. Necesitamos mostrar cómo traducir frases en inglés al SL.

Ya tenemos algunas pistas sobre cómo se hace esto. Sabemos que las oraciones simples en inglés se representan como letras mayúsculas en SL. Sabemos que nuestros operadores—tilde, punto, cuña, herradura y triple barra— son las contrapartes SL de las locuciones inglesas 'no', 'y', 'o', 'sif/then', y 'si y solo si', respectivamente. Pero hay mucho más que decir sobre el tema de la relación entre inglés y SL. Nuestros operadores, solos o en combinación, pueden capturar una porción mucho mayor de inglés que esa breve lista de palabras y frases.

Tilde, punto y cuña

Considera la palabra 'pero'. En inglés, tiene un significado diferente al de la palabra 'y'. Cuando digo “Donald Trump es rico y generoso”, comunico una cosa; cuando digo “Donald Trump es rico, pero generoso”, comunico algo ligeramente diferente. Ambas declaraciones transmiten las aseveraciones de que Trump es rico, por un lado, y generoso por el otro. La frase “pero”, sin embargo, transmite algo más, es decir, que hay algo sorprendente en la generosidad a la luz de la riqueza, que hay cierta tensión entre ambos. Pero fíjense que cada una de esas declaraciones es cierta bajo las mismas circunstancias: cuando Trump es a la vez rico y generoso; la diferencia entre 'pero' y 'y' no afecta las condiciones de la verdad. Dado que los significados de nuestros operadores SL se especifican completamente en términos de sus efectos sobre los valores de la verdad, SL es ciega a la diferencia de significado entre 'y' y 'pero'. Dado que las condiciones de verdad para los compuestos que presentan las dos palabras son las mismas, verdaderas en caso de que ambos componentes sean verdaderos y falsos de otro modo, podemos usar el punto para representar ambos. 'Donald Trump es rico y generoso' y 'Donald Trump es rico, pero generoso' ambos se renderizarían en SL como algo así como 'R • G' (donde 'R' significa la simple frase 'Trump es rico' y 'G' significa 'Trump es generoso'). Nuevamente, cambiar del inglés al SL es una estrategia para lidiar con el desorden del lenguaje natural: para realizar el tipo de análisis lógicos rigurosos involucrados en la evaluación de argumentos deductivos, necesitamos un lenguaje más simple y domador; la ligera diferencia de significado entre 'y' y 'pero' es una de las arrugas que necesidad de plancharlo antes de que podamos continuar.

Hay otras palabras y frases que tienen el mismo efecto sobre el valor de la verdad que 'y', y que por lo tanto se pueden representar con el punto: 'aunque', 'sin embargo', 'además', 'además ', y así sucesivamente. Todos estos pueden ser utilizados para formar conjunciones.

Hay menos formas de formar disyunciones en inglés. Casi siempre, estas cuentan con la palabra 'o', a veces acompañadas de 'bien'. Siempre que veamos 'o', lo traduciremos a SL como la cuña. Como discutimos, la cuña captura el sentido inclusivo de 'o', uno u otro, o ambos. El sentido exclusivo, uno u otro, pero no ambos, también se puede representar en SL, usando una combinación de símbolos. 'Hillary Clinton o Donald Trump ganarán las elecciones, pero no ambos'. ¿Cómo traduciríamos eso a SL? Que 'H' signifique 'Hillary Clinton ganará 'y' D 'significa 'Donald Trump ganará'. Sabemos cómo lidiar con la parte 'o': 'Hillary Clinton ganará o Donald Trump ganará' es apenas 'H 577 D'. ¿Qué tal la parte de 'no ambos'? Esa es la afirmación, parafraseando ligeramente, de que no es el caso que tanto Hillary como Trump ganarán; es decir, es la negación de la conjunción: '~ (H • D) '. Entonces tenemos la parte 'o', y tenemos la parte 'no ambos'; lo único que queda es la palabra 'pero' en el medio. ¡Acabamos de aprender a lidiar con eso! 'Pero' se traduce como un punto. Entonces la traducción adecuada SL de 'Hillary Clinton o Donald Trump ganará las elecciones, pero no ambos' es esta:

(H ‖ D) • ~ (H • D)

Observe que tuvimos que encerrar la disyunción, 'H 577 D', entre paréntesis. Esto es para eliminar la ambigüedad: sin los paréntesis, no sabríamos si la cuña o el punto (medio) era el operador principal, y así la construcción no habría estado bien formada. En SL, el sentido exclusivo de 'o' se expresa con una conjunción: une la reivindicación (inclusiva) 'o' con la pretensión de 'no ambos', una u otra, pero no ambas.

Vale la pena hacer una pausa para reflexionar sobre la simbolización de 'no ambos', y compararlo con una locución complementaria —'nither/no'. Simbolizamos 'no ambos' en SL como una conjunción negada; 'nither/nor' es una dis unión negada. La frase 'Ni Donald Trump ni Beyoncé ganarán la elección' se rendiría como '~ (D osé B) '; es decir, no es el caso de que ni Donald ni Beyoncé ganen.

Cuando discutimos la sintaxis de SL, fue útil usar y analogía a la aritmética para entender las interacciones entre tildes y paréntesis. Llevar esa analogía demasiado lejos en el caso de las conjunciones y disyunciones negadas puede llevarnos al error. Lo siguiente es cierto en aritmética:

- (2 + 5) = -2 + -5

Podemos distribuir el signo menos dentro de los paréntesis (solo se está multiplicando por -1). Lo siguiente, sin embargo, no es cierto en lógica (La triple barra es un signo lógico igual; indica que los componentes tienen las mismas condiciones de verdad (significado)):

~ (p • q) ≡ ~ p • ~ q [INCORRECTO]
~ (p 577 q) ≡ ~ p 577 ~ q [INCORRECTO]

La tilde no se puede distribuir dentro de los paréntesis en estos casos. Para cada uno, los componentes de la mano izquierda y derecha tienen diferentes significados. Para ver por qué, debemos pensar en algunos ejemplos concretos. Que 'R' signifique 'Donald Trump es rico' y 'G' significa 'Donald Trump es generoso'. '~ (R • G) 'simboliza la afirmación de que Trump no es a la vez rico y generoso. Observe que esta afirmación es compatible con que en realidad sea rico, pero no generoso, y también con que sea generoso, pero no rico. El reclamo es que no es ambos. Ahora considere la afirmación que simboliza '~ R • ~ G'. El operador principal en esa frase es el punto; es una conjunción. Las conjunciones hacen un compromiso con la verdad de cada una de sus conjunciones. Las conjunciones en este caso simbolizan las frases 'Trump no es rico' y 'Trump no es generoso'. Es decir, esta conjunción está comprometida con la falta de riqueza y generosidad de Trump. Esa es una afirmación más fuerte que decir que no es ambos: si dices que no es ambos, eso es compatible con que él sea uno u otro; '~ R • ~ G', por otro lado, insiste en que ambos están descartados. Entonces, en términos generales, una conjunción negada hace una afirmación diferente (más débil) que la conjunción de dos negaciones.

También hay una diferencia entre una disyunción negada y la disyunción de dos negaciones. Considera '~ (R ‖ G) '. Eso simboliza la frase 'Trump no es rico ni generoso'. Es decir, carece tanto de riqueza como de generosidad. Esa es una afirmación mucho más fuerte de que la simbolizada por '~ R osé ~ G'—la disyunción 'O Trump no es rico o no es generoso'. Le falta una u otra cualidad (o ambas; la disyunción es inclusiva). Eso es compatible con que en realidad sea rico, pero no generoso; también es compatible con que sea generoso, pero no rico.

¿Te diste cuenta de lo que pasó ahí? Usé el mismo lenguaje para describir la afirmación simbolizada por '~ (R • G) 'y '~ R 577 ~ G'. Ambos simplemente afirman que no es a la vez rico y generoso; puede ser uno u otro. También describí las afirmaciones hechas por '~ (R 577 G) 'y '~ R • ~ G' de la misma manera. Ambos hacen la afirmación más fuerte de que carece de ambas características. Esto es cierto en general: las conjunciones negadas equivalen a la disyunción de dos negaciones; y las disyunciones negadas equivalen a la conjunción de dos negaciones. Las siguientes equivalencias lógicas son ciertas (A menudo se les conoce como “Las leyes de DeMorgan”, después del lógico inglés del siglo XIX Augustus DeMorgan, quien aparentemente fue el primero en formular en términos del sistema formal moderno desarrollado por su compatriota y contemporáneo, George Boole. Sin embargo, DeMorgan no descubrió estas equivalencias. Han sido conocidos por los logísticos desde los antiguos griegos):

~ (p • q) ≡ ~ p 6820 ~ q
~ (p 6820 q) ≡ ~ p • ~ q

Si quieres distribuir esa tilde dentro de los paréntesis (o, alternativamente, moverte de derecha a izquierda, tirar de la tilde afuera), tienes que cambiar la cuña a un punto (y viceversa).

Herradura y Triple Barra

Hay muchas locuciones inglesas que podemos simbolizar usando la herradura y la triple barra, especialmente la herradura. De hecho, como veremos, es posible renderizar reclamos traducidos con la triple barra usando la herradura en su lugar (junto con un punto). Analizaremos una muestra representativa de las muchas formas en que los condicionales y bicondicionales se pueden expresar en inglés, y hablaremos sobre cómo traducirlos a SL usando la herradura y la triple barra.

En la presentación canónica de un condicional se utilizan las palabras 'si' y 'entonces', como en 'Si los demócratas vuelven a ganar el Congreso, entonces se aprobará mucha nueva legislación'. Pero la palabra 'entonces' no es realmente necesaria: 'Si los demócratas recuperan el Congreso, se aprobará mucha nueva legislación' hace la misma aseveración. También se simbolizaría como 'D L' (con 'D' y 'L' representando los componentes simples obvios). También se puede sustituir la palabra 'si'. 'Siempre que los demócratas recuperen el Congreso, se aprobará mucha nueva legislación' también hace la misma afirmación.

Las cosas se ponen complicadas si variamos la ubicación del 'si'. Poniéndolo a mitad de oración, obtenemos 'Tu dolor desaparecería si tomas este té de hierbas todos los días durante una semana', por ejemplo. Compara esa frase con la que consideramos anteriormente: 'Si tomas este té de hierbas todos los días durante una semana, entonces tu dolor desaparecerá'. Lee uno, luego el otro. Hacen la misma afirmación, ¿no? Regla de oro: lo que sigue a la palabra 'si', cuando 'si' ocurre por sí solo (sin la palabra 'solamente'; ver abajo), es el antecedente del condicional. Traduciríamos ambas frases como algo como 'D P' (donde 'D' es para beber el té, y 'P' es para que el dolor se vaya).

La palabra 'sólo' cambia las cosas. Considera: 'Voy a ganar la lotería solo si tengo un boleto'. Una afirmación sensata, obviamente cierta. Estoy sugiriendo que esto es un condicional. Que 'W' signifique 'Yo gano la lotería' y 'T' significa 'Tengo boleto'. ¿Cuál es el antecedente y cuál es el consecuente? Cuál de estas dos simbolizaciones es correcta:

T W
o
W T

Para resolverlo, volvamos a leerlos al inglés como afirma canónico 'si/then'. El primero dice: “Si tengo boleto, entonces ganaré la lotería”. Bueno, ¡eso es optimista! Pero claramente falso, algo que sólo un tonto creería. Esa no puede ser la forma correcta de simbolizar nuestra afirmación original, completamente sensata, de que ganaré solo si tengo boleto. Entonces debe ser la segunda simbolización, que dice que si ganaba la lotería, entonces tenía un boleto. Eso es mejor. En términos generales, el componente que ocurre antes de 'solo si' es el antecedente de un condicional, y el componente que ocurre después es el consecuente.

El reclamo en el último ejemplo se puede poner de otra manera: tener un boleto es una condición necesaria para ganar la lotería. Utilizamos el lenguaje de “condiciones necesarias y suficientes” todo el tiempo. Simbolizamos estas locuciones con la herradura. Por ejemplo, tener al menos 16 años de edad es una condición necesaria para tener licencia de conducir (en la mayoría de los estados). Que 'O' signifique 'Tengo al menos 16 años' y 'D' significa 'Tengo licencia de conducir. 'D O' simboliza la sentencia alegando que O es necesario para D. Lo contrario no va a funcionar: 'O D', si lo leemos de nuevo, dice “Si tengo al menos 16 años, entonces tengo licencia de conducir”. Pero eso no es cierto. Un montón de jóvenes de 16 años no obtienen licencia. Hay condiciones adicionales además de la edad: pasar la prueba, ser físicamente capaz de conducir, etc.

Otra forma de poner ese punto: tener al menos 16 años no es una condición suficiente para tener licencia de conducir; no es suficiente por sí solo. Un ejemplo de una condición suficiente: obtener el 100% en cada prueba es una condición suficiente para obtener una A en una clase (suponiendo que las pruebas son las únicas evaluaciones). Es decir, si obtienes el 100% en cada prueba, entonces obtendrás una A. Si 'H' significa 'I obtuve el 100% en todas las pruebas' y 'A' significa 'I obtuve una A en la clase', entonces indicaríamos que H es una condición suficiente para A en SL escribiendo 'H A'. Observe que no es una condición necesaria: no hay que ser perfecto para obtener un A. 'A H' simbolizaría una falsedad.

Definir un concepto es proporcionar las condiciones necesarias y suficientes para caer bajo él. Por ejemplo, un soltero es, por definición, un varón soltero. Es decir, ser hombre soltero es necesario y suficiente para ser soltero: no calificas como soltero es no eres un varón soltero, y ser hombre soltero es suficiente, por sí solo, para calificar a la soltería. Es por circunstancias como esta que tenemos la triple barra. Recordemos, la frase que tiene la intención de capturar el significado de triple barra es 'si y solo si'. Ahora estamos en condiciones de entender esa locución. Considera la afirmación de que soy soltero si y sólo si soy un varón soltero. Esto es realmente una conjunción de dos afirmaciones: soy soltero si soy un hombre soltero, y soy soltero solo si soy un hombre soltero. Que 'B' signifique 'Soy soltero' y 'U' significa 'Soy un varón soltero. Nuestra afirmación es entonces B si U, y B solo si U. Sabemos cómo lidiar con 'si' por sí sola entre dos frases: la que sigue al 'si' es el antecedente del condicional. Y sabemos lidiar con 'sólo si': la oración anterior es el antecedente, y la frase posterior es la consecuente. Para simbolizar 'Soy soltero si y solo si soy un hombre soltero' usando herraduras y un punto, obtenemos esto:

(U B) • (B U)

La conjunción izquierda es la parte 'si'; la conjunción derecha es la parte 'solo si'. El propósito de la triple barra es darnos una manera de simbolizar tales afirmaciones más fácilmente, con un solo símbolo. 'Soy soltero si y sólo si soy un varón soltero' se puede traducir a SL como 'B ≡ L', que es sólo una taquigrafía para la conjunción más larga de condicionales arriba. Y dado que 'necesario y suficiente' también es solo una conjunción de dos condicionales, también utilizamos triple barra para esa locución. (También, la frase 'por si acaso' puede ser utilizada para expresar una pretensión bicondicional.)

En este punto, puede tener una objeción: ¿por qué incluir triple barra en SL en absoluto, si es prescindible a favor de un punto y un par de herraduras? ¿No es superfluo? Bueno, sí y no. Podríamos prescindir de él, pero tenerlo facilita ciertas traducciones. De hecho, este es el caso de todos nuestros símbolos. Siempre es posible reemplazarlos por combinaciones de otros. Considera la herradura. Es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, cierto de lo contrario. Entonces realmente, es solo una afirmación de que no es el caso que el antecedente sea verdadero y la conclusión falsa, una conjunción negada. Podríamos sustituir cualquier p q por ~ (p • ~ q). Y las equivalencias que vimos antes —las leyes de DeMorgan— nos muestran cómo podemos sustituir los puntos por cuñas y viceversa. Es un hecho (no lo probaré; toma mi palabra para ello) que podríamos arreglárnoslo con solo dos símbolos en nuestro idioma: tilde y cualquiera de cuña, punto o herradura. (De hecho, es posible arreglárselas con un solo símbolo: si definimos un nuevo operador de dos lugares eso es verdadero cuando ambos componentes son falsos, y false de lo contrario, eso haría el truco. El símbolo que normalmente se usa para esta función de verdad es '|', llamado el “trazo de Sheffer” después del lógico (Henry Sheffer) que publicó por primera vez este resultado) Así que sí, tenemos más símbolos de los que necesitamos, estrictamente hablando. Pero es conveniente tener la cantidad de símbolos que hacemos, ya que se alinean pulcramente con locuciones en inglés, haciendo que la traducción entre inglés y SL sea mucho más fácil de lo que sería de otra manera.

Ejercicios

Traduzca lo siguiente a SL, usando las letras mayúsculas en negritas para representar oraciones simples.

1. Harry Lime es un C riminal, pero no es un M onster.

2. Si T horwald no mató a su esposa, entonces J effries se verá tonto.

3. A Rosemary no le encantan tanto M ax como H erman.

4. Michael no va a K enfermo Fredo si su M otro sigue vivo.

5. Ni W oody ni B uzz pudieron derrotar a Zurg, pero R ex sí.

6. Si o F redo o S onny se hace cargo de la familia, será un D isaster.

7. E li se enriquecerá sólo si D aniel no bebe su batido.

8. Escribir un hit P lay es necesario para que Rosemary caiga en L ove con Max.

9. Kane no W en la elección, pero si la apertura de la O pera va bien recuperará su D ignición.

10. Si Dave vuela al onolito M, entonces tendrá una experiencia transformativa T; pero si no vuela al onolito M, quedará atrapado en un barco anfitrión G.

11. Kane quiere L ove si y sólo si lo consigue por su cuenta T. erms.

12. O Henry mantiene su boca cerrada y va a J ail por mucho tiempo o está en sus amigos y vive el resto de su vida como un S chnook.

13. Sólo si Herman construye un cuario A lo hará Rosemary L ove. 14. K illing Morrie es suficiente para mantenerlo Q uiet.

15. Jeffries será V indicado, siempre que Thorwald K maldijera a su esposa y Doyle A dmits que estuvo en lo cierto todo el tiempo.

16. C ollaborar con Cecil B. DeMille es necesario para R evocar la carrera de Norma, y si no ollabora con DeMille, Norma puede ir yo nsane.

17. O D aniel o E li obtendrán el aceite, pero no ambos.

18. Para tener una F ulfilling vida como juguete, es necesario, pero no suficiente, ser P acostado con los niños.

19. The Dude conseguirá R ich si el P lan de Walter funciona, y si el Dude consigue R ich, comprará una nueva bola B búho y una nueva arpet C.

20. O el AE-35 U nit está realmente mal funcionando o HAL se ha vuelto C razy; y si HAL se ha vuelto C razy, entonces la M ission será un fracaso y ni el rango D ave ni F llegarán nunca a casa.