13.3: Reglas para el cálculo de probabilidades

Debido a que las probabilidades son números, debemos usar una aritmética de bits para calcularlos. No te preocupes si los números te ponen nervioso; solo necesitaremos algunos conceptos básicos, como multiplicar fracciones, que aprendiste hace mucho tiempo. Aún así, puede haber pasado un tiempo desde que trabajaste con fracciones, así que si no te sientes seguro de ellas, tómate unos minutos para trabajar a través del apéndice, que revisa la aritmética básica que necesitarás. Cartas y dados: Lo básico Algunos de los problemas que consideraremos involucran cartas y dados; aquí está la composición de una baraja estándar de cartas (con los comodines eliminados) y los posibles resultados cuando tiras un par de dados.

Figura\(\PageIndex{1}\): Resultados de los dados rodantes

Figura\(\PageIndex{2}\): Maquillaje de una Baraja de Cartas Estándar

Resultados Absolutamente Ciertos

Ahora vamos a introducir ocho reglas que nos ayudarán a calcular probabilidades. Esta presentación sigue a la del excelente libro de Brian Skyrms Choice & Chance: An Introductive Logic. Es importante que aprendas y entiendas estas reglas. Si no lo haces, simplemente no podrás trabajar los problemas.

• Regla 1. (para eventos que están seguros de ocurrir): Si algo es seguro que sucederá, su probabilidad es 1. Si es cierto que la frase A es cierta:

Pr (A) = 1

Ejemplo: Si sacas una jalea de la bolsa descrita anteriormente, seguramente obtendrás una medusa roja o una verde: Pr (R o G) = 1.

• Regla 2. (para eventos que son seguros que no ocurrirán): Si algo es seguro que no sucederá, su probabilidad es 0. Si la frase A es segura que es falsa:

Pr (A) = 0

Ejemplo: Si sacas una jalea de la bolsa, no hay forma de que obtengas una que sea a la vez roja y verde; Pr (R&G) = 0.

Negaciones

La negación de una sentencia dice que la sentencia negada es falsa. Por ejemplo, 'No dibujé una jalea roja' niega la frase 'Dibujé una jalea roja'. Utilaremos ~ para significar negación. Entonces, expresamos la negación de la oración S escribiendo ~S.

Ejemplo: Si 'A' representa la afirmación de que dibujé un as, ~A dice que no dibujé un as.

Las probabilidades de las sentencias y sus negaciones son como personas en un balancín (Figura 13.3.3). Cuanto más bajo vayas, más alto va la persona del otro lado. Y cuanto más altos van, más bajo vas tú. De igual manera, cuanto menor sea la probabilidad de una sentencia, mayor será la probabilidad de su negación. Y cuanto mayor sea la probabilidad de una sentencia, menor será la probabilidad de su negación. Si llegas a pensar que es más probable que pases Química 101, deberías pensar que es menos probable que falle.

La “cantidad” de probabilidad es limitada. Una oración y su negación tienen una probabilidad total de 1 para dividirse entre ellas. Entonces, cualquier porción que no vaya a una oración, va a su negación. Es decir, las probabilidades S y ~S siempre suman 1.

Figura\(\PageIndex{3}\): Una oración y su negación dividen una unidad de probabilidad

• Regla 3. (negaciones): La probabilidad de una negación es 1 menos la probabilidad de la sentencia negada.

Pr (~A) = 1 — Pr (A)

Ejemplo 1: Si la probabilidad de dibujar un as es 1/13, entonces la probabilidad de que no dibujes un as es 12/13.

Ejemplo 2: Si una moneda está doblada de manera que la probabilidad de lanzar cabezas sea .4, entonces la probabilidad de no meter una cabeza en un lanzamiento es de .6. El círculo etiquetado A en la Figura 13.3.4 representa los casos en los que A es verdadera. Por ejemplo, podría significar que sacamos un as de una baraja de cartas. La región del rectángulo que no está en A representa la negación de A. El rectángulo representa una probabilidad total de 1, y representa la cantidad del rectángulo que no está en A es 1 menos la cantidad del rectángulo que está en A.

En casos simples, podemos representar probabilidades por diagramas de Venn como el de la Figura 13.3.4. El rectángulo representa todas las cosas que posiblemente podrían suceder. Tiene una probabilidad total de 1. Piense en ello como tener un cubo, una unidad, de barro extendido sobre su superficie. El lodo representa la probabilidad. Varias situaciones son posibles en la Figura 13.3.4.

• Todo el lodo podría estar dentro del círculo A; esto representa el caso donde la probabilidad de A es 1 (tiene toda la unidad) y la de ~A es 0.
• Todo el lodo podría estar fuera del círculo A; esto representa el caso donde la probabilidad de A es 0 y la de ~A es 1 (tiene toda la unidad).

Algo de barro puede estar dentro de A y algo afuera. Entonces ni A ni ~A tienen probabilidades de 1 ni de 0. Cuanto más barro dentro de A, más probable es.

Figura\(\PageIndex{4}\): Negaciones

Ejercicios

1. Supongamos que 2/3 del lodo en la Figura 13.3.4 se coloca dentro del círculo A. ¿Cuáles son las probabilidades de A y ~A, dada esta representación?
2. Supongamos que prácticamente todo el lodo de la Figura 13.3.4 se coloca fuera del círculo A. ¿Qué nos dice esto sobre la relación entre las probabilidades de A y ~A?

Disyunciones con Desjuntos Incompatibles

Como probablemente recordará, una disyunción es una frase de “cualquiera /o”. Afirma que cualquiera, o ambas, de dos alternativas es el caso. Aquí hay dos especímenes:

1. O el mayordomo lo hizo o el testigo de la defensa miente.
2. O voy a rodar un cinco o voy a rodar un seis.

A las dos frases más simples que conforman una disyunción se les llama disjuntos. El orden de los desjuntos en una disyunción no importa. Obsérvese que interpretamos las disyunciones para que sean verdaderas si ambas disyunciones son verdaderas. O bien tiene el mismo significado que la frase y/o, por lo que una disyunción afirma que al menos uno de los disjuntos es cierto.

Incompatibilidad

Dos cosas son incompatibles por si acaso ambas no pueden ocurrir (o ambas no pueden ser ciertas) juntas. Es imposible que ambos sucedan en una situación dada. La verdad de cualquiera excluye la verdad del otro, por lo que a veces se dice que cosas incompatibles son mutuamente excluyentes.

La incompatibilidad es una calle de doble sentido: si una cosa es incompatible con una segunda, la segunda es incompatible con la primera. Si A y B son incompatibles, entonces ningún As son Bs, y ningún Bs es As. Entonces, si A y B son incompatibles, Pr (A & B) = 0.

Ejemplo 1: Obtener una cabeza en el siguiente lanzamiento de una moneda y obtener una cola en ese mismo lanzamiento son incompatibles. Obtener cualquiera excluye conseguir el otro.

Ejemplo 2: Obtener una cabeza en este lanzamiento y obtener una cola en el lanzamiento posterior son compatibles. Estos dos resultados no son de ninguna manera inconsistentes entre sí. Ninguno excluye al otro.

Ejercicios

¿Cuáles de los siguientes pares son incompatibles entre sí?

1. Obteniendo un 1 en el siguiente rollo de troqueles. Conseguir un 3 en ese mismo rollo.
2. Obteniendo un 1 en el siguiente rollo de troqueles. Conseguir un 3 en el rollo después de eso.
3. Wilbur se gradúa de OU esta primavera. Wilbur cumple su sueño de toda su vida y comienza una carrera como acomodador de películas.
4. Wilbur se gradúa de OU esta primavera. Wilbur repasa de OU esta primavera.
5. Wilbur cumple veinte años. Ese mismo día, recibe la buena noticia de que acaba de convertirse en el Presidente de Estados Unidos.
6. Wilbur pasa todos los exámenes de este curso. Wilbur pasa el curso.
7. Wilbur obtiene una F muy baja en todos los exámenes de este curso. Wilbur pasa el curso.

Responder

1. Incompatibles. No se puede conseguir un 1 y un 3 en el mismo rollo.
2. Compatible. Ningún lado del dado tiene tanto un 1 como un 3 en él.
3. Compatible.
4. Incompatibles. Graduarse y reprobar se excluyen entre sí; si alguna de las dos pasa, el otro no puede.
5. Incompatibles. El Presidente tiene que tener por lo menos treinta y cinco. Así que ser veinte y ser Presidente se excluyen mutuamente. No puedes ser las dos a la vez.
6. Compatible.
7. ¿Qué opinas?

La probabilidad de una disyunción con disyunciones incompatibles

¿Cuál es la probabilidad de que una disyunción, A o B, con disyunciones incompatibles, sea cierta? Podemos representar la situación con la Figura 13.3.5.

Figura\(\PageIndex{5}\): Disyunciones con Disyunciones Incompatibles

Nuestra pregunta sobre la probabilidad de la disyunción A o B ahora se traduce en la pregunta: ¿Cuál es el área total ocupada por los dos círculos? Y la respuesta es: es solo el área ocupada por A, sumada a la zona ocupada por B. En cuanto a diagramas fangosos, tomamos la cantidad total de lodo que está en A o en B y los sumamos juntos.

• Regla 4. (disyunciones con desjuntos incompatibles): La probabilidad de que cualquier disyunción con disjuntos incompatibles sea verdadera es la suma de las probabilidades de los dos disyuntos.

Pr (A o B) = Pr (A) + Pr (B)

Ejemplo: Ninguna carta en una baraja estándar es tanto un as como un gato. Entonces, dibujar un as es incompatible con dibujar un gato. Si la probabilidad de dibujar un as es 1/13 y la probabilidad de dibujar un jack es 1/13, entonces la probabilidad de dibujar un as o un jack es 1/13 + 1/13 = 2/13. Podemos extender nuestra regla a las disyunciones con más de dos alternativas (desjuntos). Siempre y cuando cada disjunto sea incompatible con todos los demás disjuntos, podemos determinar la probabilidad de toda la disyunción sumando las probabilidades individuales de cada uno de sus disjuntos. Por ejemplo, la probabilidad de que dibuje ya sea un rey o una reina o una jota en un sorteo dado es de 1/13 + 1/13 + 1/13 = 3/13.

Ejercicios

1. Retira los comodines de una baraja estándar de naipes, para que tengas 52 cartas. Estás sacando una carta a la vez (y cada carta tiene una probabilidad igualmente buena de ser sorteada). ¿Cuál es la probabilidad de dibujar cada uno de los siguientes? En los casos en que esté involucrada más de una sola tarjeta, especifique qué reglas son relevantes (podrá calcular algunas de estas sin usar las reglas, pero no podrá hacerlo cuando lleguemos a problemas más difíciles, por lo que es importante comenzar a usar las reglas ahora).
   1. Un gato de diamantes.
   2. Un gato.
   3. Un rey o un gato.
   4. Un dos de palos.
   5. El gato de diamantes o los dos de palos.
   6. Un gato rojo.
   7. Una tarjeta que no es un gato rojo.
   8. Una carta de cara (rey, reina o gato) o un as.
   9. Una carta que sea una carta facial o bien no una tarjeta facial.
   10. Una carta que es a la vez una carta facial y no una carta facial.
2. Vas a rodar un solo dado. Cuál es la probabilidad de lanzar:
   1. A uno.
   2. A tres.
   3. Un uno o un tres.
   4. Un número par.
   5. Un no tres.
   6. Un número dos o un número no par.
3. Con la Regla 4 (nuestra nueva regla para las disyunciones) y la Regla 1 (nuestra regla para sentencias que deben ser ciertas) podemos probar que R3, nuestra regla para las negaciones, es correcta. Pruébalo.

Responder

3. He aquí cómo usar la Regla 4 y la Regla 1 para demostrar que la Regla 3, nuestra regla para las negaciones, es correcta. Primero tenga en cuenta que cada oración es incompatible con su negación, por lo que A y ~A son incompatibles. Además, es cierto que la frase 'A o ~A' es cierta. Por lo tanto:
   1. Pr (~A o A) = 1 [por Regla 1]
   2. Pr (~A o A) = Pr (A) + Pr (~A) [por Regla 4]
   3. Entonces Pr (~A) + Pr (A) = 1 [de 1 y 2]
   4. Por lo tanto, Pr (~A) = 1 - Pr (A) [restando Pr (A) de ambos lados]