13.4: Más reglas para calcular probabilidades

Conjunciones con Conjunciones Independientes

Una conjunción es un y-oración. La sentencia, 'Wilbur pasó la final y Betty pasó la final' es una conjunción. Las dos frases más simples pegadas entre sí por el 'y' se llaman conjunciones (el orden de las conjunciones en una conjunción no importa). Una conjunción es verdadera por si acaso ambas de sus conjunciones son verdaderas; si cualquiera de las dos conjunciones es falsa, todo es falso. Utilizaremos '&' para abreviar 'y'.

Independencia

Dos oraciones son independientes (la una de la otra) por si acaso son completamente irrelevantes entre sí. El verdad-valor de uno no tiene efecto, influencia o influencia sobre el valor de verdad del otro. Saber que uno es verdadero (o falso) no te dice nada sobre si el otro es verdadero (o falso). La independencia es una calle de doble sentido: si una cosa es independiente de una segunda, la segunda también es independiente de la primera.

Ejemplo 1: Estás sacando cartas de una baraja, y después de cada sorteo reemplazas la carta y reordenas la baraja. Los resultados de los dos sorteos son independientes. Lo que obtienes en el primer sorteo no influye en lo que obtienes en el segundo.

Ejemplo 2: Estás sacando cartas de una baraja sin reemplazarlas. Lo que obtienes en el primer sorteo cambia la composición de la baraja, y así el resultado del primer sorteo sí incide en el resultado del segundo. El resultado del segundo sorteo depende (hasta cierto punto) del resultado del primero.

No confundir la incompatibilidad con la independencia. Son completamente diferentes.

1. Dos cosas son incompatibles por si acaso ambas no pueden ser ciertas al mismo tiempo; la verdad de cualquiera excluye la verdad del otro.
2. Dos cosas son independientes por si acaso el valor de verdad de cada una no tiene relación con el valor de verdad del otro.

Ejemplo: Obtener una cabeza en el siguiente lanzamiento de una moneda y una cola en ese mismo lanzamiento son incompatibles. Pero no son independientes.

Ejercicios

¿Cuáles de los siguientes pares son incompatibles? ¿Cuáles son independientes?

1. Conseguir un 1 en el siguiente rollo de un dado. Conseguir un 3 en ese mismo rollo.
2. Dibujando un as en el primer sorteo de una baraja. Dibujando un gato en ese mismo sorteo.
3. Conseguir un 1 en el siguiente rollo de un dado. Conseguir un 3 en el rollo después de eso.
4. El ex anfitrión de Celebrity Apprentice es reelecto Presidente. Rollo un 3 en el primer rollo de un dado.
5. Conseguir una cabeza en la siguiente voltereta en una moneda. Ponerse de cabeza en el flip después de eso.
6. Aprobar todos los exámenes de este curso. Pasando el curso en sí.

Regla para Conjunciones con Conjunciones Independientes

• Regla 5. (conjunciones con conjunciones independientes): Si las oraciones A y B son independientes, entonces la probabilidad de que su conjunción, A & B, sea verdadera, sea Pr (A) por Pr (B).

Pr (A y B) = Pr (A) x Pr (B)

Entonces, cuando dos cosas son independientes, la probabilidad de su ocurrencia conjunta viene determinada por la regla multiplicativa simple: multiplicar la probabilidad de una por la probabilidad de la otra.

Ejemplo: Lo que sucede en el primer lanzamiento de una moneda no tiene efecto en lo que sucede en el segundo; obtener una cabeza en el primer lanzamiento de una moneda (H ₁) y obtener una cabeza en el segundo lanzamiento (H ₂) son independientes. Por lo tanto, Pr (H ₁ y H ₂) = Pr (H ₁) x Pr (H ₂) = ½ x 1/2 (= ¼)

Figura\(\PageIndex{1}\): Representación en árbol de la probabilidad de una conjunción

El diagrama de árbol (Figura 13.4.1) representa los posibles resultados. Los números a lo largo de cada ruta representan las probabilidades. La probabilidad de una cabeza en la primera vuelta (representada por el primer nodo de la ruta superior) es 1/2, y la probabilidad de una segunda cabeza (representada por el nodo en la parte superior derecha) también es 1/2. Hay cuatro caminos a través del árbol, y cada uno representa un resultado posible. Dado que los cuatro caminos son igualmente probables, la probabilidad de bajar por uno en particular es 1/4.

Podemos presentar la misma información en una tabla (Figura 13.4.2) que muestra más claramente por qué multiplicamos las probabilidades de las dos conjunciones. Los resultados a lo largo del lado representan los dos posibles resultados en el primer lanzamiento, y los resultados a lo largo de la parte superior representan los dos resultados del segundo lanzamiento.

Figura\(\PageIndex{2}\): Tabla Representación de la probabilidad de una conjunción

Podemos extender nuestra regla a las conjunciones con más de dos conjunciones. Siempre que cada conjunción sea independiente del resto, podemos determinar la probabilidad de toda la conjunción multiplicando las probabilidades individuales de cada una de sus conjunciones. Por ejemplo, la probabilidad de que consiga cabezas en tres volteos sucesivos de una moneda es de 1/2 x 1/2 x 1/2.

Nuestro trabajo será mucho más sencillo por los siguientes hechos.

• La incompatibilidad sólo es relevante para las disyunciones. No necesitamos preocuparnos por si las conjunciones de una conjunción son incompatibles o no.
• La independencia sólo es relevante para las conjunciones. No necesitamos preocuparnos por si los desjuntos de una disyunción son independientes o no.

Ganar la Lotería

Las posibilidades de ganar una lotería estatal son muy bajas; tienes muchas mejores posibilidades de ganar en casi cualquier casino del mundo. Para ver por qué, imagina una lotería donde debes adivinar correctamente un número de un dígito. Hay 10 de esos dígitos, por lo que tus posibilidades son 1 en 10, o .1. Hasta el momento, tan bien. Pero ahora imagina que debes adivinar un número de dos dígitos. Hay diez posibilidades para el primer dígito y diez posibilidades del segundo. Suponiendo que los dos dígitos son independientes, esto significa que las posibilidades de adivinar correctamente el primer dígito y el segundo dígito son 1/10 x 1/10 = 1/100. Ganarías esta lotería aproximadamente una vez cada 100 veces que jugaste. Esto puede no sonar tan mal. Pero la mayoría de las loterías estatales requieren que coincida con unos doce números de un dígito. En este caso, determinamos la probabilidad de ganar multiplicando 1/10 por sí mismo doce veces. Cuando escribimos 1/10 ₁₂ el largo camino, resulta ser:

1/1,000,000,000

que es casi infinitesimalmente pequeño.

Disyunciones con Desjuntos Compatibles

Siempre que los disjuntos de una disyunción sean incompatibles, se aplica R4, pero cuando son compatibles, necesitamos una regla más sutil.

Te ayudará a ver por qué si consideramos el siguiente ejemplo. Vamos a voltear un cuarto dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cabeza en al menos uno de los dos lanzamientos; cuál es Pr (H ₁ o H ₂)? La probabilidad de conseguir cabezas en cualquier tirada en particular es 1/2. Entonces, si usáramos nuestra antigua regla de disyunción (Regla 4., para desjuntos incompatibles), tendríamos Pr (H ₁ o H ₂) + Pr (H ₁) + Pr (H ₂), que es apenas 1/2 + 1/2, o 1. Esto significaría que estábamos seguros de conseguir una ventaja en al menos uno de nuestros dos lanzamientos. Pero esto obviamente es incorrecto, ya que es muy posible conseguir dos colas seguidas.

En efecto, si usáramos nuestra antigua regla de disyunción para calcular la probabilidad de obtener una cabeza en al menos uno de los tres lanzamientos, tendríamos 1/2 + 1/2 + 1/2, lo que nos daría una probabilidad mayor a 1.5 (y esto nunca podría ser correcto, ya que las probabilidades nunca pueden ser mayores que 1).

Figura\(\PageIndex{3}\): Disyunciones con Desjuntos Compatibles (“Traslapados”)

Si A y B son compatibles, es posible que puedan ocurrir juntos. Por ejemplo, dibujar un as y dibujar una carta negra son compatibles (podríamos dibujar el as de espadas o el as de los palos). Esto lo indicamos en la Figura 13.4.3 haciendo que el círculo que representa A y el círculo que representa B se superpongan. La región superpuesta, rayada, representa los casos en los que A y B se superponen.

En cuanto a diagramas fangosos, agregamos el peso del lodo en A al peso del lodo en B, pero cuando hacemos esto, pesamos el lodo donde se superponen dos veces.

Entonces, debemos restar una vez para deshacer este doble conteo. Debemos restar la probabilidad de que A y B ocurran ambos, para que esta área sólo se cuente una vez.

La regla general de la disyunción

• Regla 6. (disyunciones): La probabilidad de cualquier disyunción, incompatible o compatible, es la suma de las probabilidades de los dos disjuntos, menos la probabilidad de que ambos ocurran.

Pr (A o B) = Pr (A) + Pr (B) - Pr (A y B)

Ejemplo 1: Dibujar un as y dibujar un palo no son incompatibles. Entonces, Pr (A o C) = Pr (A) + Pr (C) - Pr (A & C); así es igual a 1/13 + 1/4 - 1/52. Nos restamos el 1/52, porque de lo contrario estaríamos contando el as de los clubes dos veces (una vez cuando contábamos los ases, y una segunda vez cuando contábamos los clubes).

Ejemplo 2: Obtener cabezas en el primer y segundo volteo de una moneda son compatibles. Entonces para calcular Pr (H ₁ o H ₂), tenemos que restar la probabilidad de que ambas conjunciones sean verdaderas. Debemos considerar Pr (H ₁) + Pr (H ₂) - Pr (H ₁ & H ₂), que es 1/2 + 1/2 - 1/4 (= 3/4).

La regla 6 es completamente general; se aplica a todas las disyunciones. Pero cuando los dos disjuntos son incompatibles, la probabilidad de que ambos sean verdaderos es 0, así podemos olvidarnos de restar cualquier cosa.