2.3: Descomposición de la señal

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 85585

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Objetivos de aprendizaje

Muchas veces, las señales se pueden descomponer en una superposición de dos o más señales más simples.
En estos casos, se puede explotar la linealidad para hacer mucho más sencillo el procesamiento de tales señales.

La complejidad de una señal no está relacionada con lo ondulada que es. Más bien, un experto en señales busca formas de descomponer una señal dada en una suma de señales más simples, que denominamos descomposición de la señal. Aunque nunca calcularemos la complejidad de una señal, esencialmente equivale al número de términos en su descomposición. Al escribir una señal como suma de señales componentes, podemos cambiar la ganancia de la señal componente multiplicándola por una constante y retrasándola. Descomposiciones más complicadas podrían contener derivados o integrales de señales simples.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Como ejemplo de complejidad de señal, podemos expresar el pulso pδ t como una suma de pasos unitarios retardados.

\[p\Delta (t) = u(t)-u(t-\Delta ) \nonumber \]

Así, el pulso es una señal más compleja que el paso. Sea como fuere, el pulso nos es muy útil.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Expresar una onda cuadrada con periodo T y amplitud A como superposición de pulsos retardados y amplitud-escalados.

Solución

\[sq(t)= \sum_{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}Ap_{\frac{T}{2}}\left ( t-n\tfrac{T}{2} \right ) \nonumber \]

Debido a que la sinusoide es una superposición de dos exponenciales complejos, la sinusoide es más compleja. No podíamos impedirnos el juego de palabras en esta declaración. Claramente, la palabra “complejo” se usa de dos maneras diferentes aquí. El exponencial complejo también se puede escribir (usando la relación de Euler) como una suma de un seno y un coseno. Descubriremos que prácticamente cada señal puede descomponerse en una suma de exponenciales complejos, y que esta descomposición es muy útil. Así, el exponencial complejo es más fundamental, y la relación de Euler no revela adecuadamente su complejidad.