5.5: Señales y Sistemas de Tiempo Discreto
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- Estudio de las señales de Tiempo Discreto.
Matemáticamente, las señales analógicas son funciones que tienen como variables independientes cantidades continuas, como el espacio y el tiempo. Las señales de tiempo discreto son funciones definidas en los números enteros; son secuencias. Al igual que con las señales analógicas, buscamos formas de descomponer las señales de tiempo discreto en componentes más simples. Debido a que este enfoque conduce a una mejor comprensión de la estructura de la señal, podemos explotar esa estructura para representar información (crear formas de representar la información con señales) y para extraer información (recuperar la información así representada). Para las señales de valor simbólico, el enfoque es diferente: Desarrollamos una representación común de todas las señales de valor simbólico para que podamos encarnar la información que contienen de manera unificada. Desde una perspectiva de representación de la información, el tema más importante se convierte, tanto para las señales de valor real como simbólico, en la eficiencia: cuál es la forma más parsimoniosa y compacta de representar la información para que pueda extraerse posteriormente.
Señales de valor real y complejo
Una señal de tiempo discreto se representa simbólicamente como s (n) donde n= {..., -1,0,1,...}
Por lo general, dibujamos señales de tiempo discreto como diagramas madre para enfatizar el hecho de que son funciones definidas solo en los enteros. Podemos retrasar una señal de tiempo discreto en un entero igual que con las analógicas. Una señal retardada por m muestras tiene la expresión s (n-m).
Exponenciales Complejos
La señal más importante es, por supuesto, la compleja secuencia exponencial.
\[s(n)=e^{i2\pi fn} \nonumber \]
Tenga en cuenta que la variable de frecuencia f es adimensional y que agregar un entero a la frecuencia del complejo exponencial discreto-tiempo no tiene ningún efecto sobre el valor de la señal.
\[e^{i2\pi (f+m)n}=e^{i2\pi fn}e^{i2\pi mn}=e^{i2\pi fn} \nonumber \]
Esta derivación se debe a que el complejo exponencial evaluado en un múltiplo entero de
Sinusoides
Las sinusoides de tiempo discreto tienen la forma obvia
\[s(n)=A\cos (2\pi fn+\varphi ) \nonumber \]
A diferencia de exponenciales complejos analógicos y sinusoides que pueden tener sus frecuencias de cualquier valor real, las frecuencias de sus contrapartes de tiempo discreto producen formas de onda únicas solo cuando f se encuentra en el intervalo:
\[\left ( -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ] \nonumber \]
Esta elección del intervalo de frecuencia es arbitraria; también podemos elegir la frecuencia para que se encuentre en el intervalo [0,1). La forma de elegir un intervalo de longitud unitaria para la frecuencia de una sinusoide se hará evidente más adelante.
Muestra de Unidad
La segunda señal de tiempo discreto más importante es la muestra unitaria, que se define como
\[\delta (n)=\begin{cases} 1 & \text{ if } n=0 \\ 0 & \text{ if } otherwise \end{cases} \nonumber \]
El examen de una gráfica de señal de tiempo discreto, como la de la señal coseno mostrada en la Figura 5.5.2, revela que todas las señales consisten en una secuencia de muestras unitarias retardadas y escaladas. Debido a que el valor de una secuencia en cada entero m se denota por s (m) y la muestra unitaria retardada para que ocurra en m se escribe δ (n-m), podemos descomponer cualquier señal como una suma de muestras unitarias retardadas a la ubicación apropiada y escaladas por la señal valor.
\[s(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }s(m)\delta (n-m) \nonumber \]
Este tipo de descomposición es exclusivo de las señales de tiempo discreto, y resultará útil posteriormente.
Paso de Unidad
El paso unitario en tiempo discreto está bien definido en el origen, a diferencia de la situación con señales analógicas.
\[u(n)=\begin{cases} 1 & \text{ if } n\geq 0 \\ 0 & \text{ if } n< 0 \end{cases} \nonumber \]
Señales Simbólicas
Un aspecto interesante de las señales de tiempo discreto es que sus valores no necesitan ser números reales. Tenemos señales de tiempo discreto de valor real como la sinusoide, pero también tenemos señales que denotan la secuencia de caracteres escritos en el teclado. Tales personajes ciertamente no son números reales, y como colección de posibles valores de señal, tienen poca estructura matemática aparte de que son miembros de un conjunto. De manera más formal, cada elemento de la señal de valor simbólico s (n) adquiere uno de los valores {a 1,... , a k} que comprenden el alfabeto A. Esta terminología técnica no significa que restrinjamos los símbolos a ser miembros del alfabeto inglés o griego. Podrían representar caracteres de teclado, bytes (cantidades de 8 bits), enteros que transmiten la temperatura diaria. Ya sea controlado por software o no, los sistemas de tiempo discreto se construyen en última instancia a partir de circuitos digitales, que consisten completamente en elementos de circuitos analógicos. Además, la transmisión y recepción de señales de tiempo discreto, como el correo electrónico, se logra con señales y sistemas analógicos. Comprender cómo el tiempo discreto y las señales analógicas y los sistemas se entrelazan es quizás el objetivo principal de este curso.
Sistemas de Tiempo Discreto
Los sistemas de tiempo discreto pueden actuar sobre señales de tiempo discreto de maneras similares a las que se encuentran en las señales y sistemas analógicos. Debido al papel del software en los sistemas de tiempo discreto, se pueden imaginar y “construir” muchos más sistemas diferentes con programas que con señales analógicas. De hecho, una clase especial de señales analógicas se puede convertir en señales de tiempo discreto, procesarse con software y volver a convertirse en una señal analógica, todo sin incursión de error. Para tales señales, los sistemas se pueden producir fácilmente en software, con realizaciones analógicas equivalentes difíciles, si no imposibles, de diseñar.