2.2: Juego de monedas

Las abstracciones de átomos, enlaces y energías de enlace han sido hechas para nosotros por el desarrollo de la ciencia. Pero muchas veces tenemos que hacer nuevas abstracciones. Para desarrollar esta habilidad, analizaremos un juego de monedas donde dos jugadores se turnan para voltear una moneda (justa); quien primero arroje cabezas gana.

¿Cuál es la probabilidad de que gane el primer jugador?

Primero hazte una idea del juego jugándolo. Aquí hay una ronda: TH. El primer jugador perdió la oportunidad de ganar lanzando colas (T); pero el segundo jugador arrojó cabezas (H) y ganó.

Jugar muchos juegos podría revelarnos un patrón o sugerir cómo calcular la probabilidad. Sin embargo, jugar muchos juegos volteando una moneda real se vuelve tedioso. En cambio, una computadora puede simular los juegos, sustituyendo números pseudoaleatorios por una moneda real. Aquí hay varias ejecuciones producidas por un programa de computadora. Cada línea comienza con 1 o 2 para indicar qué jugador ganó el juego; el resto de la línea muestra los tirados de monedas. En estas diez iteraciones, cada jugador ganó cinco veces. Una conjetura razonable es que cada jugador tiene las mismas posibilidades de ganar. Sin embargo, esta conjetura, basada en solo diez juegos, no se puede creer con fuerza.

2TH
2TH

1H

2TH

1TTH

2TTTH

2TH

1H

1H

1H

Probemos 100 juegos. Ahora incluso contar las victorias se vuelve tedioso. Mi computadora contó para mí: 68 victorias para el jugador 1, y 32 victorias para el jugador 2. La probabilidad de que el jugador 1 gane ahora parece más cercana a 2/3 que a 1/2.

Para encontrar el valor exacto, vamos a trazar el juego como un árbol que refleja los finales alternativos del juego. Cada capa representa un volteo. El juego termina en una hoja, cuando un jugador ha arrojado cabezas. Las hojas sombreadas muestran las victorias del primer jugador, por ejemplo, después de H, TTH o TTTTH. Las probabilidades de estas formas ganadoras son 1/2 (para H), 1/8 (para TTH) y 1/32 (para TTTTH). La suma de todas estas probabilidades de ganar es la probabilidad de que el primer jugador gane:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + ...\)

Para resumir esta serie infinita sin recurrir a fórmulas, haz una abstracción: Observe que el árbol contiene, un nivel abajo, una copia cercana de sí mismo. (En este problema, la abstracción se reutiliza dentro del mismo problema. En la informática, tal estructura se llama recursiva.) Porque si el primer jugador lanza colas, el segundo jugador inicia el juego en la posición del primer jugador, con la misma probabilidad de ganar.

Para beneficiarse de esta equivalencia, vamos a nombrar la idea reutilizable, es decir, la probabilidad de que el primer jugador gane, y llamemos p. El segundo jugador gana el juego con probabilidad p/2: El factor de 1/2 es la probabilidad de que el primer jugador arroje colas; el factor de p es la probabilidad de que el segundo jugador gana, dado que el primer jugador voló su oportunidad al arrojar colas en el primer lanzamiento.

Debido a que gana el primer o el segundo jugador, las dos probabilidades de ganar se suman a 1:

\[\underbrace{p}_{P(\textrm{first player wins})} + \underbrace{p/2}_{P(\textrm{second player wins})} = 1.\]

La solución es p = 2/3, como sugiere la simulación de 100 juegos. El beneficio de la solución de abstracción, en comparación con el cálculo explícito de la suma de probabilidad infinita, es el insight. En la solución de abstracción, la respuesta tiene que ser lo que es. No deja casi nada que recordar. Una divertida ilustración del mismo beneficio proviene del problema de la mosca que hace zoom de un lado a otro entre dos trenes que se aproximan.

Si la mosca comienza cuando los trenes están a 60 millas de distancia, cada tren viaja a 20 millas por hora, y la mosca viaja a 30 millas por hora, ¿hasta dónde viaja la mosca, en total, antes de conocer a su fabricante cuando chocan los trenes? (Disculpas de que los problemas de física suelen ser tan violentos.)

Justo después de escuchar el problema, John von Neumann, inventor de la teoría de juegos y de la computadora moderna, dio la distancia correcta. “Eso fue rápido”, dijo un colega. “Todos los demás tratan de sumar la serie infinita”. “¿Qué tiene de malo eso?” dijo von Neumann. “Así es como lo hice”. En Problema 2.7, se llega a resolver la serie infinita y las soluciones perspicaces.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Summing a geometric series using abstraction

Usa la abstracción para encontrar la suma de la serie geométrica infinita

\[1 + r + r^{2} + r^{3} + ...\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Using the geometric-series sum

Usa Problema\(\PageIndex{1}\): para verificar que la probabilidad de que el primer jugador gane es 2/3:

\(p = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + ... = \frac{2}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Nested square roots

Evalúe estas infinitas mezclas de raíces aritméticas y cuadradas:

\(\sqrt{3 \times \sqrt{3 \times \sqrt{3 \times \sqrt{3 \times ...}}}}\)

\(\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + ...}}}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Two trains and a fly

Encuentre la solución perspicaz y la serie infinita al problema de la mosca y los trenes que se aproximan (Sección 2.2). ¡Comprueba que den la misma respuesta por la distancia que recorre la mosca!

Ejercicio\(\PageIndex{5}\): Resistive ladder

En la siguiente escalera infinita de resistencias de 1 ohmio, ¿cuál es la resistencia entre los puntos A y B? Esta medición está indicada por el ohmiómetro conectado entre estos puntos.