2.3: Propósito de la abstracción

El juego de monedas (Sección 2.2), como la serie geométrica (Problema 2.4) o la escalera resistiva (Problema 2.8), contenía una copia de sí mismo. Al darse cuenta de esta reutilización se simplificó enormemente el análisis. La abstracción tiene un segundo beneficio: darnos una visión de alto nivel de un problema o situación. Las abstracciones nos muestran entonces similitudes estructurales entre situaciones aparentemente dispares.

Como ejemplo, volvamos a revisar la media geométrica, introducida en la Sección 1.6 para hacer estimaciones intestinales. La media geométrica de dos cantidades no negativas a y b se define como

\[\textrm{geometric mean} \equiv \sqrt{ab}\]

Esta media se llama la media geométrica porque tiene una construcción geométrica agradable. Divida el diámetro de un círculo en dos longitudes, a y b, e inscribe un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el diámetro. La altitud del triángulo es la media geométrica de a y b.

Esta media reaparece en lugares sorprendentes, entre ellos la playa. Cuando te paras en la orilla y miras el horizonte, estás viendo una media geométrica. La distancia al horizonte es la media geométrica de dos longitudes importantes en el problema (Problema 2.9).

Para mí, su aspecto más sorprendente fue en el curso “Seminario de Programación y Resolución de Problemas” impartido por Donald Knuth [40] (quien también creó TEX, el sistema de composición tipográfica para este libro). El curso, impartido como una serie de problemas de dos semanas, ayudó a los estudiantes de doctorado de primer año a pasar de problemas de tareas de licenciatura a problemas de investigación de doctorado Un problema con la tarea requiere quizás 1 hora. Un problema de investigación requiere, digamos 1000 horas: aproximadamente un año de trabajo, permitiendo otros proyectos. (Algunos problemas grapados juntos se convierten en doctorado.) En el curso, cada módulo de 2 semanas requirió aproximadamente 30 horas, aproximadamente la media geométrica de los dos puntos finales. Los módulos tenían la longitud justa para ayudarnos a cruzar el puente de la tarea a la investigación.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Horizon distance

¿Qué tan lejos está el horizonte cuando estás parado en la orilla? Pista: Es más lejos para un adulto que para un niño.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Distance to a ship

De pie en la orilla, se ve un barco (dibujado a escala) con una vela de mástil de 10 metros en la distancia y desaparecer de la vista. ¿Qué tan lejos estaba cuando desapareció?

Como evidencia adicional de que la media geométrica es una abstracción útil, la idea aparece incluso cuando no hay construcción geométrica para producirla, como al hacer estimaciones intestinales. Se utilizó este método en la Sección 1.6 para estimar la densidad poblacional y luego la población de Estados Unidos. Practicemos estimando las importaciones de petróleo de Estados Unidos en barriles al año, sin el razonamiento de dividir y conquistar de la Sección 1.4.

El método requiere que el intestino suministre un límite inferior y uno superior. Mi instinto informa que se sentiría bastante sorprendido si las importaciones fueran menos de 10 millones de barriles al año. En el extremo superior, mi instinto se sorprendería bastante si las importaciones fueran superiores a 1 billón de barriles al año: ¡el barril es mucho petróleo, y un billón es un gran número!

Quizás te preguntes cómo tu instinto también puede llegar a números tan grandes y cómo puedes tener confianza en ellos. Es cierto que he practicado mucho. Pero tú también puedes practicar. La clave es la práctica efectiva. Primero, ten el coraje de adivinar incluso cuando te sientas ansioso por ello (siento esta ansiedad todavía, así que practico este coraje a menudo). Segundo, compara tu suposición con valores en los que puedas poner más confianza, por ejemplo, con tus propias estimaciones más cuidadosas o con valores oficiales. La comparación ayuda a calibrar tu intestino (tu cerebro derecho) a estas grandes magnitudes. Encontrarás una confianza creciente y justificada en tu juicio de magnitud.

Mi mejor suposición para la cantidad es la media geométrica de las estimaciones inferior y superior:

\[\sqrt{10 \: million \times 1 \: trillion} \frac{barrels}{year}\]

El resultado es de aproximadamente 3 mil millones de barriles al año, cerca de nuestra estimación usando dividir y conquistar y cerca del valor verdadero. En contraste, la media aritmética habría producido una estimación de 500 mil millones de barriles al año, lo que es demasiado alto.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Arithmetic-mean-geometric-mean inequality

Utilice la construcción geométrica para la media geométrica para mostrar que la media aritmética de a y b (que se supone que no es negativa) es siempre mayor o igual que su media geométrica. ¿Cuándo son iguales las medias?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Weighted geometric mean

Una generalización de la media aritmética de a y b como (a + b) /2 es para dar a y b pesos desiguales. ¿Cuál es la generalización análoga para una media geométrica? (La media geométrica ponderada aparece en Problema 6.29 cuando estimas el tiempo de contacto de una pelota que rebota desde una mesa).