13.2: Estabilidad de Sistemas Lineales

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Podemos aplicar las definiciones anteriores al caso LTI considerando un sistema con una\(A\) matriz diagonalizable (en nuestra notación estándar) y\(\mathbf{u} \equiv 0\). El punto de equilibrio único es at\(x = 0\), siempre que no\(A\) tenga valor propio a 0 (respectivamente 1) en el caso CT (respectivamente DT). (De lo contrario, cada punto en todo el espacio propio correspondiente a este valor propio es un equilibrio.) Ahora

\ [\ begin {aligned}
\ dot {x} (t) &=e^ {A t} x (0)\\
&=V\ left [\ begin {array} {ccc}
e^ {\ lambda_ {1} t} &\\
&\ ddots &\\\
& e^ {\ lambda_ {n} t}
\ end {array}\ derecha] W x (0)\ (C T)\ (13.4)
\ fin {alineado}\ nonumber\]

\ [\ begin {alineado}
x (k) &=A^ {k} x (0)\\
&=V\ left [\ begin {array} {ccc}
\ lambda_ {1} ^ {k} &\\
&\ ddots &\\
& &\ lambda_ {n} ^ {k}
\ end {array}\ derecha] W x (0)\ quad (D)\ (13.5)
\ end {alineado} \ nonumber\]

De ahí que quede claro que en tiempo continuo un sistema con un diagonalizable\(A\) es asintóticamente estable iff

\[\mathcal{R} e\left(\lambda_{i}\right)<0, \quad i \in\{1, \ldots, n\} \ \tag{13.6}\]

mientras que en tiempo discreto el requisito es que

\[\left|\lambda_{i}\right|<1 \quad i \in\{1, \ldots, n\} \ \tag{13.7}\]

Tenga en cuenta que si\(\mathcal{R} e\left(\lambda_{i}\right)=0(\mathrm{CT})\) o\(\left|\lambda_{i}\right|=1(\mathrm{DT})\), el sistema no es asintóticamente estable, sino marginalmente estable.

Ejercicio

Para el caso no diagonalizable, utilice su comprensión de la forma Jordan para demostrar que las condiciones para la estabilidad asintótica son las mismas que en el caso diagonalizable. Para la estabilidad marginal, requerimos en el caso CT que\(\mathcal{R} e\left(\lambda_{i}\right) \leq 0\), con igualdad manteniendo al menos un valor propio; además, cada autovalor cuya parte real sea igual a 0 debe tener su multiplicidad geométrica igual a su multiplicidad algebraica, es decir, todos sus bloques Jordan asociados deben ser de talla 1. (Verificar que la presencia de bloques Jordan de tamaño mayor a uno para estos valores propios del eje imaginario conduciría a que las variables de estado crecieran polinomialmente con el tiempo.) Una condición similar se mantiene para la estabilidad marginal en el caso DT.

Estabilidad de Sistemas Lineales Variables en el Tiempo

Recordemos que la solución general no forzada a un sistema lineal variable en el tiempo es

\[x(t)=\Phi\left(t, t_{0}\right) x\left(t_{0}\right)\nonumber\]

donde\(\Phi(t, \tau)\) está la matriz de transición de estado. De ello se deduce que el sistema es

estable I.s.l. en\(\bar{x}=0 \text { if } \sup _{t}\left\|\Phi\left(t, t_{0}\right)\right\|=m\left(t_{0}\right)<\infty\).
asintóticamente estable en\(\bar{x}=0 \text { if } \lim _{t \rightarrow \infty}\left\|\Phi\left(t, t_{0}\right)\right\| \rightarrow 0, \forall t_{0}\).

Estas condiciones siguen directamente de la Definición 13.1