17.3: Estabilidad Externa

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Las entradas en la Figura 17.5 están relacionadas con las señales\(y_{1}\), y de la\(y_{2}\) siguiente manera:

\ [\ begin {array} {l}
y_ {1} =H_ {1}\ izquierda (y_ {2} +r_ {1}\ derecha)\\
y_ {2} =H_ {2}\ izquierda (y_ {1} +r_ {2}\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

que se puede escribir como

\ [\ left [\ begin {array} {cc}
I & -H_ {1}\\
-H_ {2} & I
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
y_ {1}\\
y_ {2}
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {cc}
H_ {1} & 0\\
0 & H_ {2}
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
r_ {1}\\
r_ {2}
\ end {array}\ right]\ tag {17.7}\]

Suponemos que la interconexión en la Figura 17.5 está bien planteada. Deje que el mapa\(\mathcal{T}\left(H_{1}, H_{2}\right)\) se defina de la siguiente manera:

\ [\ left (\ begin {array} {l}
y_ {1}\
y_ {2}
\ end {array}\ right) =\ mathcal {T}\ left (H_ {1}, H_ {2}\ derecha)\ left (\ begin {array} {c}
r_ {1}\\
r_ {2}
\ end {array}\ right)\ nonumber\]

A partir de las relaciones 17.7 la forma del mapa\(\mathcal{T}\left(H_{1}, H_{2}\right)\) viene dada por

\ [\ mathcal {T}\ izquierda (H_ {1}, H_ {2}\ derecha) =\ izquierda [\ begin {array} {cc}
\ izquierda (I-H_ {1} H_ {2}\ derecha) ^ {-1} H_ {1} &\ izquierda (I-H_ {1} H_ {2}\ derecha) ^ {-1} H_ {1} H_ {2} H_ {2}}
\\\ izquierda (I-H_ {2} H_ {1}\ derecha) ^ {-1} H_ {2} H_ {1} &\ izquierda (I-H_ {2} H_ {1}\ derecha) ^ {-1} H_ {2}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber \]

Nosotros denominamos el sistema interconectado externamente\(p\) -estable si el mapa\(\mathcal{T}\left(H_{1}, H_{2}\right)\) es\(p\) - estable. En nuestro caso LTI de orden finito, lo que esto requiere es precisamente que los polos de todas las entradas de la matriz racional

estar en la mitad abierta izquierda del plano complejo.

La estabilidad externa garantiza que los insumos acotados\(r_{1}\), y\(r_{2}\) producirá respuestas acotadas\(y_{1}\),\(y_{2}\),\(u_{1}\), y\(u_{2}\). La estabilidad externa está garantizada por la estabilidad asintótica (o estabilidad interna) de la descripción estado-espacio obtenida a través del proceso descrito en nuestra discusión sobre el bienestar. Sin embargo, como se señaló en capítulos anteriores, es posible tener estabilidad externa de la interconexión sin estabilidad asintótica de la descripción estado-espacio (debido a modos inestables ocultos en el sistema -tema que se discutirá mucho más en capítulos posteriores). Por otro lado, la estabilidad externa es más fuerte que la estabilidad de entrada/salida del mapeo\(\left(I-H_{1} H_{2}\right)^{-1} H_{1}\) entre\(r_{1}\) y\(y_{1}\), debido a que este mapeo solo involucra un subconjunto de las variables expuestas o externas de la interconexión.

Ejemplo 17.3

Supongamos que tenemos la configuración en la Figura 17.5, con\(H_{1}=\frac{s-1}{s+1}\) y\(H_{2}=-\frac{1}{s-1}\). La función de transferencia\(r_{1}\) relacionada con\(y_{1}\) es

\ [\ begin {alineado}
\ frac {H_ {1}} {1-H_ {1} H_ {2}} &=\ frac {s-1} {s+1}\ izquierda (1+\ frac {1} {s+1}\ derecha) ^ {-1}\\
&=\ izquierda (\ frac {s-1} {s+1}\ derecha)\ izquierda (\ frac {s+1} {s+2}\ derecha)\\
&=\ frac {s-1} {s+2}
\ final {alineado}\ nonumber\]

Dado que el único polo de esta función de transferencia es at\(s = -2\), la relación de entrada/salida entre\(r_{1}\) y\(y_{1}\) es estable. Sin embargo, considere la función de transferencia de\(r_{2}\) a\(u_{1}\), que es

\ [\ begin {alineado}
\ frac {H_ {2}} {1-H_ {1} H_ {2}} &=\ frac {1} {s-1}\ izquierda (\ frac {1} {1+\ frac {1} {s+1}}\ derecha)\\
&=\ frac {s+1} {(s-1) (s+2)}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Esta función de transferencia es inestable, lo que implica que el sistema de bucle cerrado es externamente inestable.