2.3: Sistemas lineales

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Page ID: 84320

Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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A continuación consideramos linealidad. En términos generales, un sistema es lineal si su comportamiento es independiente de escala; un resultado de esto es el principio de superposición. Más precisamente, supongamos que\(y_1(t) = F[u_1(t)]\) y\(y_2(t) = F[u2(t)]\). Entonces linealidad significa que para dos constantes cualesquiera\(\alpha_1\) y\(\alpha_2\),

\[y(t) = \alpha_1 y_1 (t) + \alpha_2 y_2 (t) = F[ \alpha_1 u_1 (t) + \alpha_2 u_2 (t)]\, . \]

Un caso especial simple se ve configurando\(\alpha_2 = 0\):

\[y(t) = \alpha_1 y_1 (t) = F[ \alpha_1 u_1 (t)]\, , \]

aclarando la invarianza de escala. Si la entrada se escala por\( \alpha_1\), entonces también lo es la salida. Aquí hay algunos ejemplos de sistemas lineales y no lineales:

\ begin {align*} y (t) &= c\ dfrac {du} {dt} &&\ text {(lineal e invariable en el tiempo)}\\ [4pt] y (t) &=\ displaystyle\ int\ limits_ {0} ^ {t} u (t_1)\, dt_1 &&\ text {(lineal pero no invariable en el tiempo)}\\ [4pt] y (t) &= 2u^2 (t) &&\ text {(no lineal pero invariable en el tiempo)}\\ [4pt] y (t) &= 6 u (t) &&\ text {(lineal e invariable en el tiempo).} \ end {align*}

Los sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) son de especial interés debido a las poderosas herramientas que podemos aplicarles. Los sistemas descritos por conjuntos de ecuaciones diferenciales lineales, ordinarias o diferenciales que tienen coeficientes constantes son LTI. ¡Esta es una clase grande! Ejemplos muy útiles incluyen una masa\(m\) sobre un resorte\(k\), siendo impulsada por una fuerza\(u(t)\):

\[m y''(t) + ky(t) = u(t)\, ,\]

donde la salida\(y(t)\) se interpreta como una posición. Un caso clásico de una ecuación diferencial parcial LTI es la transmisión de ondas laterales por una cadena semiinfinita. Dejar\(m\) ser la masa por unidad de longitud, y\(T\) ser la tensión (constante en la longitud). Si el movimiento del extremo es\(u(t)\), entonces el movimiento lateral satisface

\[m \frac {\partial^2 y(t,x)}{\partial t^2} = T \frac {\partial^2 y(t,x)} {\partial x^2} \]

con\(y(t, x = 0) = u(t)\). Tenga en cuenta que la salida del sistema no\(y\) es sólo una función del tiempo sino también del espacio en este caso.