2.4: La respuesta al impulso y la convolución
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Una propiedad fundamental de los sistemas LTI es que obedecen al operador de convolución. Este operador está definido por
\[y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} u(t_1) h(t-t_1)\, dt_1 = \int\limits_{-\infty}^{\infty} u(t-t_1) h(t_1)\, dt_1.\]
La función\(h(t)\) anterior es una caracterización particular del sistema LTI conocido como respuesta al impulso (ver más adelante). La igualdad entre las dos integrales debe ser clara ya que los límites de la integración son infinitos. La presencia del\(t_1\) y el\(−t_1\) término dentro de las integraciones te dice que tenemos integrales de productos -pero que una de las señales se da la vuelta. Describiremos el significado de la convolución de manera más completa a continuación. Para entender la respuesta al impulso, primero necesitamos el concepto del impulso en sí, también conocido como la función delta\(\delta(t)\). Piense en una caja rectangular centrada en el tiempo cero, de ancho (duración de tiempo)\(\epsilon\) y altura (magnitud)\(1/ \epsilon\); el límite como\( \epsilon \longrightarrow 0\) es la\(\delta\) función. El área es claramente igual a 1 en cualquier caso.
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El producto interno de la función delta con cualquier función es el valor de la función en el tiempo cero:
\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t)\,dt \, = \int\limits_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2} f(t) \delta(t)\,dt \, = \, f(t=0) \int\limits_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2} \delta(t)\, dt = f(0). \]
Más útil, la función delta puede seleccionar el valor de la función en un tiempo dado, distinto de cero\(\xi\):
\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-\xi)\, dt = f(\xi). \]
Volviendo ahora a la función de respuesta al impulso\(h(t)\), es, sencillamente, la salida del sistema LTI, cuando es impulsado por la función delta como entrada, es decir\(u(t) = \delta(t)\), o\(h(t) = F[\delta(t)]\). En términos prácticos, ¡podemos\(h(t)\) compararnos con la respuesta de un sistema mecánico cuando es golpeado muy fuerte por un martillo!
A continuación juntamos la función delta y la definición de convolución, para mostrar explícitamente que la respuesta de un sistema a la entrada arbitraria\(u(t)\) es la convolución de la entrada y la respuesta de impulso\(h(t)\). Esto es lo que se afirma en la definición que se da al inicio de esta sección. Primero observamos que
\ begin {align} u (t) &=\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ xi)\ delta (\ xi - t)\, d\ xi\ [4pt] &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ xi)\ delta (t -\ xi)\, d\ xi &&\ text {(porque la entrada es simétrica alrededor del tiempo cero).} \ nonumber\ end {align}
Ahora establece la respuesta del sistema\(y(t) = F[u(t)]\), donde\(F\) está un sistema LTI - usaremos sus dos propiedades a continuación.
\ begin {align*} y (t) &= F\ left [\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ xi)\ delta (t -\ xi)\, d\ xi\ derecha]\\ [4pt] &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ xi) F [\ delta (t -\ infty} ^ {\ infty} u (\ xi) F [\ delta -\ xi)]\, d\ xi &&\ text {(usando linealidad)}\\ [4pt] &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ xi) h (t -\ xi)\, d\ xi &&\ text { (usando invarianza de tiempo),}\ end {align*}
y esta de hecho es la definición de convolución, a menudo escrita como\(y(t) = h(t) \times u(t)\).
Se puede obtener una comprensión intuitiva de la convolución pensando en la entrada como un número infinito de funciones delta escaladas, colocadas muy juntas en el eje del tiempo. Al explicar el caso con el integrando\(u(t − \xi)h(\xi) \), vemos que la integral de convolución convocará todos estos impulsos virtuales, referenciados al tiempo\(t\), y los multiplicará por las respuestas impulsivas correctamente cambiadas. Consideremos un impulso solo que ocurre en el momento\(t = 2\), y nos interesa la respuesta en\(t = 5\). Entonces\(u(t) = \delta(t − 2)\) o\(u(t − \xi) = \delta(t − 2 − \xi) \). El integrando será así distinto de cero solo cuando\(t − 2 − \xi\) sea cero, o\( \xi = t − 2\). Ahora\(h(\xi) = h(t − 2)\) será\(h(3)\) cuándo\(t = 5\), y de ahí que proporcione la respuesta al impulso tres unidades de tiempo después de que ocurra el impulso, que es justo lo que queríamos.