2.5: Sistemas Causales

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Todos los sistemas físicos responden a la entrada solo después de que se aplique la entrada. En términos matemáticos, esto significa\(h(t) = 0\) para todos\(t < 0\). Por conveniencia, también generalmente consideramos que las señales de entrada son cero antes del tiempo cero. La convolución se adapta de una manera muy razonable:

\ begin {align} y (t) &=\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ xi) h (t -\ xi)\, d\ xi\\ [4pt] &=\ int\ límites_ {0} ^ {\ infty} u (\ xi) h (t -\ xi)\, d\ xi\\ [4pt] &=\ int\ límites_ {0} ^ {t} u (\ xi) h (t -\ xi)\, d\ xi. \ end {align}

El límite inferior de integración se establece por el supuesto de que\(u(t) = 0\) para\(t < 0\), y el límite superior se establece por la causalidad de la respuesta de impulso. La forma complementaria con integrando\(u(t − \xi) h(\xi) \) también se mantiene.