2.6: Un ejemplo de encontrar la respuesta al impulso

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Consideremos la ecuación diferencial\(mx''(t) + bx'(t) + cx(t) = \delta(t)\), con las condiciones iniciales de\(x(0) = x'(0) = 0\). Tenemos

\[ \int\limits_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2} [mx'' + bx' + cx]\, dt \, = \int\limits_{-\epsilon/2}^{\epsilon/2} \delta(t)\, dt \, = \, 1 \]

para que\(m(x'(0^+) - x'(0^-)) = 1\).

El\(+\) superíndice indica el instante justo después del tiempo cero, y el\(-\) superíndice indica el instante justo antes del tiempo cero. La relación dada sigue porque en el tiempo cero la velocidad y la posición son cero, por lo que la aceleración debe ser muy grande. Ahora desde\(x' (0^−) = 0\), tenemos\(x' (0^+) = 1/m\). Esto es muy útil: la velocidad inicial después de que la masa es golpeada con una\(\delta(t)\) entrada. De hecho, esto reemplaza nuestra condición inicial anterior\(x' (0) = 0\), y podemos tratar la ecuación diferencial como homogénea a partir de aquí. Con\(x(t) = c_1 e^{s_1 t} + c_2 e^{s_2 t} \), la ecuación gobernante se vuelve\(ms_i^2 + bs_i + k = 0\) así que

\[ s = - \dfrac{b}{2m} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4km}} {2m} .\]

Let\(\sigma = b/2m\) y

\[ \omega_d = \sqrt{ \dfrac{k}{m} - \dfrac{b^2}{4m^2}} , \]

y asumiendo que\(b^2 < 4km\), encontramos

\[ h(t) = \dfrac{1}{m \omega_d} e^{-\sigma t} sin(\omega_d t) , \, t \geq 0. \]

Como se señaló anteriormente, una vez que se conoce la respuesta de impulso para un sistema LTI, se pueden encontrar respuestas a todas las entradas:

\[x(t) = \int\limits_{0}^{t} u(\tau) h(t - \tau) \, d\tau. \]

En el caso de los sistemas LTI, la respuesta de impulso es una definición completa del sistema, de la misma manera que lo es una ecuación diferencial, con cero condiciones iniciales.