2.8: Transformada de Fourier

La transformada de Fourier es el principio subyacente para la descripción de las señales en el dominio de la frecuencia. Comenzamos con la serie de Fourier. Considera una señal\(f(t)\) continua en el intervalo de tiempo\( [0, T] \), que luego se repite con periodo\(T\) apagado a infinito negativo y positivo. Se puede demostrar que

\ begin {align} f (t) &= a_O +\ sum_ {k=1} ^\ infty [a_n\,\ cos (n\ omega_o t) + b_n\,\ sin (n\ omega_o t)] &\ text {en el que:}\\ [4pt]\ omega_o &= 2\ pi /T,\ nonumber\ [4pt] A_0 &=\ dfrac {1} {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} f (t)\, dt,\ nonumber\\ [4pt] a_n &=\ dfrac {2} {T}\ int\ límites_ {0} ^ {T} f (t)\,\ cos (n\ omega_o t)\, dt,\ nonumber\\ [4pt] b_n &=\ dfrac {2} {T}\ int\ limits_ {0} ^ {T} f (t)\,\ sin (n\ omega_o t)\, dt. \ nonumber\ end {align}

Esto dice que la señal en el dominio del tiempo\(f(t)\) tiene una representación exacta (si llevas toda la infinidad de términos) de una constante más cosenos y senos escalados. Como veremos más adelante, el impacto de esta segunda representación, en el dominio de la frecuencia, es profundo, ya que permite un conjunto completamente nuevo de herramientas para la manipulación y análisis de señales y sistemas. Una forma compacta de estas expresiones para la serie de Fourier se puede escribir usando exponenciales complejos:

\[ f(t) = \sum_{n = -\infty}^\infty C_n e^{i n \omega_o t}, \]

donde\(C_n = \dfrac{1}{T} \displaystyle \int\limits_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega_o t} \, dt \).

Por supuesto,\(C_n\) puede ser un número complejo. Al hacer estos cálculos internos del producto, la ortogonalidad de las funciones armónicas es útil:

\( \displaystyle \int\limits_{0}^{2 \pi} sin (nt) \, sin (mt) \, dt = 0, \)para\(n \geq 1, \, m \geq 1, \, n \neq m \)

\( \displaystyle \int\limits_{0}^{2 \pi} cos (nt) \, cos (mt) \, dt = 0, \)para\(n \geq 1, \, m \geq 1, \, n \neq m \)

\( \displaystyle \int\limits_{0}^{2 \pi} sin (nt) \, cos (mt) \, dt = 0, \)para\(n \geq 1, \, m \geq 1. \)

Ahora vamos a una clase de señal diferente, una que no sea periódica, sino que tenga una integral finita de valor absoluto. Obviamente, tal señal tiene que acercarse a cero a distancias alejadas del origen. Podemos escribir una transformación más elegante:

\[ F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i \omega t}\, dt, \]

\[ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega \tau}\, d\tau. \]

Esta es la transformada real de Fourier: una señal en el dominio del tiempo se transforma en una versión (compleja) en el dominio de la frecuencia, y se puede transformar de nuevo. Al trabajarlo, vemos que los derivados y las integrales se ven así a través de la transformación:

\[ f(t) \longleftrightarrow F(\omega) \]

\[\, \, \, \, \, \dfrac{d^n f(t)}{dt^n} \longleftrightarrow (i \omega)^n F(\omega) \]

\[ \int\limits_{-\infty}^{t} f(\tau)\, d\tau \longleftrightarrow \dfrac{1}{i \omega} F(\omega). \quad \]

Otra propiedad muy importante de la transformada de Fourier es la Relación de Parseval:

\[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} f^2(t) \, dt = \dfrac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(\omega) F^*(\omega) \, d\omega = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 \, d\omega, \]

donde el\(\ast\) -superíndice indica el conjugado complejo. Daremos más propiedades para la transformación relacionada de Laplace en una sección posterior. Pero como es, la transformada de Fourier es inmediatamente útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes (sistemas LTI):

\[ mx'' + bx' + cx = u(t) \longleftrightarrow [-m\omega^2 + i \omega b + k] X(\omega) = U(\omega), \]

para que\(X(\omega) = \dfrac{1}{-m \omega^2 + i \omega b + k} U(\omega).\)

De ahí que la acción de la ecuación diferencial\(f(t)\) con la que relacionarse\(x(t)\) es, en el dominio de la frecuencia, capturada por la función

\[ H(\omega) = \dfrac{1}{-m \omega^2 + i \omega b + k} \]

Al juntar dos y dos, entonces afirmamos que\( X(\omega) = H(\omega)U(\omega) \); en el espacio de Fourier, la respuesta del sistema es producto de la función de respuesta al impulso, ¡y la entrada! Para respaldar esto, mostramos ahora que la convolución en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación en el dominio de la frecuencia:

\ begin {align*} X (\ omega) &=\ mathcal {F}\ left [\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ tau) h (t -\ tau)\, d\ tau\ derecha]\\ [4pt] &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ tau) h (t -\ tau) e^ {-i\ tau t}\, dt d\ tau\\ [4pt] &=\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} u (\ tau) h (\ xi) e^ {-i\ omega (\ xi +\ tau)}\, d\ xi d\ tau\, &&\ text {porque\(e^{-i \omega t} = e^{-i \omega(t - \tau + \tau)}\)}\\ [4pt] &=\ displaystyle\ int\ limits_ {-\ infty} ^ {\ infty} e^ {-i\ omega\ xi} h (\ xi)\, d\ xi\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} e^ {-i\ omega\ tau} u (\ tau)\, d\ tau\\ [4pt] &= H (\ omega) U (\ omega). \ end {align*}

Aquí se debe reiterar el papel central de la respuesta al impulso. Es una definición completa del sistema, y para sistemas de ecuaciones diferenciales, es una función específica de los parámetros y de la frecuencia\(\omega\). La Transformada de Fourier de la respuesta de impulso se llama función de transferencia del sistema, y a menudo nos referimos a la función de transferencia como “el sistema”, aunque en realidad es una señal (transformada).

A modo de resumen, podemos escribir

\[y(t) = h(t) * u(t) ,\]y

\[Y(\omega) = H(\omega) U(\omega). \]