4.6: Interpretación del espectro

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Consideremos ahora el proceso aleatorio estacionario y ergódico con descripción:

\[ y(t) = \sum_{n=1}^N a_n \cos (\omega_n t + \psi_n), \]

donde\(\psi_n\) es una variable aleatoria con distribución uniforme en el rango\([0, \, 2 \pi]\). Como se mencionó anteriormente, este proceso tiene autocorrelación

\[ R(\tau) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^N a_n^2 \cos \omega_n \tau; \]

y luego

\[ S(\omega) = \dfrac{1}{2} \sum_{n=1}^N a_n^2 \pi [\delta(\omega - \omega_n) + \delta(\omega + \omega_n)]. \]

Al igual que con la transformada de Fourier, cada armónico en el dominio del tiempo se mapea a un par de funciones delta en el dominio de la frecuencia. Sin embargo, a diferencia de la transformada de Fourier, no hay ángulo de fase asociado con el espectro; las dos funciones delta son positivas y ambas reales.

Además, un proceso real tiene infinitamente muchos componentes de frecuencia, por lo que el espectro realmente se convierte en una curva continua. Por ejemplo, el espectro de ondas Bretschneider en ingeniería oceánica viene dado por

\[ S^+ (\omega) = \dfrac{5}{16} \dfrac{\omega_m^4}{\omega^5} H_{1/3}^2 e^{-5 \omega_m^4 / 4 \omega^4} \]

donde\(\omega\) es la frecuencia en radianes por segundo,\(\omega_m\) es la frecuencia modal (más probable) de cualquier onda dada,\(H_{1/3}\) es la altura de onda significativa. El\(+\) superíndice encendido\(S(\omega)\) indica un “espectro unilateral”, en el que toda la energía a frecuencias positivas y negativas se ha recogido en las frecuencias positivas. También tomamos en cuenta un factor de\(1/2 \pi\) (por las razones que se dan a continuación), para hacer la definición formal

\ begin {align} S^+ (\ omega) =\ dfrac {1} {\ pi} &S (\ omega), &&\ text {for\(\omega \geq 0\), and}\\ [4pt] &0, &&\ text {for\(\omega < 0\).} \ end {align}

¿Cuál es la justificación del factor de\(1/2 \pi\)? Considera que

\ begin {align} R (\ tau) &=\ dfrac {1} {2\ pi}\ int\ límites_ {-\ infty} ^ {\ infty} S (\ omega) e^ {i\ omega\ tau}\, d\ omega\ largofila derecha\\ [4pt] R (0) &=\ dfrac {1} {2\ pi}\ int\ s_ {-\ infty} ^ {\ infty} S (\ omega)\, d\ omega\\ [4pt] &=\ dfrac {2} {2\ pi}\ int\ limits_ {0} ^ {\ infty} S (\ omega)\, d\ omega,\ end { alinear}

y por lo tanto que

\[ \omega^2 = R(0) = \int\limits_{0}^{\infty} S^+ (\omega) \, d\omega.\]

En palabras, el área bajo el espectro unilateral es exactamente igual a la varianza, o al cuadrado de la desviación estándar del proceso.