5.2: Papel central de las distribuciones gaussiana y Rayleigh

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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El Teorema del Límite Central -que establece que la suma de un gran número de variables aleatorias se aproxima a un gaussiano- asegura que los procesos estacionarios y ergódicos crean una traza de datos que tiene sus muestras normalmente distribuidas. Por ejemplo, si se traza un histograma de las muestras de un sistema de medición de olas oceánicas, indicará una distribución normal. En términos generales, en cualquier ciclo dado, la traza pasará claramente más tiempo cerca de los extremos y menos tiempo cruzando cero. Pero para el proceso aleatorio, estos picos rara vez se repiten, mientras que el cero se cruza casi cada vez. Se recomienda probar un experimento numérico para confirmar el resultado de una distribución normal:

\[ p(y) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma_y} e^{-y^2 / 2 \sigma_y^2}, \]

donde la desviación estándar es\(\sigma_y\) y la media es cero. Como se indicó anteriormente, la desviación estándar es precisamente la raíz cuadrada del área bajo el espectro unilateral.

En contraste con la traza continua anterior, las alturas se calculan solo una vez por cada ciclo. Las alturas se definen para ser solo positivas, por lo que hay un límite inferior de cero, pero no hay límite superior. Así como la\(y\) propia señal teóricamente puede alcanzar valores arbitrariamente altos de acuerdo con la distribución normal, también pueden alcanzar alturas. Se puede demostrar que la distribución de alturas de un proceso gaussiano es Rayleigh:

\[ p(h) = \dfrac{h}{4 \sigma_y^2} e^{-h^2 / 8 \sigma_y^2}, \]

donde\(\sigma\) aquí está la desviación estándar del proceso normal subyacente. La media y la desviación estándar de la altura en sí son diferentes:

\ begin {align}\ bar {h}\, &=\ sqrt {2\ pi}\,\ sigma_y\ simeq 2.5\ sigma_y\\ [4pt]\ sigma_h\, &=\ sqrt {8 - 2\ pi}\,\ sigma_y\ simeq 1.3\ sigma_y.\ end {align}

Observe que el pdf de Rayleigh tiene un exponencial del argumento al cuadrado, pero que este exponencial también se multiplica por el argumento; esto lleva al pdf a cero en el origen. La distribución acumulativa es la más simple Rayleigh cpf:

\[ p(h < h_o) \, = \, 1 - e^{- h_o^2 / 8 \sigma_y^2}; \]

\(P(h)\)parece la mitad de un pdf gaussiano, ¡al revés! Una fórmula muy útil que deriva de esta sencilla forma es que

\[ p(h > h_o) \, = \, 1 - p(h < h_o) \, = \, e^{-2 h_o^2 / (\bar{h}^{1/3})^2} . \]

Esto se deduce inmediatamente de la función de probabilidad acumulativa, ya que\( \bar{h}^{1/3} = 4 \sigma_y \). Se confirma que\( p(h > \bar{h}^{1/3}) = e^{-2} \simeq 0.13. \)