9.2: Rotación de Marcos de Referencia

Un vector tiene una definición dual: es un segmento de una línea con dirección, o consiste en su proyección sobre un sistema de referencia\(xyz\), generalmente ortogonal y diestro. La primera forma es independiente de cualquier sistema de referencia, mientras que la segunda (en términos de sus componentes) depende directamente del sistema de coordenadas. Aquí utilizamos la segunda notación, es decir,\(\underline{x}\) se entiende como un vector de columna, cuyos componentes se encuentran como proyecciones de un segmento dirigido (invariante) sobre un sistema de referencia específico.

Denotamos a través de un subíndice el sistema de referencia específico de un vector. Deje que un vector expresado en el marco inercial (Tierra) se denota como\(\vec{x}\), y en un marco de referencia corporal\(\vec{x}_b\). Por el momento, asumimos que los orígenes de estos marcos son coincidentes, pero que el marco del cuerpo tiene una orientación angular diferente. La orientación angular tiene varias descripciones bien conocidas, incluyendo los ángulos de Euler y los parámetros de Euler (cuaterniones). El método anterior implica rotaciones sucesivas alrededor de los ejes principales, y tiene un vínculo sólido con las nociones intuitivas de balanceo, cabeceo y guiñada. Uno de los problemas con los ángulos de Euler, sin embargo, es que para ciertos valores específicos la transformación exhibe discontinuidades (como se verá a continuación). Los cuaterniones presentan un método más elegante y robusto, pero con más abstracción. Desarrollaremos las ecuaciones de movimiento aquí usando ángulos de Euler.

Pegue tres lápices juntos para formar un sistema de coordenadas tridimensional diestro. Al girar sucesivamente el sistema alrededor de tres de sus propios ejes principales, es fácil ver que se puede lograr cualquier orientación posible. Por ejemplo, considere la secuencia de [guiñada, cabeceo, balanceo]. Partiendo de una orientación idéntica a algún marco inercial, por ejemplo, las paredes de la habitación en la que se encuentra, gire el sistema móvil alrededor de su eje de guiñada, luego alrededor del nuevo eje de cabeceo, luego alrededor del eje de balanceo más nuevo. No hace falta decir que hay muchos conjuntos válidos de rotación de ángulos Euler posibles para alcanzar una orientación dada; algunos de ellos podrían usar el mismo eje dos veces.

Figura\(\PageIndex{1}\): la aplicación sucesiva de tres ángulos de Euler transforma el marco de coordenadas original en una orientación arbitraria.

Una primera pregunta es: ¿cuál es la coordenada de un punto fijo en el espacio inercial, referenciado a un marco de carrocería girado? La transformación toma la forma de una\(3 \times 3\) matriz, que ahora derivamos a través de rotaciones sucesivas de los tres ángulos de Euler. Antes de la primera rotación, la coordenada referenciada por el cuerpo coincide con la del marco inercial:\(\vec{x}_b ^0 = \vec{x}\). Ahora gire el eje de guiñada del\((z)\) marco móvil en un ángulo\(\phi\). Tenemos

\[ \vec{x}_b ^1 \, = \, \begin{bmatrix} \cos \phi & \sin \phi & 0 \\[4pt] -\sin \phi & \cos \phi & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \vec{x}_b ^0 \, = \, R(\phi) \vec{x}_b ^0. \]

La rotación alrededor del\(z\) eje no cambia la\(z\) coordenada del punto; los otros ejes se modifican de acuerdo con la trigonometría básica. Ahora aplica la segunda rotación, cabeceo alrededor del nuevo\(y\) eje por el ángulo\(\theta\):

\[ \vec{x}_b ^2 \, = \, \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{bmatrix} \vec{x}_b ^1 \, = \, R(\theta) \vec{x}_b ^1. \]

Finalmente, gire el sistema de carrocería un ángulo\(\psi\) alrededor de su\(x\) eje más nuevo:

\[ \vec{x}_b ^3 \, = \, \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & \cos \psi & \sin \psi \\[4pt] 0 & -\sin \psi & \cos \psi \end{bmatrix} \vec{x}_b ^3 \, = \, R(\psi) \vec{x}_b ^2. \]

Esto representa la ubicación del punto original, en el marco de referencia corporal completamente transformado, es decir,\(\vec{x}_b ^3\). Usaremos la notación\(\vec{x}_b\) en lugar de\(\vec{x}_b ^3\) a partir de aquí. Las tres rotaciones independientes se pueden conectar en cascada a través de la multiplicación matricial (¡el orden importa!) :

\ begin {align}\ vec {x} _b\, &=\, R (\ psi) R (\ theta) R (\ phi)\ vec {x}\\ [4pt] &=\,\ comenzar {bmatrix} c\ theta c\ phi & c\ theta s\ phi & -s\ theta\\ [4pt] -c\ psi s\ phi + s\ psi s\ theta c\ phi & c\ psi c\ phi + s\ psi s\ theta s\ phi & s\ psi c\ theta\\ [4pt] s\ psi s\ theta + c\ psi s\ theta c\ phi & -s\ psi c\ theta + c\ psi s\ theta s\ phi & c\ psi c\ theta\ end {bmatrix}\ vec {x}\\ [4pt] &=\, R (\ phi,\,\ theta,\,\ psi)\ vec {x}. \ end {align}

Todas las matrices de transformación, incluyendo\(R(\phi, \, \theta, \, \psi)\), son ortonormales: su inversa es equivalente a su transposición, de modo que eso\(\vec{x} = R^T \vec{x}_b\). Adicionalmente, debemos señalar que la matriz de rotación\(R\) es universal a todas las representaciones de orientación, incluyendo cuaterniones. Los roles de las funciones trigonométricas, tal como están escritas, son específicos de los ángulos de Euler, y del orden en que realizamos las rotaciones.

En el caso de que el marco de referencia móvil (cuerpo) tenga un origen diferente al del marco inercial, tenemos\[ \vec{x} \, = \, \vec{x}_0 + R^T \vec{x}_b, \] donde\(\vec{x}_0\) está la ubicación del origen móvil, expresado en coordenadas inerciales.