9.3: Rotaciones Diferenciales

Ahora considere pequeñas rotaciones de un marco a otro; usar la suposición de ángulo pequeño para ignorar términos de orden superior da

\ begin {align} R\, &\ simeq\,\ begin {bmatrix} 1 &\ delta\ phi & -\ delta\ theta\ [4pt] -\ delta\ phi & 1 &\ delta\ psi\ [4pt]\ delta\ theta & -\ delta\ psi & 1\ end {bmatrix}\\ [4pt] &=\,\ begin {bmatrix} &\ delta\ phi y -\ delta\ theta\\ [4pt] -\ delta\ phi & 0 &\ delta\ psi\\ [4pt]\ delta\ theta & -\ delta\ psi & 0\ end {bmatrix} + I_ {3\ times 3},\ end {align} donde\(I_{3 \times 3}\) donotes la matriz de identidad. \(R\)comprende la identidad más una parte igual al operador de producto cruzado (negativo)\( (-\delta \vec{E} \times) \), donde\(\delta \vec{E} = [\delta \psi, \, \delta \theta, \, \delta \phi]\), el vector de ángulos diferenciales de Euler, ordenados con los ejes Las rotaciones\([x, \, y, \, z].\) pequeñas están completamente desacopladas; su orden no importa. Ya que\(R^{-1} = R^T\), también tenemos\(R^{-1} = I_{3 \times 3} + \delta \vec{E} \times\);

\ begin {align}\ vec {x} _b\, &=\,\ vec {x} -\ delta\ vec {E}\ veces\ vec {x}\\ [4pt]\ vec {x}\, &=\,\ vec {x} _b +\ delta\ vec {E}\ veces\ vec {x} _b.\ end {align}

Ahora fijamos el punto de interés en el cuerpo, en lugar de en el espacio inercial, llamando a su ubicación en el marco del cuerpo\(\vec{r}\) (radio). Las rotaciones diferenciales ocurren a lo largo de un paso de tiempo\(\delta t\), de manera que podemos escribir la ubicación del punto antes y después de la rotación, con respecto al primer fotograma de la siguiente manera:

\ begin {align}\ vec {x} (t)\, &=\,\ vec {r}\\ [4pt]\ vec {x} (t +\ delta t)\, &=\, R^T\ vec {r}\, =\,\ vec {r} +\ delta\ vec {E}\ veces\ vec {r}\ end {align}

Dividiendo por el paso de tiempo diferencial da

\ begin {align}\ dfrac {\ delta\ vec {x}} {\ delta t}\, &=\,\ dfrac {\ delta\ vec {E}} {\ delta t}\ veces\ vec {r}\\ [4pt] &=\,\ vec {\ omega}\ veces\ vec {r},\ end align {}

donde el vector de velocidad de rotación\(\vec{\omega} \simeq d \vec{E} / dt\) porque los ángulos de Euler para esta rotación infinitesimal son pequeños y desacoplados. Esta misma relación entre productos también se puede derivar en el segundo marco:

\ begin {align}\ vec {x} _b (t)\, &=\, R\ vec {r}\, =\,\ vec {r} -\ delta\ vec {E}\ veces\ vec {r}\\ [4pt]\ vec {x} _b (t +\ delta t)\, &=\,\ vec {r},\ end alinear}

de tal manera que

\ begin {align}\ dfrac {\ delta\ vec {x} _b} {\ delta t}\, &=\,\ dfrac {\ delta\ vec {E}} {\ delta t}\ veces\ vec {r}\\ [4pt] &=\,\ vec {\ omega}\ veces\ vec {r}. \ end {align}

En un cuerpo giratorio cuyo punto de origen es fijo, la tasa de cambio de tiempo de un vector de radio constante es el producto cruzado del vector de velocidad de rotación\(\vec{\omega}\) y el vector de radio en sí. La derivada resultante está en el bastidor de carrocería móvil. En el caso de que el vector radio cambie con respecto al marco del cuerpo, necesitamos un término adicional:

\[ \dfrac{d \vec{x}_b}{dt} \, = \, \vec{\omega} \times \vec{r} + \dfrac{\partial \vec{r}}{\partial t}. \]

Por último, permitir que el origen se mueva así da

\[ \dfrac{d \vec{x}_b}{dt} \, = \, \vec{\omega} \times \vec{r} + \dfrac{\partial \vec{r}}{\partial t} + \dfrac{d \vec{x}_o}{dt}. \]

Este resultado a menudo se escribe en términos de velocidad referenciada por el cuerpo\(\vec{v}\):

\[ \vec{v} \, = \, \vec{\omega} \times \vec{r} + \dfrac{\partial \vec{r}}{\partial t} + \vec{v}_o, \]

donde\(\vec{v}_o\) es la velocidad referenciada por el cuerpo del origen. La velocidad total de la partícula es igual a la velocidad del origen del marco de referencia, más un componente debido a la rotación de este marco. La ecuación de velocidad puede generalizarse a cualquier vector referenciado por el cuerpo\(\vec{f}\):

\[ \dfrac{d \vec{f}}{dt} \, = \, \dfrac{\partial \vec{f}}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{f}. \]