9.4: Tasa de cambio de ángulos de Euler

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Solo para el caso de los ángulos infinitesimales de Euler es cierto que la tasa de cambio temporal de los ángulos de Euler es igual a la tasa de rotación referenciada por el cuerpo. Por ejemplo, con la secuencia [guiñada, cabeceo, balanceo], el ángulo de guiñada de Euler (aplicado primero) definitivamente no es sobre el eje final de guiñada del cuerpo; las rotaciones de cabeceo y balanceo movieron el eje. Una parte importante de cualquier simulación es la evolución de los ángulos de Euler. Dado que la física determina la tasa de rotación\(\vec{\omega}\), buscamos un mapeo de\(\vec{\omega} \rightarrow d \vec{E} / dt\).

La idea es considerar pequeños cambios en cada ángulo de Euler y determinar los efectos sobre el vector de rotación. El primer ángulo de Euler sufre dos rotaciones adicionales, el segundo ángulo una rotación, y el ángulo final de Euler sin rotaciones adicionales:

\ begin {align}\ vec {\ omega}\, &=\, R (\ psi) R (\ theta)\ begin {Bmatrix} 0\\ [4pt] 0\\ [4pt] d\ phi/dt\ end {Bmatrix} + R (\ psi)\ begin {Bmatrix} 0\\ [4pt] d\ theta/dt\\ [4pt] 0\ fin {Bmatrix} +\ begin {Bmatrix} d\ psi/dt\\ [4pt] 0\\ [4pt] 0\ end {Bmatrix}\\ [4pt]\ quad\ nonumber\\ [4pt] &=\, \ begin {bmatrix} 1 & 0 & -\ sin\ theta\ [4pt] 0 &\ cos\ psi &\ sin\ psi\ cos\ theta\ [4pt] 0 & -\ sin\ psi &\ cos\ psi\ cos\ theta\ end {bmatrix}\ begin {bmatrix}\ begin {Bmatrix} d\ psi/dt\ [4pt] d\ theta/dt\ [4pt] pt] d\ phi/dt\ end {Bmatrix}. \ end {align}

Tomando el inverso da

\ begin {align}\ dfrac {d\ vec {E}} {dt}\, &=\,\ begin {bmatrix} 1 &\ sin\ psi\ tan\ theta &\ cos\ psi\ tan\ theta\ [4pt] 0 &\ cos\ psi & -\ sin\ psi\ [4pt] 0 &\ sin\ psi/\ cos\ theta & cos\ psi/\ cos\ theta\ end {bmatrix}\ vec {\ omega}\\ [4pt] &=\,\ Gamma (\ vec { E})\ vec {\ omega}. \ end {align} Las singularidades existen en\(\Gamma\) at\(\theta = {\pi / 2, \, 3\pi / 2}\), debido a la división por\(\cos \theta\), y de ahí esta ecuación de otra manera útil para propagar la orientación angular de un cuerpo falla cuando el vehículo gira alrededor\(y\) del eje intermedio noventa grados. En aplicaciones donde esta es una posibilidad real, como en satélites orbitales y brazos robóticos, los cuaterniones proporcionan un mapeo sin fisuras. Para muchos vehículos, la singularidad en el paso es aceptable, ya que un ángulo de cabeceo de noventa grados está fuera de las condiciones normales de funcionamiento.