10.2: Momentum lineal en un marco móvil

La expresión para la velocidad total se puede insertar en la ecuación de impulso lineal sumado para dar

\ begin {align}\ sum_ {i=1} ^N\ vec {F} _i\,\, &=\,\,\ sum_ {i=1} ^N\ dfrac {d} {dt} (m_i (\ vec {v} _o +\ vec {\ omega}\ veces\ vec {r} _i))\\ [4pt] &=\,, m\ dfrac {\ parcial\ vec {v} _o} {\ parcial t} +\ dfrac {d} {dt}\ izquierda [\ vec {\ omega}\ veces\ sum_ {i=1} ^N m_i\ vec {r} _i\ derecha],\ end {align} donde\(m = \displaystyle\sum_{i=1}^N m_i\), y \(\vec{v}_i = \vec{v}_o + \vec{\omega} \times \vec{r}_i\). Definiendo aún más el vector del centro de gravedad de\(\vec{r}_G\) tal manera que

\[ m \vec{r}_G \, = \, \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i, \]

tenemos\[ \sum_{i=1}^N \vec{F}_i \, = \, m \dfrac{\partial \vec{v}_o}{\partial t} + m \dfrac{d}{dt} (\vec{\omega} \times \vec{r}_G). \]

Usando nuevamente la expansión para la derivada total, la ecuación vectorial completa en las coordenadas del cuerpo es

\[ \vec{F} \, = \, \sum_{i=1} N \, = \, m \left( \dfrac{\partial \vec{v}_o}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{v}_o + \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}_G + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_G) \right). \]

Ahora enumeramos algunas convenciones que se usarán a partir de aquí:

\ begin {alinear*}\ vec {v} _o\,\, &=\,\,\,\ {u,\, v,\, w\}\ quad\ text {(velocidad referenciada al cuerpo)}\\ [4pt]\ vec {r} _G\,\, &=\,\,\,\,\ {x_g,\, y_g,\, z_G\}\ texto {(ubicación del centro de masa referenciada por el cuerpo)}\\ [4pt]\ vec {\ omega}\,\, &=\,\,\,\ {p,\, q,\, r\}\ quad\ text {(rotación vector, en coordenadas del cuerpo)}\\ [4pt]\ vec {F}\,\, &=\,\,\ {X,\, Y,\, Z\}\ quad\ text {(fuerza externa, coordenadas del cuerpo)}. \ end {alinear*}

El último término en la ecuación anterior simplifica el uso de la identidad de producto triple vectorial\[ \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_G) \, = \, (\vec{\omega} \cdot \vec{r}_G) \vec{\omega} - (\vec{\omega} \cdot \vec{\omega}) \vec{r}_G, \] y las tres ecuaciones de impulso lineal resultantes son

\ begin {align} X\,\, &=\,\, m\ izquierda [\ dfrac {\ u parcial} {\ t parcial} + qw - rv +\ dfrac {dq} {dt} z_g -\ dfrac {dr} {dt} y_g + (q y_g + r z_g) p - (q^2 + r^2) x_g derecha\]\\ [4pt] Y\,\, &=\,\, m\ izquierda [\ dfrac {\ parcial v} {\ parcial t} + ru - pw +\ dfrac {dr} {dt} x_g -\ dfrac {dp} {dt} z_g + (r z_g + p x_g) q - ( r^2 + p^2) Y_g\ derecha]\\ [4pt] Z\,\, &=\,\, m\ izquierda [\ dfrac {\ w parcial} {\ t parcial} + pv - qu +\ dfrac {dp} {dt} Y_g -\ dfrac {dq} {dt} x_g + (p x_g + q y_g) r - (p^2 + q^2) z_g\ derecha]. \ end {align}

Tenga en cuenta que aproximadamente la mitad de los términos aquí se deben a que el centro de masa está en una ubicación diferente al origen del marco de referencia, es decir,\(\vec{r}_G \neq \vec{0}\).