10.3: Ejemplo - Masa en una Cadena
- Page ID
- 84073
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Considera una masa en una cuerda, siendo girada alrededor en círculo a velocidad\(U\), con radio\(r\). La fuerza centrífuga se puede calcular de al menos tres formas diferentes. La ecuación vectorial al inicio es
\[ \vec{F} \, = \, m \left( \dfrac{\partial \vec{v}_o}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{v}_o + \dfrac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{r}_G + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_G) \right). \]
Marco móvil fijado a la masa
Fijando un marco de referencia sobre la masa, con el local\(x\) orientado hacia adelante y hacia\(y\) adentro hacia el centro del círculo, da
\ begin {alinear*}\ vec {v} _o\,\, &=\,\,\,\ {U,\, 0,\, 0\} ^T\\ [4pt]\ vec {\ omega}\,\, &=\,\,\,\ {0,\, 0,\, U/r\} ^T\\ [4pt]\ vec {r} _G\,\, &=\,\,\ {0,\, 0,\, 0\} ^T\\ [4pt]\ dfrac {\ parcial\ vec {v} _o} {\ parcial t}\,\, &=\,\,\,\ {0,\, 0,\, 0\} ^T\\ [4pt]\ dfrac {\ parcial\ vec {omega}} {\ t parcial}\,\, &=\,\,\,\ {0,\, 0,\, 0\} ^T,\ final {alinear*}
de tal manera que\[ \vec{F} \, = \, m \vec{\omega} \times \vec{r}_o \, = \, m \{ 0, \, U^2 /r, \, 0 \}^T. \]
La fuerza de la cuerda tira de la masa para crear el movimiento circular.
Marco giratorio unido al punto de pivote
Fijando el marco de referencia móvil al punto de pivote de la cadena, con la misma orientación que la anterior pero permitiendo que gire con la cuerda, tenemos
\ begin {align*}\ vec {v} _o\,\, &=\,\,\,\ {0,\, 0,\, 0\} ^T\\ [4pt]\ vec {\ omega}\,\, &=\,\,\,\ {0,\, 0,\, U/r\} ^T\\ [4pt]\ vec {r} _G\,\, &=\,\,\ {0,\, r,\, 0\} ^T\\ [4pt]\ dfrac {\ parcial\ vec {v} _o} {\ parcial t}\,\, &=\,\,\,\ {0,\, 0,\, 0\} ^T\\ [4pt]\ dfrac {\ parcial\ vec {omega}} {\ parcial t}\,\, &=\,\,\,\ {0,\, 0,\, 0\} ^T,\ end {alinear*}
dando el mismo resultado:\[ \vec{F} \, = \, m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_G) \, = \, m \{ 0, \, U^2/r, \, 0 \}^T. \]
Bastidor Estacionario
Un marco fijo en el espacio inercial, y momentáneamente coincidente con el marco en la masa, también se puede utilizar para el cálculo. En este caso, a medida que la cuerda viaja a través de un pequeño arco\(\delta \psi\), la resta vectorial da\[ \delta \vec{v} \, = \, \{ 0, \, U \sin \delta \psi, \, 0 \}^T \, \simeq \, \{ 0, \, U \delta \psi, \, 0 \}^T. \] Desde\(\psi = U / r\), se deduce fácilmente que en el marco fijo\(d \vec{v} / dt = \{ 0, \, U^2 / r, 0 \}^T \), como antes.