10.4: Momentum Angular

Para el momento angular, la ecuación de partículas sumadas es\[ \sum_{i=1}^N (\vec{M}_i + \vec{r}_i \times \vec{F}_i) \, = \, \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times \dfrac{d}{dt} (m_i \vec{v}_i) , \]

donde\(\vec{M}_i\) es un momento externo en la partícula\(i\). Similar al caso del impulso lineal, los momentos internos sumados cancelan. Tenemos

\[ \sum_{i=1}^N (\vec{M}_i + \vec{r}_i \times \vec{F}_i) \, = \, \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i \times \left[ \dfrac{\partial \vec{v}_o}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{v}_o \right] + \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i \times \left( \dfrac{\partial \vec{\omega}}{\partial t} \times \vec{r}_i \right) + \sum_{i=1}^N m_i \vec{r}_i \times (\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_i)). \]La suma en el primer término del lado derecho se reconoce simplemente como\(m \vec{r}_G\), y el primer término se convierte\[m \vec{r}_G \times \left[ \dfrac{\partial \vec{v}_o}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{v}_o \right]. \]

El segundo término se expande como (usando el triple producto)

\ begin {align}\ suma_ {i=1} ^N m_i\ vec {r} _i\ veces\ izquierda (\ dfrac {\ parcial\ vec {\ omega}} {\ parcial t}\ veces\ vec {r} _i\ derecha)\,\, &=\,\,\ sum_ {i=1} ^N m_i\ izquierda ((\ vec {r} _i\ cdot\ vec {r} _i)\ dfrac {\ parcial\ vec {\ omega}} {\ parcial t} -\ izquierda (\ dfrac {\ parcial\ vec {\ omega}} {\ t parcial}\ cdot\ vec {r} _i\ derecha)\ vec {r } _i\ derecha)\\ [4pt] &=\,\,\ begin {Bmatrix}\ suma_ {i=1} ^N m_i ((y_i^2 + z_i^2)\ punto {p} - (y_i\ punto {q} + z_i\ punto {r}) x_i)\\ [4pt]\ suma_ {i=1} ^N m_i ((x_i^2 + z_i^2)\ punto {q} - (x_i\ punto {p} + z_i\ punto {r}) y_i)\\ [4pt]\ suma_ {i=1} ^N m_i ((x_i^2 + y_i^2)\ punto {r} - (x_i\ punto {p} + y_i\ punto {q}) z_i)\ end { Matriz}\ end {align}

Empleando las definiciones de momentos de inercia,

\ begin {align} I\,\, &=\,\,\ begin {bmatrix} I_ {xx} & I_ {xy} & I_ {xz}\\ [4pt] I_ {yx} & I_ {yy} & I_ {yz}\\ [4pt] I_ {zx} & I_ {zy} & I_ {zz}\ end {bmatrix}\ quad\ text {(matriz de inercia)}\\ [4pt] I_ {xx}\,\, &=\,\,\,\ suma_ {i=1} ^N m_i (y_i^2 + z_i^2)\ nonumber\\ [4pt] I_ {yy}\,\, & amp; =\,\,\ suma_ {i=1} ^N m_i (x_i^2 + z_i^2)\ nonumber\\ [4pt] I_ {zz}\,\, &=\,\,\ suma_ {i=1} ^N m_i (x_i^2 + y_i^2)\ nonumber\\ [4pt] I_ {xy}\,\, &=\,\, I_ {yx}\,\, =\,\, -\ suma_ {i=1} ^N m_i x_i y_i\ quad\ text {(inercia cruzada)}\ nonumber\\ [4pt] I_ {xz}\,\, &=\,\, I_ {zx}\,\, -\ suma_ { i=1} ^N m_i x_i z_i\ nonumber\\ [4pt] I_ {yz}\,\, &=\,\, I_ {zy}\,\,\, =,\, -\ suma_ {i=1} ^N m_i y_i z_i,\ nonumber\ end {align}

el segundo término del momento angular lado derecho colapsa ordenadamente en\(I \partial \vec{\omega} / \partial t\). El tercer término puede elaborarse en la misma línea, pero no ofrece condensación similar:

\ begin {align}\ sum_ {i=1} ^N m_i\ vec {r} _i\ veces ((\ vec {\ omega}\ cdot\ vec {r} _i)\ vec {\ omega} - (\ vec {\ omega}\ cdot\ vec {\ omega})\ vec {r} _i)\,\,\, &=\,\,\ suma_ {i=1} ^N m_i\ vec {r} _i\ veces\ vec {\ omega} (\ vec {\ omega}\ cdot\ vec {r} _i)\\ [4pt] &=\,\,\ begin {Bmatrix}\ suma_ {i=1} ^N m_i (y_i r - z_i q) (x _i p + y_i q + z_i r)\\ [4pt]\ suma_ {i=1} ^N m_i (z_i p - x_i r) (x_i p + y_i q + z_i r)\\ [4pt]\ suma_ {i=1} ^N m_i (x_i q - y_i p) (x_i p + y_i q + _i r)\ end {Bmatrix}\\ [4pt]\ quad\ nonumber\\ [4pt] &=\,\,\ begin {Bmatrix} I_ {yz} (q^2 - r^2) + I_ {xz} pq - I_ {xy} pr\\ [4pt] I_ {xz} (r^2 - p^2 ) + I_ {xy} rq - I_ {yz} pq\\ [4pt] I_ {xy} (p^2 - q^2) + I_ {yz} pr - I_ {xz} qr\ end {Bmatrix} +\ begin {Bmatrix} (I_ {zz} - I_ {yy}) rq\\ [4pt] (I_ {xx} - I_ {zz}) rp\\ [4pt] (I_ {yy} - I_ {xx}) qp\ end {Bmatrix}. \ end {align}

Dejando\(\vec{M} = \{ K, \, M, \, N \} \) ser el momento total que actúa sobre el cuerpo, es decir, el lado izquierdo de la Ecuación\(\PageIndex{1}\), las ecuaciones de momento completo son

\ begin {align} K\, =\, & I_ {xx}\ punto {p} + I_ {xy}\ punto {q} + I_ {xz}\ punto {r}\ +\\ [4pt] & (I_ {zz} - I_ {yy}) rq + I_ {yz} (q^2 - r^2) + I_ {xz} pq - I_ {xy} pr\ +\ nonumber\\ [4pt] &m [Y_g (\ punto {w} + pv - qu) - z_g (\ punto {v} + ru - pw)]\ nonumber\ end {align}

\ begin {align} M\, =\, & I_ {yx}\ punto {p} + I_ {yy}\ punto {q} + I_ {yz}\ punto {r}\ +\\ [4pt] & (I_ {xx} - I_ {zz}) pr + I_ {xz} (r^2 - p^2) + I_ {xy} qr - _ {yz} qp\ +\ nonumber\\ [4pt] &m [z_g (\ punto {u} + qw - rv) - x_g (\ punto {w} + pv - qu)]\ nonumber\ end {align}

\ begin {align} N\, =\, & I_ {zx}\ punto {p} + I_ {zy}\ punto {q} + I_ {zz}\ punto {r}\ +\\ [4pt] & (I_ {yy} - I_ {xx}) pq + I_ {xy} (p^2 - q^2) + I_ {yz} pr - _ {xz} qr\ +\ nonumber\\ [4pt] &m [x_g (\ punto {v} + ru - pw) - Y_g (\ punto {u} + qw - rv)]. \ nonumber\ end {align}