10.5: Ejemplo: Libro de Spinning

Considera un bloque rectangular homogéneo con\(I_{xx} < I_{yy} < I_{zz}\) y todos los momentos de inercia fuera de la diagonal son cero. Las ecuaciones de momento angular linealizadas, sin fuerzas o momentos externos, son

\ begin {align} I_ {xx}\ dfrac {dp} {dt} + (I_ {zz} - I_ {yy}) rq\, &=\, 0\\ [4pt] I_ {yy}\ dfrac {dq} {dt} + (I_ {xx} - I_ {zz}) pr\, &=\, 0\\ [4pt] _ {zz}\ dfrac {dr} {dt} + (I_ {yy} - I_ {xx}) qp\, &=\, 0. \ end {align}

Consideramos a su vez la estabilidad de las rotaciones alrededor de cada uno de los ejes principales, con velocidad angular constante\(\Omega\). El resultado interesante es que las rotaciones alrededor de los\(z\) ejes\(x\) y son estables, mientras que la rotación alrededor del\(y\) eje no lo es. Esto se demuestra fácilmente experimentalmente con un libro o una raqueta de tenis.

10.5.1:\(x\) -eje

En el caso del\(x\) -eje,,\(p = \Omega + \delta p\)\(q = \delta q\), y\(r = \delta r\), donde el\(\delta\) prefijo indica un valor pequeño en comparación con\(\Omega\). La primera ecuación anterior está desacoplada de las demás, e indica que no hay cambio en\(\delta p\), ya que el término pequeño\(\delta q \delta r\) puede ser ignorado. Diferenciar la segunda ecuación para obtener

\[ I_{yy} \dfrac{\partial^2 \delta q}{\partial t^2} + (I_{xx} - I_{zz}) \Omega \dfrac{\partial \delta r}{\partial t} \, = \, 0. \]

Sustitución de este resultado en la tercera ecuación rinde

\[ I_{yy} I_{zz} \dfrac{\partial^2 \delta q}{\partial t^2} + (I_{xx} - I_{zz})(I_{xx} - I_{yy}) \Omega^2 \delta q \, = \, 0. \]

Una expresión similar es\(\delta \ddot{q} + \alpha \delta q = 0\), que tiene la respuesta\(\delta q (t) = \delta q (0) e^{\sqrt{- \alpha} t}\) cuando\(\delta \dot{q}(0) = 0\). Para el giro alrededor del\(x\) eje, ambos coeficientes de la ecuación diferencial son positivos, y por lo tanto\(\alpha > 0\). El exponente imaginario indica que la solución es de la forma\(\delta q(t) = \delta q(0) \cos \sqrt{\alpha} t\), es decir, oscila pero no crece. Dado que la perturbación\(\delta r\) está acoplada, también oscila.

10.5.2:\(y\) -eje

Ahora supongamos\(q = \Omega + \delta q\): diferenciar la primera ecuación y sustituirla en la tercera ecuación para obtener\[ I_{zz} I_{xx} \dfrac{\partial^2 \delta p}{\partial t^2} + (I_{yy} - I_{xx})(I_{yy} - I_{zz}) \Omega^2 \delta p = 0. \]

Aquí el segundo coeficiente tiene signo negativo, y por lo tanto\(\alpha < 0\). El exponente es real ahora, y la solución crece sin ataduras, siguiendo\(\delta p(t) = \delta p(0) e^{-\sqrt{\alpha}t}\).

10.5.3:\(z\) -eje

Finalmente, vamos\(r = \Omega + \delta r\): diferenciar la primera ecuación y sustituirla en la segunda ecuación para obtener\[ I_{yy} I_{xx} \dfrac{\partial^2 \delta p}{\partial t^2} + (I_{xx} - I_{zz})(I_{yy} - I_{zz}) \Omega^2 \delta p = 0.\]

Los coeficientes son positivos, por lo que ocurren oscilaciones delimitadas.