11.2: Fracciones Parciales

Las fracciones parciales se presentan aquí, en el contexto de los sistemas de control, como el vínculo fundamental entre la ubicación de los polos y la estabilidad. Resolver sistemas lineales invariantes en el tiempo mediante el método de Transformación de Laplace generalmente creará una señal que contenga la forma (factorizada)

\[ Y(s) \, = \, \dfrac{K(s + z_1) (s + z_2) \cdots (s + z_m)}{(s + p_1)(s + p_2) \cdots (s + p_n)}. \]

Aunque por el momento estamos discutiendo la señal\(Y(s)\), más adelante veremos que los sistemas dinámicos se describen en el mismo formato: en ese caso llamamos a la respuesta de impulso\(G(s)\) una función de transferencia. Una función de transferencia del sistema es idéntica a su respuesta de impulso, ya que\(L(\delta(t)) = 1\).

\(-z_i\)Las constantes se denominan ceros de la función o señal de transferencia, y\(-p_i\) son los polos. Visto en el plano complejo, es claro que la magnitud de\(Y(s)\) irá a cero en los ceros, y al infinito en los polos.

Las expansiones parciales de fracciones alteran la forma de\(Y(s)\) modo que los pares de transformación simples de primer y segundo orden se pueden usar para encontrar las señales de salida en el dominio del tiempo. Debemos tener\(m<n\) para este procedimiento; si no es así, entonces tenemos que despojarnos de poderes extras\(s\) para resolver el problema, y luego volver a agregarlos al final.

11.2.1: Fracciones Parciales: Polos Únicos

Bajo la condición\(m<n\), es un hecho que\(Y(s)\) equivale a\[ Y(s) \, = \, \dfrac{a_1}{s + p_1} + \dfrac{a_2}{s + p_2} + \cdots \dfrac{a_n}{s + p_n}, \]

en el caso especial de que todos los polos sean únicos y reales. El coeficiente\(a_i\) se denomina el residual asociado con el\(i\) 'ésimo polo, y una vez que se encuentran todos estos es un asunto sencillo volver a la tabla de transformación y buscar las respuestas en el dominio del tiempo.

¿Cómo encontrar\(a_i\)? Se aplica una regla simple: multiplicar los lados de la derecha de las dos ecuaciones anteriores por\( (s + p_i) \), evaluarlos en\(s = -p_i ,\) y resolver para\(a_i ,\) la única izquierda.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Partial Fractions with Unique Real Poles

\[ G(s) \, = \, \dfrac{s(s+6)}{(s+4)(s-1)} e^{-2s}. \nonumber \]

Ya que tenemos un retraso puro y\(m = n\), inicialmente podemos trabajar con\(G(s) / se^{-2s}\). Tenemos

\[ \dfrac{s+6}{(s+4)(s-1)} \, = \, \dfrac{a_1}{s+4} + \dfrac{a_2}{s-1}, \nonumber \]

dando

\[\begin{align*} a_1 \, &= \, \left[ \frac{(s+6)(s+4)}{(s+4)(s-1)} \right]_{s = -4} \\[4pt] &= \, - \dfrac{2}{5} \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} a_2 \, &= \, \left[ \frac{(s+6)(s-1)}{(s+4)(s-1)} \right]_{s=1} \\[4pt] &= \,\, \dfrac{7}{5} \end{align*}\]

Así

\ begin {alinear*} L^ {-1} (G (s) /se^ {-2s})\, &=\, -\ dfrac {2} {5} {5} e^ {-4t} +\ dfrac {7} {5} e^t\ largofila derecha\\ [4pt] g (t)\, &=\,\ delta (t-2) +\ dfrac {8} {5} e^ {-4 (t-2)} +\ dfrac {7} {5} e^ {t-2}. \ end {alinear*}

La respuesta de impulso es necesaria para dar cuenta del cambio de paso en\(t=2\). Tenga en cuenta que en este ejemplo, pudimos aplicar el operador derivado\(s\) después de expandir las fracciones parciales. Para los casos en que se deba tomar una segunda derivada, es decir, se debe tener\(m \geq n+1,\) especial cuidado a la hora de contabilizar la discontinuidad de la pendiente de señal en\(t=0\). El método más tradicional, ejemplificado por Ogata, puede resultar más fácil de trabajar.

El caso de raíces reales repetidas puede manejarse elegantemente, pero esta condición rara vez ocurre en aplicaciones.

11.2.2: Fracciones Parciales: Polos Complejo-Conjugado

Un par de polos complejo-conjugado debe mantenerse unido, con el siguiente procedimiento: emplear la forma

\[ Y(s) \, = \, \dfrac{b_1 s + b_2}{(s+p_1)(s+p_2)} + \dfrac{a_3}{s+p_3} + \cdots, \]

donde\(p_1 = p_2^*\) (conjugado complejo). Como antes, multiplicar por\( (s+p_1)(s+p_2), \) y luego evaluar en\(s = -p_1.\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Partial Fractions with Complex Poles

\[ G(s) \, = \, \dfrac{s+1}{s (s+j)(s-j)} \, = \, \dfrac{b_1 s + b_2}{(s+j)(s-j)} + \dfrac{a_3}{s}: \nonumber \]

\ begin {alinear*}\ izquierda [\ dfrac {s+1} {s}\ derecha] _ {s=-j}\,\, & =\,\,\ izquierda [b_1 s + b_2\ derecha] _ {s=-j}\ largofila derecha\\ [4pt] [5pt] 1 + j\,\, &=\,\, -b_1 j + b_2\ largofila derecha\\ [4pt] b_1\,\, &=\,\, -1\\ [4pt] b_2\,\, &=\,\, 1;\ text {también}\\ [4pt]\ izquierda [\ dfrac {s+1} {(s+j) (s-j) }\ derecha] _ {s=0}\,\, &=\,\, a_3\, = 1. \ end {alinear*}

Trabajando las transformaciones inversas a partir de la tabla de pares, simplemente tenemos (señalando que\(\eta = 0\)):

\[ g(t) \, = \, - \cos t + \sin t + 1(t). \]