11.3: Estabilidad

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Franz S. Hover & Michael S. Triantafyllou
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Estabilidad en Sistemas Lineales

En los sistemas lineales, la estabilidad exponencial se produce cuando todos los exponentes reales de\(e\) son estrictamente negativos. Las señales decaen dentro de una envolvente exponencial. Si un exponente es\(0\), la respuesta nunca decae ni crece en amplitud; esto se denomina estabilidad marginal. Si al menos un exponente real es positivo, entonces un elemento de la respuesta crece sin ataduras, y el sistema es inestable.

\(\Leftrightarrow\)Postes de Estabilidad en LHP

En el contexto de las expansiones parciales de fracciones, la relación entre la estabilidad y la ubicación de los polos es especialmente clara. La función de paso de unidad\(1(t)\) tiene un polo en cero; el exponencial\(e^{-at}\) tiene un polo en\(-a\), y así sucesivamente. Todos los demás pares exhiben la misma propiedad: Un sistema es estable si y solo si todos los polos ocurren en la mitad izquierda del plano complejo. Las partes marginalmente estables se correlacionan con una parte real cero, y las partes inestables con una parte real positiva.

Estabilidad General

Existen dos definiciones de estabilidad general, las cuales se aplican a los sistemas con entrada\(u(t)\) y salida\(y(t)\).

Exponencial. Si\(u(t) = 0\) y\(y(0) = y_o\), entonces\(|y(t)| < \alpha e^{-\gamma t},\) para algunos finitos\(\alpha\) y\(\gamma > 0\). La salida asintóticamente se aproxima a cero, dentro de una envolvente exponencial en decadencia.
Entrada-Rebotada-Salida-Rebotada (BIBO). Si\(y(0) = 0,\) y\(|u(t) < \gamma, \, \gamma > 0\) y finito, entonces\(|y(t)| < \alpha, \, \alpha > 0\) y finito.

En los sistemas lineales invariantes en el tiempo, las dos definiciones son idénticas. La estabilidad exponencial es fácil de verificar para sistemas lineales, pero para sistemas no lineales, la estabilidad BIBO suele ser más fácil de lograr.