5.10: Reflexión TM en medios no magnéticos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
La figura5.10.1 muestra una onda plana uniforme TM incidente en el límite plano entre dos regiones de material semi-infinitas.

En este caso, el coeficiente de reflexión viene dado por:
ΓTM=−η1cosψi+η2cosψt+η1cosψi+η2cosψt
dondeψi yψt son los ángulos de incidencia y transmisión (refracción), respectivamente;η1 yη2 son las impedancias de onda en las Regiones 1 y 2, respectivamente. Muchos materiales de interés práctico son no magnéticos; es decir, tienen permeabilidad que no es significativamente diferente de la permeabilidad del espacio libre. En esta sección, consideramos el comportamiento del coeficiente de reflexión para esta clase de materiales.
Para comenzar, recuerda la forma general de la ley de Snell:
sinψt=β1β2sinψi
En medios no magnéticos, las permeabilidadesμ1 yμ2 se asumen iguales aμ0. Así:
β1β2=ω√μ1ϵ1ω√μ2ϵ2=√ϵ1ϵ2
Dado que la permitividad seϵ puede expresar comoϵ0 veces la permitividad relativaϵr, podemos reducir aún más a:
β1β2=√ϵr1ϵr2
Ahora la Ecuación\ ref {M0172_ESLNm} se reduce a:
sinψt=√ϵr1ϵr2sinψi
A continuación, tenga en cuenta que para cualquier valorψ, se puede escribir coseno en términos de seno de la siguiente manera:
cosψ=√1−sin2ψ
Por lo tanto,
cosψt=√1−ϵr1ϵr2sin2ψi
También observamos que en medios no magnéticos
η1=√μ1ϵ1=√μ0ϵr1ϵ0=η0√ϵr1η2=√μ2ϵ2=√μ0ϵr2ϵ0=η0√ϵr2
dondeη0 está la impedancia de onda en el espacio libre. Haciendo sustituciones en la Ecuación\ ref {M0172_EGTM}, obtenemos:
ΓTM=−(η0/√ϵr1)cosψi+(η0/√ϵr2)cosψt+(η0/√ϵr1)cosψi+(η0/√ϵr2)cosψt
Multiplicando numerador y denominador por√ϵr2/η0, obtenemos:
ΓTM=−√ϵr2/ϵr1cosψi+cosψt+√ϵr2/ϵr1cosψi+cosψt
Sustituyendo la ecuación\ ref {m0172_Ecpt}, obtenemos:
ΓTM=−√ϵr2/ϵr1cosψi+√1−(ϵr1/ϵr2)sin2ψi+√ϵr2/ϵr1cosψi+√1−(ϵr1/ϵr2)sin2ψi
Esta expresión tiene la ventaja de que ahora es enteramente en términos deψi, sin necesidad de calcular primeroψt.
Finalmente, multiplicando numerador y denominador por√ϵr2/ϵr1, obtenemos:
ΓTM=−(ϵr2/ϵr1)cosψi+√ϵr2/ϵr1−sin2ψi+(ϵr2/ϵr1)cosψi+√ϵr2/ϵr1−sin2ψi
Usando la Ecuación\ ref {M0172_EGTMI}, podemos ver fácilmente cómo diferentes combinaciones de material afectan el coeficiente de reflexión. Primero, observamos que cuandoϵr1=ϵr2 (es decir, mismos medios a ambos lados de la frontera),ΓTM=0 como se esperaba. Cuandoϵr1>ϵr2 (por ejemplo, onda viajando en vidrio hacia el aire), vemos que es posible que sea negativo, lo que hace que seaΓTM de valor complejo.ϵr2/ϵr1−sin2ψi Esto da como resultado una reflexión interna total, y se aborda en otra sección. Cuandoϵr1<ϵr2 (por ejemplo, la ola que viaja en el aire hacia el vidrio), vemos que siempreϵr2/ϵr1−sin2ψi es positivo, por lo que siempreΓTM es de valor real.
Sigamos con laϵr1<ϵr2 condición. La figura5.10.2 muestraΓTM graficamente para diversas combinaciones de medios en todos los ángulos de incidencia posibles de 0 (incidencia normal) aπ/2 (incidencia de pastoreo).

Observamos:
En medios no magnéticos conϵr1<ϵr2,ΓTM es de valor real y se incrementa de un valor negativo para la incidencia normal a+1 medida que seψi aproxima a la incidencia de pastoreo.
Tenga en cuenta que en cualquier ángulo particular de incidencia,ΓTM las tendencias hacia−1 asϵr2/ϵr1→∞. En este sentido, el comportamiento del componente TM es similar al del componente TE. En otras palabras: Asϵr2/ϵr1→∞, el resultado tanto para los componentes TE como TM son cada vez más similares al resultado que obtendríamos para un conductor perfecto en la Región 2.
También tenga en cuenta que cuandoϵr1<ϵr2,ΓTM los cambios firman de negativo a positivo a medida que aumenta el ángulo de incidencia de 0 aπ/2. Este comportamiento es bastante diferente al del componente TE, que siempre es negativo paraϵr1<ϵr2. El ángulo de incidencia en el queΓTM=0 se conoce como ángulo de Brewster, al que asignamos el símboloψiB. Así:
ψiB≜
En la discusión que sigue, aquí está el punto clave a tener en cuenta:
El ángulo de Brewster\psi^i_B es el ángulo de incidencia en el que\Gamma_{TM}=0.
El ángulo de Brewster también se conoce como el ángulo de polarización. La motivación para el término “ángulo polarizador” se demuestra en la Figura\PageIndex{3}.

En esta figura, una onda de avión es incidente con\psi^i=\psi^i_B. La onda puede contener componentes TE y TM en cualquier combinación. Aplicando el principio de superposición, podemos considerar estos componentes por separado. El componente TE de la onda incidente se dispersará como ondas reflejadas y transmitidas que también son TE. Sin embargo\psi^i=\psi^i_B,\Gamma_{TM}=0 cuando, entonces el componente TM de la onda transmitida será TM, pero el componente TM de la onda reflejada será cero. Así, la onda reflejada total (TE+ TM) será puramente TE, independientemente del componente TM de la onda incidente. Este principio puede explotarse para suprimir el componente TM de una onda que tiene componentes TE y TM. Este método se puede utilizar para aislar los componentes TE y TM de una onda.
Derivación de una fórmula para el ángulo de Brewster
El ángulo de Brewster para cualquier combinación particular de medios no magnéticos se puede determinar de la siguiente manera. \Gamma_{TM}=0cuando el numerador de la Ecuación\ ref {M0172_EGTMI} es igual a cero, entonces:
-R\cos\psi^i_B+\sqrt{R-\sin^2\psi^i_B} = 0 \nonumber
donde hemos hecho la sustituciónR\triangleq\epsilon_{r2}/\epsilon_{r1} para mejorar la claridad. Al mover el segundo término al lado derecho de la ecuación y cuadrar ambos lados, obtenemos:
R^2\cos^2\psi^i_B = R-\sin^2\psi^i_B \nonumber
Ahora empleando una identidad trigonométrica en el lado izquierdo de la ecuación, obtenemos:
\begin{aligned} R^2\left(1-\sin^2\psi^i_B\right) &= R-\sin^2\psi^i_B \\ R^2 -R^2 \sin^2\psi^i_B &= R-\sin^2\psi^i_B \\ \left(1-R^2\right)\sin^2\psi^i_B &= R - R^2 \end{aligned} \nonumber
y finalmente
\sin\psi^i_B = \sqrt{ \frac{ R - R^2 }{ 1-R^2 } } \label{m0172_eBA1}
A pesar de que esta ecuación consigue hacer el trabajo, es posible simplificar aún más. Tenga en cuenta que la Ecuación\ ref {M0172_EbA1} puede interpretarse como una descripción del triángulo rectángulo que se muestra en la Figura\PageIndex{4}.

En la figura, hemos identificado la longitudh del lado vertical y la longitudd de la hipotenusa como:
\begin{aligned} h &\triangleq \sqrt{R-R^2} \\ d &\triangleq \sqrt{1-R^2}\end{aligned} \nonumber
Por lo tanto,b la longitud del lado horizontal es
b = \sqrt{d^2-h^2} = \sqrt{1-R} \nonumber
Posteriormente, observamos
\tan\psi^i_B = \frac{h}{b} = \frac{\sqrt{R-R^2}}{\sqrt{1-R}} = \sqrt{R} \nonumber
Así, hemos encontrado
\boxed{ \tan\psi^i_B = \sqrt{\frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}}} } \label{m0172_eBA}
Una onda plana incide desde el aire en el límite plano con una región de vidrio. El vidrio exhibe una permitividad relativa de 2.1. La onda incidente contiene componentes TE y TM. ¿En qué ángulo de incidencia\psi^i la onda reflejada será puramente TE?
Solución
Usando la ecuación\ ref {M0172_EBA}:
\tan\psi^i_B = \sqrt{\frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}}} = \sqrt{\frac{2.1}{1}} \cong 1.449 \nonumber
Por lo tanto, el ángulo de Brewster es\psi^i_B\cong 55.4^{\circ}. Este es el ángulo\psi^i en el que\Gamma_{TM}=0. Por lo tanto, cuando\psi^i=\psi^i_B, la onda reflejada no contiene ningún componente TM y por lo tanto debe ser puramente TE.