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9.6: Radiación de campo lejano de un filamento recto delgado de corriente

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    Una distribución simple de la corriente radiante que se encuentra en la práctica común es el filamento delgado de corriente recta, que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

    m0199_fCF.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Distribución recta delgada de la corriente radiante. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

    La característica definitoria de esta distribución es que el filamento actual está alineado a lo largo de una línea recta, y que la dimensión máxima de la sección transversal del filamento es mucho menor que una longitud de onda. Esta última característica es lo que queremos decir con “delgado”, es decir, el filamento es “eléctricamente delgado”. Las distribuciones físicas de corriente que cumplen con esta descripción incluyen el dipolo eléctrico corto (Sección 9.5) y el dipolo de media onda (Sección 9.7) entre otros. Una introducción más suave a esta distribución es a través de la Sección 9.5 (“Radiación de un dipolo eléctrico corto”), por lo que los estudiantes pueden querer revisar esa sección primero. En esta sección se presenta el caso más general.

    Deje que la magnitud y la fase de la corriente a lo largo del filamento estén dadas por la cantidad de\(\widetilde{I}(z)\) fasores (unidades base SI de A). En principio, la única restricción sobre lo\(\widetilde{I}(z)\) que se aplica en general es que debe ser cero en los extremos de la distribución; es decir,\(\widetilde{I}(z) = 0\) para\(\left|z\right|\ge L/2\). Los detalles más allá de esta restricción dependen de\(L\) y quizás de otros factores. Sin embargo, las características de la radiación de los miembros de esta clase de distribuciones de corriente tienen mucho en común, independientemente de ellas\(L\). Estos se hacen especialmente evidentes si limitamos nuestro alcance a puntos de campo alejados de lo actual, como haremos aquí.

    Hay dos enfoques que podríamos considerar para encontrar el campo eléctrico irradiado por esta distribución. El primer enfoque es calcular el potencial del vector magnético\(\widetilde{\bf A}\) por integración sobre la distribución de corriente (Sección 9.3)\(\widetilde{\bf H}=(1/\mu)\nabla\times\widetilde{\bf A}\), calcular y finalmente calcular\(\widetilde{\bf E}\) a\(\widetilde{\bf H}\) partir de la forma diferencial de la ley de Ampere. En esta sección, emplearemos un enfoque más sencillo, mostrado en la Figura\(\PageIndex{2}\).

    m0199_fCFHD.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Distribución de corriente aproximada como un conjunto de dipolos hertzianos. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

    Imagínese el filamento como una colección de muchos segmentos más cortos de corriente que irradian independientemente. El campo total es entonces la suma de estos segmentos cortos. Debido a que estos segmentos son muy cortos en relación con la longitud del filamento además de ser cortos en relación con una longitud de onda, podemos aproximar la corriente sobre cada segmento como constante. En otras palabras, podemos interpretar cada segmento como siendo, a una buena aproximación, un dipolo hertziano.

    La ventaja de este enfoque es que ya tenemos una solución para cada segmento. En la Sección 9.4, se muestra que un dipolo hertziano\(\hat{\bf z}\) -dirigido en el origen irradia el campo eléctrico

    \[\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx \hat{\bf \theta} j\eta \frac{\widetilde{I}\left(\beta \Delta l\right)}{4\pi}~\left(\sin\theta\right) \frac{e^{-j\beta r}}{r} \nonumber \]

    donde\(\widetilde{I}\) y\(\Delta l\) puede interpretarse como la corriente y longitud del filamento, respectivamente. En esta expresión,\(\eta\) se encuentra la impedancia de onda del medio en el que irradia el filamento (por ejemplo,\(\approx 377~\Omega\) para el espacio libre), y hemos presumido medios sin pérdidas tales que la constante de atenuación\(\alpha\approx 0\) y la constante de propagación de fase\(\beta=2\pi/\lambda\). Esta expresión también asume puntos de campo alejados del filamento; específicamente, distancias\(r\) que son mucho mayores que\(\lambda\). Reproponiendo esta expresión para el presente problema, observamos que el segmento en el origen irradia el campo eléctrico:

    \[\widetilde{\bf E}({\bf r};z'=0) \approx \hat{\bf \theta} j\eta \frac{\widetilde{I}(0)\left(\beta \Delta l\right)}{4\pi}~\left(\sin\theta\right) \frac{e^{-j\beta r}}{r} \nonumber \]

    donde la notación\(z'=0\) indica que el dipolo hertziano se encuentra en el origen. Dejando que la longitud\(\Delta l\) de este segmento se encoja a la longitud diferencial\(dz'\), podemos describir la contribución de este segmento al campo irradiado por la ESD de la siguiente manera:

    \[d\widetilde{\bf E}({\bf r};z'=0) \approx \hat{\bf \theta} j\eta \frac{\widetilde{I}(0)\left(\beta dz'\right)}{4\pi}~\left(\sin\theta\right) \frac{e^{-j\beta r}}{r} \nonumber \]

    Usando este enfoque, el campo eléctrico irradiado por cualquier segmento puede escribirse:

    \[d\widetilde{\bf E}({\bf r};z') \approx \hat{\bf \theta}' j\eta\beta \frac{\widetilde{I}(z')}{4\pi}\left(\sin\theta'\right) \frac{e^{-j\beta \left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|}}{\left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|}~dz' \nonumber \]

    Tenga en cuenta que\(\theta\) se sustituye por\(\theta'\) ya que el rayo\({\bf r}-\hat{\bf z}z'\) forma un ángulo diferente (i.e.,\(\theta'\)) con respecto a\(\hat{\bf z}\). Posteriormente,\(\hat{\bf \theta}\) se sustituye por\(\hat{\bf \theta}'\), que varía de manera similar con\(z'\). El campo eléctrico irradiado por el filamento se obtiene por integración sobre estas contribuciones, rindiendo:

    \[\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx \int_{-L/2}^{+L/2} d\widetilde{\bf E}(\hat{\bf r};z') \nonumber \]

    Ampliando esta expresión:

    \[\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx j \frac{\eta\beta}{4\pi} \int_{-L/2}^{+L/2} \hat{\bf \theta}' \widetilde{I}(z')~\left(\sin\theta'\right) \frac{e^{-j\beta \left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|}}{\left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|} dz' \nonumber \]

    Dados algunos de los supuestos que ya hemos hecho, esta expresión puede simplificarse aún más. Por ejemplo, tenga en cuenta que\(\theta'\approx\theta\) desde\(L\ll r\). Por la misma razón,\(\hat{\bf \theta}'\approx\hat{\bf \theta}\). Dado que estas variables son aproximadamente constantes a lo largo de la longitud del filamento, podemos moverlas fuera de la integral, dando:

    \[\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx \hat{\bf \theta} j \frac{\eta\beta}{4\pi}~\left(\sin\theta\right) \int_{-L/2}^{+L/2} \widetilde{I}(z') \frac{e^{-j\beta \left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|}}{\left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|} dz' \label{m0199_eE1} \]

    También es posible simplificar la expresión\(\left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|\). Considera Figura\(\PageIndex{3}\).

    m0199_fParallelRays.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Aproximación de rayos paralelos. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

    Dado que ya asumimos que\(r\gg L\) (es decir, la distancia a los puntos de campo es mucho mayor que la longitud del filamento), el vector\({\bf r}\) es aproximadamente paralelo al vector\({\bf r}-\hat{\bf z}z'\). Posteriormente, debe ser cierto que

    \ begin {align}\ izquierda| {\ bf r} -\ hat {\ bf z} z'\ derecha| &\ approx r-\ hat {\ bf r}\ cdot\ hat {\ bf z} z'\ label {M0199_epra}\\ &\ approx r-z' cos {\ theta}\ end {align}

    Tenga en cuenta que la magnitud de\(r-\hat{\bf r}\cdot\hat{\bf z}z'\) debe ser aproximadamente igual a\(r\), ya que\(r\gg L\). Entonces, en la medida en que\(\left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|\) determine la magnitud de\(\widetilde{\bf E}({\bf r})\), podemos usar la aproximación:

    \[\left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right| \approx r ~~~\mbox{(magnitude)} \nonumber \]

    En la medida en que\(\left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|\) determine la fase, tenemos que ser más cuidadosos. La parte del integrando de la Ecuación\ ref {M0199_EE1} que exhibe fase variable es\(e^{-j\beta \left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|}\). Usando la ecuación\ ref {M0199_epra}, encontramos

    \[e^{-j\beta\left|{\bf r}-\hat{\bf z}z'\right|} \approx e^{-j\beta r} e^{+j\beta z'\cos{\theta}} \nonumber \]

    Estas simplificaciones se conocen colectivamente como una aproximación de campo lejano, ya que son válidas únicamente para distancias “lejanas” de la fuente.

    Aplicando estas simplificaciones para magnitud y fase a la Ecuación\ ref {M0199_EE1}, obtenemos:

    \ begin {align}\ Widetilde {\ bf E} ({\ bf r}) &\ approx\ hat {\ bf\ theta} j\ frac {\ eta\ beta} {4\ pi}\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r} ~\ izquierda (\ sin\ theta\ derecha)\ nonumber\ & ~~~\ cdot\ int_ -L/2} ^ {+L/2}\ tilde ancho {I} (z') e^ {+j\ beta z'\ cos {\ theta}} dz'\ end {align}

    Por último, es común eliminar el factor de\(\beta\) en la magnitud utilizando la relación\(\beta=2\pi/\lambda\), cediendo:

    \ begin {align}\ Widetilde {\ bf E} ({\ bf r}) &\ approx\ hat {\ bf\ theta} j\ frac {\ eta} {2}\ frac {e^ {-j\ beta r}} {r} ~\ izquierda (\ sin\ theta\ derecha)\ nonumber\\ & ~~~\ cdot\ izquierda [\ frac {1} {\ lambda}\ int_ {-L/2} ^ {+L/2}\ Widetilde {I} (z') e^ {+j\ beta z'\ cos {\ theta}} dz'\ derecha]\ etiqueta {M0199_eesde}\ end {align}

    El campo eléctrico irradiado por un filamento de corriente delgado, recto y\(\hat{\bf z}\) dirigido de longitud\(L\) ubicado en el origen y alineado a lo largo del\(z\) eje viene dado por la Ecuación\ ref {M0199_EESDE}. Esta expresión es válida para\(r\gg L\) y\(r\gg\lambda\).

    En puntos de campo que satisfacen las condiciones\(r\gg L\) y\(r\gg\lambda\), la onda parece ser localmente plana. Por lo tanto, estamos justificados usando la relación de onda plana\(\widetilde{\bf H} = (1/\eta) \hat{\bf r} \times \widetilde{\bf E}\) para calcular\(\widetilde{\bf H}\).

    Como comprobación, se puede verificar fácilmente que la Ecuación\ ref {M0199_EESDE} produce el resultado esperado para el dipolo eléctricamente corto (Sección 9.5).


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