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# 15.2: Espacios vectoriales

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

## Introducción

Definición: Espacio vectorial

Un espacio vectorial$$S$$ es una colección de “vectores” de tal manera que (1) si$$f_{1} \in S \Rightarrow \alpha f_{1} \in S$$ para todos los escalares$$\alpha$$ (donde$$alpha \in \mathbb{R}$$$$\alpha \in \mathbb{C}$$, o algún otro campo) y (2) si$$f_{1} \in S$$,$$f_2 \in S$$, entonces$$(f_1+f_2) \in S$$

Para definir un espacio vectorial, necesitamos

• Un conjunto de cosas llamadas “vectores” ($$X$$)
• Un conjunto de cosas llamadas “escalares” que forman un campo ($$A$$)
• Una operación de adición vectorial ()
• Una operación de multiplicación escalar ($$*$$)

Las operaciones necesitan tener todas las propiedades que se dan a continuación. El cierre suele ser lo más importante para mostrar.

## Espacios vectoriales

Si los escalares$$\alpha$$ son reales,$$S$$ se llama espacio vectorial real.

Si los escalares$$\alpha$$ son complejos,$$S$$ se llama un espacio vectorial complejo.

Si los “vectores” en$$S$$ son funciones de una variable continua, a veces llamamos$$S$$ un espacio de función lineal

Definimos un conjunto$$V$$ para ser un espacio vectorial si

1. $$x+y=y+x$$para cada uno$$x$$ y$$y$$ en$$V$$
2. $$x+(y+z)=(x+y)+z$$para cada uno$$x$$,$$y$$, y$$z$$ en$$V$$
3. Hay un “vector cero” único tal que$$x+0=x$$ para cada uno$$x$$ en$$V$$ (0 es la identidad aditiva de campo)
4. Para cada uno$$x$$$$V$$ hay un vector único$$−x$$ tal que$$x+−x=0$$
5. $$1x=x$$(1 es la identidad multiplicativa de campo)
6. $$(c_1c_2)x=c_1(c_2x)$$para cada uno$$x$$ en$$V$$$$c_1$$ y$$c_2$$ en$$\mathbb{C}$$
7. $$c(x+y)=cx+cy$$para cada uno$$x$$ y$$y$$ en$$V$$ y$$c$$ en$$\mathbb{C}$$
8. $$(c_1+c_2)x=c_1x+c_2x$$para cada uno$$x$$ en$$V$$$$c_1$$ y$$c_2$$ en$$\mathbb{C}$$

### Ejemplos

• $$\mathbb{R}^n$$= espacio vectorial real
• $$\mathbb{C}^n$$= espacio vectorial complejo
• $$L^{1}(\mathbb{R})=\left\{f(t), f(t) | \int_{-\infty}^{\infty}\left| f(t) \right| \mid d t<\infty\right\}$$es un espacio vectorial
• $$L^{\infty}(\mathbb{R})=\{f(t), f(t) \mid f(t) \text { is bounded }\}$$es un espacio vectorial
• $$L^{2}(\mathbb{R})=\left\{f(t), f(t) | \int_{-\infty}^{\infty}(|f(t)|)^{2} d t<\infty\right\}$$= señales de energía finita es un espacio vectorial
• $$L^{2}([0, T])$$= funciones de energía finita en el intervalo$$[0,T]$$
• $$\ell^{1}(\mathbb{Z})$$,$$\ell^{2}(\mathbb{Z})$$,$$\ell^{\infty}(\mathbb{Z})$$ son espacios vectoriales
• La colección de funciones por partes constante entre los enteros es un espacio vectorial
• \ (\ mathbb {R} _ {+} ^ {2} =\ left\ {\ left (\ begin {array} {l}
x_ {0}\\
x_ {1}
\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {l}
x_ {0}\
x_ {1}
\ end {array}\ derecha)\ mid\ left (x_ {0} >0\ derecha)\ cuña\ izquierda (x_ {1} >0\ derecha)\ derecha\ }\) no es un espacio vectorial. \ (\ left (\ begin {array} {l}
1\\
1
\ end {array}\ derecha)\ in\ mathbb {R} _ {+} ^ {2}\), pero\ (\ alpha\ left (\ begin {array} {l}

1\
\ end {array}\ right)\ notin\ mathbb {R} _ _ {+} ^ {2}\),$$\alpha < 0$$
• $$D=\left\{z \in \mathbb{C},|z| \leq 1\right\}$$no es un espacio vectorial. $$\left(z_{1}=1\right) \in D$$,$$(z_2=j) \in D$$, pero$$\left(z_{1}+z_{2}\right) \notin D$$,$$\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{2}>1$$

Nota

Los espacios vectoriales pueden ser colecciones de funciones, colecciones de secuencias, así como colecciones de vectores tradicionales (es decir, listas finitas de números)

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