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# 1.5: Representando números complejos en el espacio vectorial

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Hasta el momento hemos codificado el número complejo$$z=x+jy$$ con el par cartesiano$$(x,y)$$ y con el par polar$$(r∠θ)$$. Ahora mostramos cómo se$$z$$ puede codificar el número complejo con un vector bidimensional$$z$$ y mostramos cómo se puede usar este nuevo código para obtener información sobre los números complejos.

## Codificación de un número complejo como vector

Codificamos el número complejo$$z=x+jy$$ con el vector bidimensional$$z=[xy]$$:

$x + jy = z ⇔ z = [xy] \nonumber$

Se grafica este vector como en la Figura. Decimos que el vector z pertenece a un “espacio vectorial”. Esto significa que los vectores pueden agregarse y escalarse de acuerdo con las reglas

$z_1+z_2=[x_1+x_2y_1+y_2] \nonumber$

$az=\begin{bmatrix}ax\\ay\end{bmatrix} \nonumber$

$z+(−z)=0 \nonumber$

$lz=z \nonumber$

El vector 0 es$$0=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$$

Demostrar que la adición de vectores y la multiplicación escalar satisfacen estas propiedades de conmutación, asociación y distribución:

$z_1+z_2 = z_2+z_1 \nonumber$

$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) \nonumber$

$a(bz)=(ab)z \nonumber$

$a(z_1+z_2)=az_1+az_2 \nonumber$

## Producto interno y norma

El producto interno entre dos vectores z1 y z2 se define como el número real

$(z_1,z_2)=x_1x_2+y_1y_2 \nonumber$

A veces escribimos este producto interno como el producto vectorial (más sobre esto en Álgebra Lineal)

$(z_1,z_2) = z^T_1z_2 \nonumber$

$=\begin{bmatrix}x_1 & y_1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\Bigl(x_1x_2+y_1y_2\Bigr) \nonumber$

##### Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar$$(z_1,z_2)=(z_2,z_1)$$.

Cuando$$z_1=z_2=z$$, entonces el producto interno entre$$z$$ y sí mismo es la norma al cuadrado de$$z$$:

$||z||^2=(z,z)=x^2+y^2 \nonumber$

Estas propiedades de los vectores parecen abstractas. Sin embargo, como ahora mostramos, pueden ser utilizados para desarrollar un cálculo vectorial para hacer aritmética compleja.

## Un cálculo vectorial para aritmética compleja

La suma de dos números complejos$$z_1$$ y$$z_2$$ corresponde a la suma de los vectores$$z_1$$ y$$z_2$$:

$z_1+z_2⇔z_1+z_2=\begin{bmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{bmatrix} \nonumber$

La multiplicación escalar del número complejo$$z_2$$ por el número real$$x_1$$ corresponde a la multiplicación escalar del vector$$z_2$$ por$$x_1$$

$x_1z_2⇔x_1\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1x_2\\x_1y_2\end{bmatrix} \nonumber$

De igual manera, la multiplicación del número complejo$$z_2$$ por el número real$$y_1$$ es

$y_1z_2⇔y_1\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1x_2\\y_1y_2\end{bmatrix} \nonumber$

Por lo tanto,$$z_1z_2 = (x_1+jy_1)z_2$$ el producto complejo se representa como

$z_1z_2↔\begin{bmatrix}x_1x_2−y_1y_2\\x_1y_2+y_1x_2\end{bmatrix} \nonumber$

Esta representación puede escribirse como el producto interno

$z_1z_2=z_2z_1↔\begin{bmatrix}(v,z_1)\$$w,z_1)\end{bmatrix} \nonumber$ donde v y w son los vectores\(v=\begin{bmatrix}x_2\\−y_2\end{bmatrix}$$ y$$w=\begin{bmatrix}y_2\\x_2\end{bmatrix}$$. Al definir la matriz

$\begin{bmatrix}x_2 & −y_2\\y_2 & x_2\end{bmatrix} \nonumber$

podemos representar el producto complejo$$z_1z_2$$ como un multiplicar matriz-vector (más sobre esto en Álgebra Lineal):

$z_1z_2= z_2z_1 ↔\begin{bmatrix}x_2 & −y_2\\y_2 & x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} \nonumber$

Con esta representación, podemos representar la rotación como

$ze^{jθ}= e^{jθ}z ↔\begin{bmatrix}\cosθ & −\sinθ\\\sinθ & \cosθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} \nonumber$

Llamamos a la matriz$$\begin{bmatrix}\cosθ & −\sinθ\\\sinθ & \cosθ\end{bmatrix}$$ una “matriz de rotación”.

##### Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Llame a$$\mathrm R (θ)$$ la matriz de rotación:

$\mathrm R (θ)=\begin{bmatrix}\cosθ & −\sinθ\\\sinθ & \cosθ\end{bmatrix} \nonumber$

Demostrar que$$\mathrm R (−θ)$$ gira por$$(−θ)$$. ¿Qué puedes decir sobre$$\mathrm R (−θ)w$$ cuándo$$w=\mathrm R (θ)z$$?

##### Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Representar el complejo conjugado de$$z$$ as

$z^∗↔\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \nonumber$

y encontrar los elementos$$a,b,c,$$ y$$d$$ de la matriz.

## Producto interno y representación polar

De la norma de un vector, derivamos una fórmula para la magnitud de z en la representación polar$$z=re^{jθ}$$

$r=(x^2+y^2)^{1/2} = ||z|| = (z,z)^{1/2} \nonumber$

Si definimos los vectores de coordenadas$$e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$$ y$$e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$$, entonces podemos representar el vector$$z$$ como

$z=(z,e_1)e_1 + (z,e_2)e_2 \nonumber$

Ver Figura. De la figura queda claro que el coseno y el seno del ángulo$$θ$$ son

$\cosθ=\frac {(z,e1)} {||z||};\; \sinθ = \frac {(z,e_2)} {||z||} \nonumber$

Esto nos da otra representación para cualquier vector z:

$z=||z||\cosθe_1+||z||\sinθe_2 \nonumber$

El producto interno entre dos vectores$$z_1$$ y$$z_2$$ es ahora

$(z_1,z_2)=[(z_1,e_1)e^T_1(z_1,e_2)e^T_2]\begin{bmatrix}(z_2,e_1)e_1\$$z_2,e_2)e_2\end{bmatrix} \nonumber$ $=(z_1,e_1)(z_2,e_1)+(z_1,e_2)(z_2,e_2) \nonumber$ $=||z_1||cosθ_1||z_2||cosθ_2+||z_1||sinθ_1||z2||sinθ_2 \nonumber$ De ello se deduce que\(\cos(θ_2−θ_1)=\cosθ_2 \cos θ_1+\sinθ_1\sinθ_2$$ podrá escribirse como

$\cos(θ_2−θ_1)=\frac {(z_1,z_2)} {||z_1||\,||z_2||} \nonumber$

Esta fórmula muestra que el coseno del ángulo entre dos vectores$$z_1$$ y$$z_2$$, que es, por supuesto, el coseno del ángulo de$$z_2z^∗_1$$, es la relación del producto interno a las normas.

##### Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Demostrar las desigualdades de Schwarz y triángulo e interpretarlas:

$(\mathrm {Schwarz})\; (z_1,z_2)^2≤||z_1||^2||z_2||^2 \nonumber$
$(\mathrm {Triangle})\; I\,||z_1−z_2||≤||z_1−z_3||+||z_2−z_3|| \nonumber$

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