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1.5: Representando números complejos en el espacio vectorial

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Hasta el momento hemos codificado el número complejo\(z=x+jy\) con el par cartesiano\((x,y)\) y con el par polar\((r∠θ)\). Ahora mostramos cómo se\(z\) puede codificar el número complejo con un vector bidimensional\(z\) y mostramos cómo se puede usar este nuevo código para obtener información sobre los números complejos.

    Codificación de un número complejo como vector

    Codificamos el número complejo\(z=x+jy\) con el vector bidimensional\(z=[xy]\):

    \[x + jy = z ⇔ z = [xy] \nonumber \]

    Se grafica este vector como en la Figura. Decimos que el vector z pertenece a un “espacio vectorial”. Esto significa que los vectores pueden agregarse y escalarse de acuerdo con las reglas

    \[z_1+z_2=[x_1+x_2y_1+y_2] \nonumber \]

    \[az=\begin{bmatrix}ax\\ay\end{bmatrix} \nonumber \]

    complexVector.PNG
    El vector z que codifica el número complejo z

    Además, significa que existen una inversa aditiva −z, una identidad aditiva 0 y una identidad multiplicativa 1

    \[z+(−z)=0 \nonumber \]

    \[lz=z \nonumber \]

    El vector 0 es\(0=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}\)

    Demostrar que la adición de vectores y la multiplicación escalar satisfacen estas propiedades de conmutación, asociación y distribución:

    \[z_1+z_2 = z_2+z_1 \nonumber \]

    \[(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) \nonumber \]

    \[a(bz)=(ab)z \nonumber \]

    \[a(z_1+z_2)=az_1+az_2 \nonumber \]

    Producto interno y norma

    El producto interno entre dos vectores z1 y z2 se define como el número real

    \[(z_1,z_2)=x_1x_2+y_1y_2 \nonumber \]

    A veces escribimos este producto interno como el producto vectorial (más sobre esto en Álgebra Lineal)

    \[(z_1,z_2) = z^T_1z_2 \nonumber \]

    \[=\begin{bmatrix}x_1 & y_1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\Bigl(x_1x_2+y_1y_2\Bigr) \nonumber \]

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar\((z_1,z_2)=(z_2,z_1)\).

    Cuando\(z_1=z_2=z\), entonces el producto interno entre\(z\) y sí mismo es la norma al cuadrado de\(z\):

    \[||z||^2=(z,z)=x^2+y^2 \nonumber \]

    Estas propiedades de los vectores parecen abstractas. Sin embargo, como ahora mostramos, pueden ser utilizados para desarrollar un cálculo vectorial para hacer aritmética compleja.

    Un cálculo vectorial para aritmética compleja

    La suma de dos números complejos\(z_1\) y\(z_2\) corresponde a la suma de los vectores\(z_1\) y\(z_2\):

    \[z_1+z_2⇔z_1+z_2=\begin{bmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{bmatrix} \nonumber \]

    La multiplicación escalar del número complejo\(z_2\) por el número real\(x_1\) corresponde a la multiplicación escalar del vector\(z_2\) por\(x_1\)

    \[x_1z_2⇔x_1\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1x_2\\x_1y_2\end{bmatrix} \nonumber \]

    De igual manera, la multiplicación del número complejo\(z_2\) por el número real\(y_1\) es

    \[y_1z_2⇔y_1\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1x_2\\y_1y_2\end{bmatrix} \nonumber \]

    Por lo tanto,\(z_1z_2 = (x_1+jy_1)z_2\) el producto complejo se representa como

    \[z_1z_2↔\begin{bmatrix}x_1x_2−y_1y_2\\x_1y_2+y_1x_2\end{bmatrix} \nonumber \]

    Esta representación puede escribirse como el producto interno

    \[z_1z_2=z_2z_1↔\begin{bmatrix}(v,z_1)\\(w,z_1)\end{bmatrix} \nonumber \]

    donde v y w son los vectores\(v=\begin{bmatrix}x_2\\−y_2\end{bmatrix}\) y\(w=\begin{bmatrix}y_2\\x_2\end{bmatrix}\). Al definir la matriz

    \[\begin{bmatrix}x_2 & −y_2\\y_2 & x_2\end{bmatrix} \nonumber \]

    podemos representar el producto complejo\(z_1z_2\) como un multiplicar matriz-vector (más sobre esto en Álgebra Lineal):

    \[z_1z_2= z_2z_1 ↔\begin{bmatrix}x_2 & −y_2\\y_2 & x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} \nonumber \]

    Con esta representación, podemos representar la rotación como

    \[ze^{jθ}= e^{jθ}z ↔\begin{bmatrix}\cosθ & −\sinθ\\\sinθ & \cosθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix} \nonumber \]

    Llamamos a la matriz\(\begin{bmatrix}\cosθ & −\sinθ\\\sinθ & \cosθ\end{bmatrix}\) una “matriz de rotación”.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Llame a\(\mathrm R (θ)\) la matriz de rotación:

    \[\mathrm R (θ)=\begin{bmatrix}\cosθ & −\sinθ\\\sinθ & \cosθ\end{bmatrix} \nonumber \]

    Demostrar que\(\mathrm R (−θ)\) gira por\((−θ)\). ¿Qué puedes decir sobre\(\mathrm R (−θ)w\) cuándo\(w=\mathrm R (θ)z\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Representar el complejo conjugado de\(z\) as

    \[z^∗↔\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \nonumber \]

    y encontrar los elementos\(a,b,c,\) y\(d\) de la matriz.

    Producto interno y representación polar

    De la norma de un vector, derivamos una fórmula para la magnitud de z en la representación polar\(z=re^{jθ}\)

    \[r=(x^2+y^2)^{1/2} = ||z|| = (z,z)^{1/2} \nonumber \]

    Si definimos los vectores de coordenadas\(e_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\) y\(e_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\), entonces podemos representar el vector\(z\) como

    \[z=(z,e_1)e_1 + (z,e_2)e_2 \nonumber \]

    Ver Figura. De la figura queda claro que el coseno y el seno del ángulo\(θ\) son

    \[\cosθ=\frac {(z,e1)} {||z||};\; \sinθ = \frac {(z,e_2)} {||z||} \nonumber \]

    zNaturalBasis.PNG
    Representación de z en su Base Natural

    Esto nos da otra representación para cualquier vector z:

    \[z=||z||\cosθe_1+||z||\sinθe_2 \nonumber \]

    El producto interno entre dos vectores\(z_1\) y\(z_2\) es ahora

    \[(z_1,z_2)=[(z_1,e_1)e^T_1(z_1,e_2)e^T_2]\begin{bmatrix}(z_2,e_1)e_1\\(z_2,e_2)e_2\end{bmatrix} \nonumber \]

    \[=(z_1,e_1)(z_2,e_1)+(z_1,e_2)(z_2,e_2) \nonumber \]

    \[=||z_1||cosθ_1||z_2||cosθ_2+||z_1||sinθ_1||z2||sinθ_2 \nonumber \]

    De ello se deduce que\(\cos(θ_2−θ_1)=\cosθ_2 \cos θ_1+\sinθ_1\sinθ_2\) podrá escribirse como

    \[\cos(θ_2−θ_1)=\frac {(z_1,z_2)} {||z_1||\,||z_2||} \nonumber \]

    Esta fórmula muestra que el coseno del ángulo entre dos vectores\(z_1\) y\(z_2\), que es, por supuesto, el coseno del ángulo de\(z_2z^∗_1\), es la relación del producto interno a las normas.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar las desigualdades de Schwarz y triángulo e interpretarlas:

    \[(\mathrm {Schwarz})\; (z_1,z_2)^2≤||z_1||^2||z_2||^2 \nonumber \]
    \[(\mathrm {Triangle})\; I\,||z_1−z_2||≤||z_1−z_3||+||z_2−z_3|| \nonumber \]


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