1.2: Resolver ecuaciones

En esta sección, revisamos las habilidades de resolución de ecuaciones que son prerrequisito para completar con éxito el material en este texto. Antes de enumerar las herramientas utilizadas en el proceso de resolución de ecuaciones, asegurémonos de entender lo que se entiende por la frase “resolver para x”.

Resolver para x.

Usando las propiedades que proporcionamos, debe “aislar x”, para que su solución final tome la forma

\[\text{x = “Stuff, ”} \]

donde “Stuff” puede ser una expresión que contiene números, constantes, otras variables y operadores matemáticos como suma, resta, multiplicación, división, raíz cuadrada y similares.

“Cosas” puede incluso contener otras funciones matemáticas, como exponenciales, logaritmos o funciones trigonométricas. Sin embargo, es esencial que entiendas que hay una cosa que “Cosas” no debe contener, y esa es la variable para la que estás resolviendo, en este caso, x Entonces, en cierto sentido, quieres aislar x en un lado de la ecuación, y poner todas las otras “Cosas” en el otro lado de la ecuación.

Ahora, vamos a proporcionar las herramientas para ayudarte con esta tarea.

Propiedad 1.

Sea a y b cualquier número tal que a = b. Entonces, si c es cualquier número,

\[a+c=b+c\]

y,

\[a-c=b-c\]

En palabras, la primera de estas herramientas nos permite sumar la misma cantidad a ambos lados de una ecuación sin afectar la igualdad. El segundo enunciado nos dice que podemos restar la misma cantidad de ambos lados de una ecuación y aún así tener igualdad.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resuelve la ecuación\(x+5=7\) para\(x\).

Solución

El objetivo es “aislar x en un lado de la ecuación. Para ello, restemos 5 de ambos lados de la ecuación, luego simplifiquemos.

\[\begin{aligned} x+5 &=7 \\ x+5-5 &=7-5 \\ x &=2 \end{aligned}\]

Es importante verificar su solución mostrando que x = 2 “satisface” la ecuación original. Para ello, sustituya x = 2 en la ecuación original y simplifique ambos lados del resultado.

\[\begin{aligned} x+5 &=7 \\ 2+5 &=7 \\ 7 &=7 \end{aligned}\]

Esta última afirmación (i.e., 7 = 7) es una declaración verdadera, por lo que x = 2 es una solución de la ecuación x + 5 = 7.

Un concepto importante es la idea de ecuaciones equivalentes.

Ecuaciones Equivalentes.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto de soluciones. Es decir, dos ecuaciones son equivalentes si cada una de las soluciones de la primera ecuación es también una solución de la segunda ecuación, y viceversa.

Así, en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), las ecuaciones x+5 = 7 y x = 2 son equivalentes, porque ambas tienen el mismo conjunto de soluciones {2}. No es casualidad que las herramientas de la Propiedad 1 produzcan ecuaciones equivalentes. Siempre que agregue la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la ecuación original (tienen el mismo conjunto de soluciones). Esto también es cierto para la resta. Cuando restas la misma cantidad de ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante tiene las mismas soluciones que la ecuación original.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resuelve la ecuación x − 7 = 12 para x.

Solución

Queremos “aislar x” en un lado de la ecuación, así agregamos 7 a ambos lados de la ecuación y simplificamos.

\[\begin{aligned} x-7 &=12 \\ x-7+7 &=12+7 \\ x &=19 \end{aligned}\]

Dejaremos a nuestros lectores comprobar que x = 19 es una solución de x − 7 = 12.

Hagamos una pausa por un momento y definamos qué se entiende por monomio.

Definición 4

Un monomio es una expresión algebraica que es producto de un número y cero o más variables, cada una elevada a algún exponente arbitrario.

Ejemplos de monomios son:

\[3 x^{2}, \quad \text { or } \quad-4 a b^{2}, \quad \text { or } \quad 25 x^{3} y^{5}, \quad \text { or } \quad 17, \quad \text { or } \quad-11 x\]

Los monomios se conocen comúnmente como “términos”. A menudo usamos expresiones algebraicas que son la suma de dos o más términos. Por ejemplo, la expresión

\[3 x^{3}+2 x^{2}-7 x+8 \quad \text { or equivalently } \quad 3 x^{3}+2 x^{2}+(-7 x)+8\]

es la suma de cuatro términos, a saber,\(3 x^{3}, 2 x^{2},-7 x, \text { and } 8\). Tenga en cuenta que los términos son aquellas partes de la expresión que están separadas por símbolos de suma.

Algunos matemáticos prefieren usar la palabra “término” de una manera más relajada, simplemente afirmando que los términos de una expresión algebraica son aquellos componentes de la expresión que están separados por símbolos de adición. Por ejemplo, los términos de la expresión

\[3 x^{2}-\frac{1}{x}+\frac{2 x^{2}}{x+3} \quad \text { or equivalenty } \quad 3 x^{2}+\left(-\frac{1}{x}\right)+\frac{2 x^{2}}{x+3}\]

son\(3 x^{2},-1 / x,\) y 2\(x^{2} /(x+3)\). Este es el significado que usaremos en este texto.

Habiendo hecho la definición de lo que se entiende por un “término”, volvamos a nuestra discusión sobre la resolución de ecuaciones.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Resuelve la ecuación 3x − 3 = 2x + 4 para x.

Solución

Aislaremos todos los términos que contengan una x en el lado izquierdo de esta ecuación (también podríamos haber elegido aislar términos que contengan x en el lado derecho de la ecuación). Para ello, no queremos el −3 en el lado izquierdo de la ecuación (lo queremos a la derecha), así que sumamos 3 a ambos lados de la ecuación y simplificamos.

\[\begin{aligned} 3 x-3 &=2 x+4 \\ 3 x-3+3 &=2 x+4+3 \\ 3 x &=2 x+7 \end{aligned}\]

Recuerda que hemos optado por aislar todos los términos que contienen x en el lado izquierdo de la ecuación. Entonces, para nuestro siguiente paso, elegimos restar 2x de ambos lados de la ecuación (esto la “moverá” de la derecha a la izquierda), luego simplificamos.

\[\begin{aligned} 3 x &=2 x+7 \\ 3 x-2 x &=2 x+7-2 x \\ x &=7 \end{aligned}\]

Para verificar la solución, sustituya x = 7 en la ecuación original para obtener

\[\begin{aligned} 3 x-3 &=2 x+4 \\ 3(7)-3 &=2(7)+4 \\ 21-3 &=14+4 \\ 18 &=18 \end{aligned}\]

La última línea es una declaración verdadera, por lo que x = 7 cheques y es una solución de 3x − 3 = 2x + 4.

Si usas la técnica de Ejemplo\(\PageIndex{3}\) repetidamente, llega un punto en el que te cansas de mostrar la suma o resta de la misma cantidad en ambos lados de tu ecuación. Aquí hay una herramienta, que, si se usa cuidadosamente, simplificará enormemente su trabajo.

Atajo útil

Cuando mueves un término de un lado de una ecuación al otro, es decir, cuando mueves un término de un lado del signo igual al otro lado, simplemente cambia su signo.

Veamos cómo aplicaríamos este atajo a la ecuación de Ejemplo\(\PageIndex{3}\). Comience con la ecuación original,

\[3 x-3=2 x+4\]

luego mueva todos los términos que contengan una x al lado izquierdo de la ecuación y mueva todos los demás términos al lado derecho de la ecuación. Recuerda cambiar el signo de un término si éste se mueve de un lado del signo igual al otro. Si un término no se mueve de un lado de la ecuación al otro, deje solo su signo. El resultado sería

\[3 x-2 x=4+3\]

Así, x = 7 y estás terminado.

Es importante señalar que cuando movemos el −3 del lado izquierdo de la ecuación anterior al lado derecho de la ecuación y cambiamos su signo, lo que realmente estamos haciendo es sumar 3 a ambos lados de la ecuación. Una afirmación similar explica que mover 2x del lado derecho al lado izquierdo y cambiar su signo es simplemente un atajo para restar 2x de ambos lados de la ecuación.

Aquí hay dos herramientas más útiles para resolver ecuaciones.

Propiedad 6

Sea a y b cualquier número tal que a = b. Entonces, si c es cualquier número que no sea cero,

\[ac = bc\]

Si c es cualquier número que no sea cero, entonces

\[\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\]

En palabras, la primera de estas herramientas nos permite multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número. Una declaración similar se mantiene para la división, siempre que no dividamos por cero (la división por cero no tiene sentido). Ambas herramientas producen ecuaciones equivalentes.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Resuelve la ecuación 5x = 15 para x.

Solución

En este caso, sólo un término contiene la variable x y este término ya está aislado en un lado de la ecuación. Dividiremos ambos lados de esta ecuación por 5, luego simplificaremos, obteniendo

\[\begin{aligned} 5 x &=15 \\ \frac{5 x}{5} &=\frac{15}{5} \\ x &=3 \end{aligned}\]

Dejaremos que nuestros lectores comprueben esta solución.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Resuelve la ecuación x/2 = 7 para x

Solución

Nuevamente, solo hay un término que contiene x y ya está aislado en un lado de la ecuación. Multiplicaremos ambos lados de la ecuación por 2, luego simplificaremos, obteniendo

\[\begin{aligned} \frac{x}{2} &=7 \\ 2\left(\frac{x}{2}\right) &=2(7) \\ x &=14 \end{aligned}\]

Nuevamente, dejaremos que nuestros lectores comprueben esta solución.

Apliquemos todo lo que hemos aprendido en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Resuelve la ecuación 7x − 4 = 5 − 3x para x.

Solución

Tenga en cuenta que tenemos términos que contienen x en ambos lados de la ecuación. Así, el primer paso es aislar los términos que contienen x en un lado de la ecuación (izquierda o derecha, su elección) .3 Moveremos los términos que contienen x al lado izquierdo de la ecuación, todo lo demás se moverá al lado derecho de la ecuación. Recuerda la regla, si un término se mueve de un lado del signo igual al otro, cambia el signo del término que estás moviendo. Por lo tanto,

\[\begin{aligned} 7 x-4 &=5-3 x \\ 7 x+3 x &=5+4 \end{aligned}\]

Simplificar

\[10 x=9\]

Divide ambos lados de este último resultado por 10.

\[\begin{aligned} 10 x &=9 \\ \frac{10 x}{10} &=\frac{9}{10} \\ x &=\frac{9}{10} \end{aligned}\]

Para verificar esta solución, sustituya x = 9/10 en ambos lados de la ecuación original y simplifique.

\[\begin{aligned} 7 x-4 &=5-3 x \\ 7\left(\frac{9}{10}\right)-4 &=5-3\left(\frac{9}{10}\right) \\ \frac{63}{10}-4 &=5-\frac{27}{10} \end{aligned}\]

Necesitaremos un denominador común para verificar que nuestra solución es correcta. Es decir,

\[\begin{aligned} \frac{63}{10}-\frac{40}{10} &=\frac{50}{10}-\frac{27}{10} \\ \frac{23}{10} &=\frac{23}{10} \end{aligned}\]

Así, x = 9/10 comprueba y es una solución de 7x − 4 = 5 − 3x.

Tenga en cuenta que la comprobación a veces puede ser más difícil que resolver la ecuación. Esta es una de las razones por las que tendemos a ponernos perezosos y no comprobar nuestras soluciones. Sin embargo, no deberíamos necesitar decirte lo que probablemente sucederá si no revisas tu trabajo.

Existe una solución alternativa que implica el uso de la calculadora gráfica. Primero almacenamos la solución para x en nuestra calculadora, luego calculamos cada lado de la ecuación original y comparamos los resultados.

1. Ingresa 9/10 en la ventana de tu calculadora, luego

2. presione la\(\blacktriangleright\) tecla STO, luego

3. presione la tecla X seguida de la tecla ENTER.

El resultado se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a).

Ahora que hemos almacenado x = 9/10 en la memoria de la calculadora, evaluemos cada lado de la ecuación 7x − 4 = 5 − 3x a este valor de x Ingresa 7*X-4 en tu calculadora y presiona ENTRAR. El resultado se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b), donde vemos que 7x − 4, evaluado a x = 9/10, es igual a 2.3.

A continuación, ingrese 5-3*X y presione ENTRAR. El resultado se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (c), donde vemos que 5 − 3x, evaluado a x = 9/10, también es igual a 2.3 (por cierto, esto equivale al 23/10 que encontramos en nuestra comprobación manual anterior).

Debido a que las expresiones en cada lado de la ecuación son iguales cuando x = 9/10 (ambas iguales a 2.3), la solución verifica.

Figura\(\PageIndex{1}\) Comprobando la solución de 7x − 4 = 5 − 3x con la calculadora gráfica.

Si necesitas resolver una ecuación que contenga fracciones, una estrategia muy útil es borrar las ecuaciones de fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Resuelve la ecuación\[\frac{2}{3} x-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}-\frac{3}{2} x\] para x.

Solución

El denominador menos común es 12, por lo que multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 12.

\[12\left(\frac{2}{3} x-\frac{3}{4}\right)=12\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2} x\right)\]

Distribuye el 12 y simplifica.

\[\begin{aligned} 12\left(\frac{2}{3} x\right)-12\left(\frac{3}{4}\right) &=12\left(\frac{1}{4}\right)-12\left(\frac{3}{2} x\right) \\ 8 x-9 &=3-18 x \end{aligned}\]

Mueve todos los términos que contienen x al lado izquierdo de la ecuación, todo lo demás a la derecha, luego simplifica.

\[\begin{aligned} 8 x+18 x &=3+9 \\ 26 x &=12 \end{aligned}\]

Dividir ambos lados de este último resultado por 26 y simplificar (reducir siempre a los términos más bajos — en este caso podemos dividir tanto el numerador como el denominador por 2).

\[\begin{aligned} \frac{26 x}{26} &=\frac{12}{26} \\ x &=\frac{6}{13} \end{aligned}\]

Dejamos que nuestros lectores comprueben esta solución. Utilice su calculadora gráfica como se demuestra en Ejemplo\(\PageIndex{6}\).

Se pueden borrar decimales de una ecuación multiplicando por la potencia apropiada de 10.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Resuelve la ecuación 1.23x − 5.46 = 3.72x para x.

Solución

Multipliquemos ambos lados de esta ecuación por 100, que mueve los decimales dos lugares hacia la derecha, lo cual es suficiente para borrar los decimales de este problema.

\[100(1.23 x-5.46)=100(3.72 x)\]

Distribuir y simplificar.

\[\begin{aligned} 100(1.23 x)-100(5.46) &=100(3.72 x) \\ 123 x-546 &=372 x \end{aligned}\]

Mueve cada término que contiene una x al lado derecho de la ecuación (la primera vez que elegimos hacer esto, evita un signo negativo en el coeficiente de x) y simplifica.

\[\begin{array}{l}{-546=372 x-123 x} \\ {-546=249 x}\end{array}\]

Dividir ambos lados de la ecuación por 249 y simplificar (en este caso podemos reducir, dividiendo el numerador y el denominador por 3).

\[\begin{array}{l}{\frac{-546}{249}=\frac{249 x}{249}} \\ {-\frac{182}{83}=x}\end{array}\]

Reescribe tu respuesta, colocando x en el lado izquierdo de la ecuación.

\[x=-\frac{182}{83}\]

Consulta tu resultado con tu calculadora. Es importante estar seguro de que siempre usas el problema original cuando verifiques tu resultado. Los pasos se muestran en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a), (b) y (c).

Figura\(\PageIndex{2}\). Comprobando que x = −182/83 es una solución de 1.23x − 5.46 = 3.72x.

Fórmulas

La ciencia está llena de fórmulas que involucran más de una variable y un número de constantes. En química y física, el instructor esperará que puedas manipular estas ecuaciones, resolviendo para una variable o constante en términos de las otras en la ecuación.

Aquí no hay nada nuevo que decir, ya que debes seguir las mismas reglas que hemos dado hasta ahora cuando la única variable era x Sin embargo, los estudiantes suelen encontrarlas un poco intimidantes debido a la presencia de múltiples variables y constantes, así que tomemos nuestro tiempo y recorremos un par de ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

A Isaac Newton se le atribuye la fórmula que determina la magnitud F de la fuerza de atracción entre dos planetas. La fórmula es

\[F=\frac{G m M}{r^{2}}\]

donde m es la masa del planeta más pequeño, M es la masa del planeta más grande, r es la distancia entre los dos planetas, y G es una constante gravitacional universal. Resuelve esta ecuación para G.

Solución

Primero, una palabra de precaución.

Advertencia: Al usar fórmulas científicas, nunca cambie el caso de una variable o constante. Si es mayúscula, escríbalo en mayúsculas en tu tarea. La misma directiva se aplica si la variable o constante se presenta en minúsculas. Escríbelo en minúsculas en su tarea.

Esta ecuación tiene fracciones en ella, por lo que comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común, que en este caso lo es\(r^2\).

\[r^{2}(F)=r^{2}\left(\frac{G m M}{r^{2}}\right)\]

Esto nos da

\[r^{2} F=G m M\]

En este caso, sólo hay un término con G, y ese término ya está aislado en un lado de la ecuación. El siguiente paso es dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de G, luego simplificar

\[\begin{aligned} \frac{r^{2} F}{m M} &=\frac{G m M}{m M} \\ \frac{r^{2} F}{m M} &=G \end{aligned}\]

Por lo tanto,

\[G=\frac{r^{2} F}{m M}\]

Tenga en cuenta que tenemos G = “Cosas”, y lo más importante, la “Cosas” no tiene ocurrencia de la variable G. Esto es lo que significa “resolver para G.”

Veamos un último ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

El agua se congela a\(0^{\circ}\) Celsius y hierve a\(100^{\circ}\) Celsius. Los estadounidenses probablemente estén más familiarizados con la temperatura Fahrenheit, donde el agua se congela a\(32^{\circ}\) Fahrenheit y hierve a\(212^{\circ}\) Fahrenheit. La fórmula para convertir la temperatura Celsius C en Fahrenheit temperatura F es

\[F=\frac{9}{5} C+32 \nonumber \]

Resuelve esta ecuación para C.

Solución

Una vez más, la ecuación tiene fracciones en ella, por lo que nuestro primer movimiento será eliminar las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común (5 en este caso).

\[\begin{aligned} 5 F &=5\left(\frac{9}{5} C+32\right) \\ 5 F &=5\left(\frac{9}{5} C\right)+5(32) \\ 5 F &=9 C+160 \end{aligned}\]

Estamos resolviendo para C, así que mueve todos los términos que contienen una C a un lado de la ecuación, y todos los demás términos al otro lado de la ecuación.

\[5 F-160=9 C\]

Divide ambos lados de esta última ecuación por 9.

\[\begin{aligned} \frac{5 F-160}{9} &=\frac{9 C}{9} \\ \frac{5 F-160}{9} &=C \end{aligned}\]

Por lo tanto,

\[C=\frac{5 F-160}{9}\]

Tenga en cuenta que tenemos C = “Cosas”, y lo más importante, la “Cosas” no tiene ocurrencia de la variable C. Esto es lo que significa resolver para C.

Una vez que hayas resuelto una fórmula de la ciencia para una variable en particular, puedes usar el resultado para hacer conversiones o predicciones.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

En Ejemplo\(\PageIndex{10}\), la relación entre las temperaturas Fahrenheit y Celsius viene dada por el resultado

\[C=\frac{5 F-160}{9}\]

Por encima del banco en Eureka, California, un letrero proclama que la temperatura Fahrenheit es\(40^{\circ} F\). ¿Cuál es la temperatura Celsius?

Solución

Sustituye la temperatura de Fahrenheit en la fórmula (16). Es decir, sustituto F = 40.

\[C=\frac{5 F-160}{9}=\frac{5(40)-160}{9}=\frac{40}{9} \approx 4.44\]

De ahí que la temperatura Celsius sea aproximadamente\(4.44^{\circ} \mathrm{C}\). Ten en cuenta que siempre debes incluir unidades con tu respuesta final.