1.1: Sistemas numéricos

En esta sección introducimos los sistemas numéricos con los que trabajaremos en el resto de este texto.

Los números naturales

Comenzamos con una definición de los números naturales, o los números de conteo.

Definición 1: números naturales

El conjunto de números naturales es el conjunto

\[\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}\]

La notación en la ecuación (2) se lee “\(\mathbb{N}\)es el conjunto cuyos miembros son 1, 2, 3, y así sucesivamente”. La elipsis (los tres puntos) al final de la ecuación (2) es la forma de un matemático de decir “etcétera”. Enumeramos los números suficientes para establecer un patrón reconocible, luego escribimos “y así sucesivamente”, asumiendo que un patrón ha sido suficientemente establecido para que el lector pueda intuir el resto de los números en el conjunto. Así, los siguientes números en el conjunto\(\mathbb{N}\) son 4, 5, 6, 7, “y así sucesivamente”.

Tenga en cuenta que hay un número infinito de números naturales. Otros ejemplos de números naturales son 578,736 y 55,617,778. El conjunto\(\mathbb{N}\) de números naturales no tiene límites; es decir, no hay mayor número natural. Para cualquier número natural que elija, agregar uno a su elección produce un número natural mayor.

Para cualquier número natural n, llamamos a m un divisor o factor de n si hay otro número natural k así que eso\(n = mk\). Por ejemplo, 4 es un divisor de 12 (porque 12=4\ times 3), pero 5 no lo es. De igual manera, 6 es un divisor de 12 (porque 12=6\ times 2), pero 8 no lo es.

A continuación definimos un subconjunto muy especial de los números naturales.

Definición 3: números primos

Si los únicos divisores de un número natural\(p\) son 1 y él mismo, entonces\(p\) se dice que es primo.

Por ejemplo, debido a que sus únicos divisores son 1 y en sí mismo, 11 es un número primo. Por otro lado, 14 no es primo (tiene divisores distintos a 1 y él mismo, es decir, 2 y 7). De igual manera, cada uno de los números naturales 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19 es primo. Tenga en cuenta que 2 es el único número natural par que es primo.

Si un número natural distinto a 1 no es primo, entonces decimos que es compuesto. Tenga en cuenta que cualquier número natural (excepto 1) cae en una de dos clases; es primo, o es compuesto.

Material protegido por derechos de autor. Ver: http://msenux.redwoods.edu/IntAlgText/ 1

En este libro de texto, las definiciones, ecuaciones y otras partes etiquetadas del texto se numeran consecutivamente, 2 independientemente del tipo de información. Las figuras se numeran por separado, al igual que las Tablas.

Aunque el número natural 1 solo tiene 1 y a sí mismo como divisores, los matemáticos, particularmente los teóricos del número 3, no consideran que 1 sea primo. Hay buenas razones para ello, pero eso podría llevarnos demasiado lejos. Por ahora, solo tenga en cuenta que 1 no es un número primo. Cualquier número que sea primo tiene exactamente dos factores, a saber, él mismo y 1.

Podemos factorizar el número compuesto 36 como un producto de factores primos, a saber

\[36=2 \times 2 \times 3 \times 3\]

Aparte de reordenar los factores, esta es la única forma en que podemos expresar 36 como producto de factores primos.

Definición 4: Teorema Fundamental de la Aritmética

El Teorema Fundamental de la Aritmética dice que cada número natural tiene una factorización prima única.

No importa cómo comiences el proceso de factorización, todas las carreteras conducen a la misma factorización principal. Por ejemplo, considere dos enfoques diferentes para obtener la factorización prima de 72.

\[\begin{array}{llllll} 72 & = & 8\times 9 & 72 & = & 4\times 18 & \\ & =& (4 \times 2) \times(3 \times 3) & & = &(2 \times 2) \times(2 \times 9) \\ &=&2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 & & = & 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\end{array}\]

En cada caso, el resultado es el mismo,\(72=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\)

Cero

El uso de cero como marcador de posición y como número tiene una historia rica e histórica. Los antiguos babilonios registraron su trabajo en tablillas de arcilla, presionando en la arcilla blanda con un lápiz. En consecuencia, hoy existen tablillas desde el 1700 a.C. en los museos de todo el mundo. En Figura se muestra una foto del famoso Plimpton_322\(\PageIndex{1}\), donde las marcas son consideradas por algunos como triples pitagóricos, o las medidas de los lados de los triángulos rectos.

Figura\(\PageIndex{1}\) Plimpton_322

La gente de esta cultura milenaria contaba con un sistema de numeración sexagesimal (base 60) que sobrevivió sin el uso del cero como marcador de posición por más de 1000 años. En el sistema babilónico temprano, los números 216 y 2106 tenían grabaciones idénticas en las tablillas de arcilla de los autores. Uno sólo podía notar la diferencia entre los dos números con base en el contexto en el que se utilizaron. En algún lugar alrededor del año 400 a.C., los babilonios comenzaron a usar dos símbolos de cuña para denotar un cero como marcador de posición (algunas tabletas muestran un gancho simple o doble para este marcador de posición).

Los antiguos griegos eran muy conscientes del sistema posicional babilónico, pero la mayor parte del énfasis de las matemáticas griegas era geométrico, por lo que el uso del cero como marcador de posición no era tan importante. Sin embargo, hay alguna evidencia de que los griegos utilizaron un símbolo parecido a un omicrón grande en algunas de sus tablas astronómicas.

No fue hasta alrededor del 650 dC que el uso del cero como número comenzó a introducirse en las matemáticas de la India. Brahmagupta (598-670?) , en su obra Brahmasphutasiddhanta, fue uno de los primeros matemáticos registrados que intentó operaciones aritméticas con el número cero. Aún así, no sabía muy bien qué hacer con la división por cero cuando escribió

Los números positivos o negativos cuando se dividen por cero es una fracción con cero como denominador.

Obsérvese que afirma que el resultado de la división por cero es una fracción con cero en el denominador. No muy informativo. Casi 200 años después, Mahavira (800-870) no le fue mucho mejor cuando escribió

Un número permanece sin cambios cuando se divide por cero.

Parece que los matemáticos indios no pudieron admitir que la división por cero era imposible.

La cultura maya (250-900 d.C.) tenía un sistema posicional base 20 y un símbolo que usaron como marcador de posición cero. El trabajo de los matemáticos indios se extendió al mundo árabe e islámico y fue mejorado. Esta obra finalmente llegó al lejano oriente y también a Europa. Aún así, tan tarde como el 1500 los matemáticos europeos todavía no usaban cero como número de forma regular. No fue hasta los 1600 que se generalizó el uso del cero como número.

Por supuesto, hoy sabemos que sumar cero a un número deja ese número sin cambios y esa división por cero no tiene sentido, pero a medida que luchamos con estos conceptos, debemos tener en cuenta cuánto tiempo le tomó a la humanidad llegar a confrontar esta poderosa abstracción (cero como número).

Si agregamos el número cero al conjunto de números naturales, tenemos un nuevo conjunto de números que se llaman los números enteros

Definición 5

El conjunto de números enteros es el conjunto

\[\mathbb{W}=\{0,1,2,3, \ldots\}\]

Los números enteros

Hoy, por mucho que demos por sentado el hecho de que existe un número cero, denotado por 0, tal que

% No tiene sentido preguntar cuántos grupos de cero hay en cinco. Así, 5/0 es indefinido. 4

\[a+0=a\]

para cualquier número entero a, de manera similar damos por sentado que para cualquier número entero a existe un número único −a, llamado “negativo” u “opuesto” de a, de modo que\[a+(-a)=0\]

De manera natural, o eso les parece a los matemáticos de hoy en día, esto introduce fácilmente el concepto de un número negativo. Sin embargo, la historia nos enseña que el concepto de números negativos no fue abrazado de todo corazón por los matemáticos hasta alrededor del siglo XVII.

En su obra Aritmética (c. 250 d.C.?) , el matemático griego Diofantus (c. 200-284 d.C.?) , a quien algunos llaman el “Padre del Álgebra”, describió la ecuación 4 = 4x + 20 como “absurda”, pues ¿cómo se podría hablar de una respuesta menos que nada? Girolamo Cardano (1501-1576), en su obra seminal Ars Magna (c. 1545 d.C.) se refirió a los números negativos como “numeri ficti”, mientras que el matemático alemán Michael Stifel (1487-1567) se refirió a ellos como “numeri absurdi”. John Napier (1550-1617) (el creador de logaritmos) llamó a los números negativos “defectivi”, y René Descartes (1596-1650) (el creador de la geometría analítica) etiquetó soluciones negativas de ecuaciones algebraicas como “raíces falsas”.

Por otro lado, hubo matemáticos cuyo tratamiento de los números negativos se asemejaba algo a nuestras nociones modernas de las propiedades que poseían los números negativos. El matemático indio Brahmagupta, cuyo trabajo con cero ya mencionamos, describió reglas aritméticas en términos de fortunas (número positivo) y deudas (números negativos). En efecto, en su obra Brahmasphutasiddhanta, escribe “una fortuna restada de cero es una deuda”, que en notación moderna se asemejaría a 0 − 4 = −4. Además, “una deuda sustraída de cero es una fortuna”, que resuena como 0 − (−4) = 4. Además, Brahmagupta describe reglas para la multiplicación y división de números positivos y negativos:

• El producto o cociente de dos fortunas es una fortuna.
• El producto o cociente de dos deudas es una fortuna.
• El producto o cociente de una deuda y una fortuna es una deuda.
• El producto o cociente de una fortuna y una deuda es una deuda.

En el uso moderno podríamos decir que “los signos similares dan una respuesta positiva”, mientras que “a diferencia de los signos dan una respuesta negativa”. Los ejemplos modernos de las dos primeras reglas de Brahmagupta son (5) (4) = 20 y (−5) (−4) = 20, mientras que ejemplos de las dos últimas son (−5) (4) = −20 y (5) (−4) = −20. Las reglas son similares para la división.

En cualquier caso, si comenzamos con el conjunto de números naturales\(\mathbb{N} = {1, 2, 3, . . .}\), sumamos cero, luego sumamos el negativo de cada número natural, obtenemos el conjunto de números enteros.

Definición 8

El conjunto de enteros es el conjunto

\[\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}\]

La letra\(\mathbb{Z}\) proviene de la palabra Zahl, que es una palabra alemana para “número”.

Es importante señalar que un entero es un número “entero”, ya sea positivo, negativo o cero. Así, −11 456, −57, 0, 235 y 41 234 576 son números enteros, pero los números −2/5, 0.125,\(\sqrt{2}\) y no lo\(\pi\) son. Tendremos más que decir sobre la clasificación de estos últimos números en las secciones que siguen.

Números racionales

Te habrás dado cuenta de que cada número natural es también un número entero. Es decir, cada número en el conjunto\(\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}\) es también un número en el conjunto\(\mathbb{W}=\{0,1,2,3, \ldots\}\). Los matemáticos dicen que “\(\mathbb{N}\)es un subconjunto de”\(\mathbb{W}\), lo que significa que cada miembro del conjunto también\(\mathbb{N}\) es miembro del conjunto\(\mathbb{W}\). En una línea similar, cada número entero es también un entero, por lo que el conjunto\(\mathbb{W}\) es un subconjunto del conjunto\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-2,-1,0,1,2,3, \dots\}\).

Ahora agregaremos fracciones a nuestro creciente conjunto de números. Las fracciones se han utilizado desde la antigüedad. Eran bien conocidos y utilizados por los antiguos babilonios y egipcios.

En los tiempos modernos, usamos la frase número racional para describir cualquier número que sea la relación de dos enteros. Denotaremos el conjunto de números racionales con la letra\(\mathbb{Q}\).

Definición 10

El conjunto de números racionales es el conjunto

\[\mathbb{Q}=\{{\frac{m}{n} : \text{m, n are integers}, n \neq 0}\}\]

Esta notación se lee “el conjunto de todas las relaciones m/n, de tal manera que m y n son números enteros, y n no es 0”. Se requiere la restricción en n porque la división por cero no está definida.

Claramente, números como −221/31, −8/9 y 447/119, siendo las proporciones de dos enteros, son números racionales (fracciones). Sin embargo, si pensamos en el entero 6 como la relación 6/1 (o alternativamente, como 24/4, −48/ − 8, etc.), entonces notamos que 6 es también un número racional. De esta manera, cualquier entero puede pensarse como un número racional (por ejemplo, 12 = 12/1, −13 = −13/1, etc.). Por lo tanto, el conjunto\(\mathbb{Z}\) de enteros es un subconjunto del conjunto\(\mathbb{Q}\) de números racionales.

Pero espera, hay más. Cualquier decimal que termine es también un número racional. Por ejemplo,

\[0.25=\frac{25}{100}, \quad 0.125=\frac{125}{1000}, \quad and -7.6642=-\frac{76642}{10000}\]

El proceso para convertir un decimal de terminación en una fracción es claro; contar el número de decimales, luego escribir 1 seguido de ese número de ceros para el denominador.

Por ejemplo, en 7.638 hay tres decimales, así que coloca el número por encima de 1000, como en

\[\frac{7638}{1000}\]

Pero espera, aún hay más, para cualquier decimal que se repita también se puede expresar como la relación de dos enteros. Consideremos, por ejemplo, el decimal repetido

\[0.0 \overline{21}=0.0212121 \ldots\]

Tenga en cuenta que la secuencia de números enteros bajo la “barra repetitiva” se repite una y otra vez indefinidamente. Además, en el caso de\(0.0\overline{21}\), hay precisamente dos dígitos debajo de la barra de repetición. Por lo tanto, si dejamos\(x=0.0\overline{21}\), entonces

\[x=0.0212121 \ldots\]

y multiplicando por 100 mueve los decimales dos lugares a la derecha.

\[100 x=2.12121 \ldots\]

Si alineamos estos dos resultados

\[\begin{aligned} 100 x &=2.12121 \ldots \\-x &=0.02121 \ldots \end{aligned}\]

y restar, entonces el resultado es

\[\begin{aligned} 99 x &=2.1 \\ x &=\frac{2.1}{99} \end{aligned}\]

Sin embargo, este último resultado no es una relación de dos enteros. Esto se rectifica fácilmente multiplicando tanto el numerador como el denominador por 10.

\[x=\frac{21}{990}\]

Podemos reducir este último resultado dividiendo tanto el numerador como el denominador por 3. Así\(0.0 \overline{21}=7 / 330\), al ser la relación de dos enteros, es un número racional.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que\(0 . \overline{621}\) es un número racional.

Solución

En este caso, hay tres dígitos debajo de la barra de repetición. Si dejamos x = 0.621, luego multiplicamos por 1000 (tres ceros), esto moverá los tres decimales a la derecha.

\[\begin{aligned} 1000 x &=621.621621 \ldots \\ x &=0.621621 \ldots \end{aligned}\]

Restar,

\[\begin{aligned} 999 x &=621 \\ x &=\frac{621}{999} \end{aligned}\]

Dividiendo el numerador y el denominador por 27 (o primero por 9 luego por 3), nos encontramos con eso\(0 . \overline{621}=23 / 37\). Así, 0.621, siendo la relación de dos enteros, es un número racional.

En este punto, es natural preguntarse: “¿Todos los números son racionales?” O bien, “¿Hay otro tipo de números que aún no hayamos discutido?” Investiguemos más a fondo.

Los números irracionales

Si un número no es racional, los matemáticos dicen que es irracional

Definición 13

Cualquier número que no pueda expresarse como una relación de dos enteros se denomina número irracional.

Los matemáticos han luchado con el concepto de números irracionales a lo largo de la historia. En la figura\(\PageIndex{2}\) se muestra un antiguo artefacto babilónico llamado La raíz cuadrada de dos tablillas.

Figura\(\PageIndex{2}\) La Raíz Cuadrada de Dos Tableta.

Hay una antigua fábula que habla de un discípulo de Pitágoras que proporcionó una prueba geométrica de la irracionalidad de\(\sqrt{2}\). Sin embargo, los pitagóricos creían en la absolutez de los números, y no podían aguantarse el pensamiento de números que no eran racionales. Como castigo, Pitágoras condenó a muerte a su discípulo ahogándose, o eso dice la historia.

Pero, ¿y qué pasa\(\sqrt{2}\)? ¿Es racional o no? Una prueba clásica, conocida en la época de Euclides (el “Padre de la Geometría”, c. 300 a.C.), utiliza la prueba por contradicción. Supongamos que efectivamente\(\sqrt{2}\) es racional, lo que significa que se\(\sqrt{2}\) puede expresar como la relación de dos enteros p y q de la siguiente manera.

\[\sqrt{2}=\frac{p}{q}\]

Cuadrado ambos lados,

\[2=\frac{p^{2}}{q^{2}}\]

luego despejar la ecuación de fracciones multiplicando ambos lados por\(q^{2}\).

\[p^{2}=2 q^{2}\]

Ahora p y q cada uno tiene sus propias factorizaciones prime únicas. Ambos\(p^{2}\) y\(q^{2}\) tienen un número par de factores en sus factorizaciones primo. 6 Pero esto contradice la ecuación 14, porque el lado izquierdo tendría un número par de factores en su descomposición primo, mientras que el lado derecho tendría un número impar de factores en su descomposición primo (hay uno extra 2 en el lado derecho).

Por lo tanto, nuestra suposición de que\(\sqrt{2}\) era racional es falsa. Así,\(\sqrt{2}\) es irracional.

Hay muchos otros ejemplos de números irracionales. Por ejemplo,\(\pi\) es un número irracional, como lo es el número\(e\), que encontraremos cuando estudiemos funciones exponenciales. Decimales que no repiten ni terminan, como

\[0.1411411141114 \ldots\]

también son irracionales. Las pruebas de la irracionalidad de tales números están más allá del alcance de este curso, pero si decides una carrera en matemáticas, algún día mirarás de cerca estas pruebas. Baste decir, hay muchos números irracionales por ahí. En efecto, hay muchos más números irracionales que números racionales.

Los números reales

Si tomamos todos los números que hemos discutido en esta sección, los números naturales, los números enteros, los números enteros, los números racionales, y los números irracionales, y los agrupamos a todos en un conjunto gigante de números, entonces tenemos lo que se conoce como el conjunto de números reales. Usaremos la letra R para denotar el conjunto de todos los números reales.

Definición 15

\[\mathbb{R}=\{x : \quad\text{ x is a real number} \}\]

Esta notación se lee “el conjunto de todos x tal que x es un número real”. El conjunto de números reales\(\mathbb{R}\) abarca todos los números que encontraremos en este curso.