7.8: Aplicaciones de las Funciones Racionales
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En esta sección, investigaremos el uso de funciones racionales en varias aplicaciones.
Problemas numéricos
Comenzamos recordando la definición de lo recíproco de un número.
Definición
Para cualquier número real distinto de cero a, el recíproco de a es el número 1/a.Obsérvese que el producto de un número y su recíproco siempre es igual al número 1. Es decir,\[a \cdot \frac{1}{a}=1\]
Por ejemplo, el recíproco del número 3 es 1/3. Tenga en cuenta que simplemente “invertimos” el número 3 para obtener su recíproco 1/3. Además, tenga en cuenta que el producto de 3 y su recíproco 1/3 es
\[3 \cdot \frac{1}{3}=1\]
Como segundo ejemplo, para encontrar el recíproco de −3/5, podríamos hacer el cálculo
\[\frac{1}{-\frac{3}{5}}=1 \div\left(-\frac{3}{5}\right)=1 \cdot\left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{5}{3}\]
pero probablemente sea más rápido simplemente “invertir” −3/5 para obtener su recíproco −5/3. Nuevamente, tenga en cuenta que el producto de −3/5 y su recíproco −5/3 es
\[\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot\left(-\frac{5}{3}\right)=1\]
Veamos algunas aplicaciones que involucran los recíprocos de números.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
La suma de un número y su recíproco es 29/10. Encuentra el (los) número (s).
Solución
Que x represente un número distinto de cero. El recíproco de x es 1/x. De ahí que la suma de x y su recíproco se representa por la expresión racional x + 1/x. Establezca esto igual a 29/10.
\[x+\frac{1}{x}=\frac{29}{10}\]
Para borrar fracciones de esta ecuación, multiplica ambos lados por el denominador común 10x.
\[\begin{aligned} \color{blue}{10 x}\left(x+\frac{1}{x}\right) &=\left(\frac{29}{10}\right) \color{blue}{10 x}\\ 10 x^{2}+10 &=29 x \end{aligned}\]
Esta ecuación es no lineal (tiene una potencia de x mayor que 1), así que haga que un lado sea igual a cero restando 29x de ambos lados de la ecuación.
\[10 x^{2}-29 x+10=0\]
Intentemos usar la prueba ac para factorial. Tenga en cuenta que ac = (10) (10) = 100. El par entero {−4, −25} tiene el producto 100 y la suma −29. Romper el término medio del trinomio cuadrático usando este par, luego factorial por agrupación.
\[\begin{aligned} 10 x^{2}-4 x-25 x+10 &=0 \\ 2 x(5 x-2)-5(5 x-2) &=0 \\(2 x-5)(5 x-2) &=0 \end{aligned}\]
Usando la propiedad cero del producto, ya sea
\[2 x-5=0 \quad \text { or } \quad 5 x-2=0\]
Cada una de estas ecuaciones lineales se resuelve fácilmente.
\[x=\frac{5}{2} \quad \text { or } \quad x=\frac{2}{5}\]
De ahí que tenemos dos soluciones para x. Sin embargo, ambas conducen al mismo par número-recíproco. Es decir, si x = 5/2, entonces su recíproco es 2/5. Por otro lado, si x = 2/5, entonces su recíproco es 5/2.
Comprobemos nuestra solución tomando la suma de la solución y su recíproco. Tenga en cuenta que
\[\frac{5}{2}+\frac{2}{5}=\frac{25}{10}+\frac{4}{10}=\frac{29}{10}\]
como lo exige la declaración del problema.
Veamos otra aplicación del concepto recíproco.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Hay dos números. El segundo número es 1 mayor que el doble del primer número. La suma de los recíprocos de los dos números es 7/10. Encuentra los dos números.
Solución
Que x represente el primer número. Si el segundo número es 1 mayor que el doble del primer número, entonces el segundo número puede ser representado por la expresión 2x + 1.
Así, nuestros dos números son x y 2x+1. Sus recíprocas, respectivamente, son 1/x y 1/ (2x + 1). Por lo tanto, la suma de sus recíprocos puede ser representada por la expresión racional 1/x + 1/ (2x + 1). Establezca esto igual a 7/10.
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{2 x+1}=\frac{7}{10}\]
Multiplica ambos lados de esta ecuación por el denominador común 10x (2x + 1).
\[\begin{aligned} \color{blue}{10 x(2 x+1)}\left[\frac{1}{x}+\frac{1}{2 x+1}\right] &=\left[\frac{7}{10}\right] \color{blue}{10 x(2 x+1)}\\ 10(2 x+1)+10 x &=7 x(2 x+1) \end{aligned}\]
Amplíe y simplifique cada lado de este resultado.
\[\begin{aligned} 20 x+10+10 x &=14 x^{2}+7 x \\ 30 x+10 &=14 x^{2}+7 x \end{aligned}\]
Nuevamente, esta ecuación es no lineal. Vamos a mover todo al lado derecho de esta ecuación. Restar 30x y 10 de ambos lados de la ecuación para obtener
\[\begin{array}{l}{0=14 x^{2}+7 x-30 x-10} \\ {0=14 x^{2}-23 x-10}\end{array}\]
Tenga en cuenta que el lado derecho de esta ecuación es cuadrático con ac = (14) (−10) = −140. El par entero {5, −28} tiene el producto −140 y la suma −23. Romper el término medio usando este par y factorial por agrupación.
\[\begin{array}{l}{0=14 x^{2}+5 x-28 x-10} \\ {0=x(14 x+5)-2(14 x+5)} \\ {0=(x-2)(14 x+5)}\end{array}\]
Usando la propiedad cero del producto, ya sea
\[x-2=0 \quad \text { or } \quad 14 x+5=0\]
Estas ecuaciones lineales se resuelven fácilmente para x, proporcionando
\[x=2 \quad \text { or } \quad x=-\frac{5}{14}\]
Todavía tenemos que responder a la pregunta, que era encontrar dos números de tal manera que la suma de sus recíprocos sea 7/10. Recordemos que el segundo número fue 1 más del doble del primer número y el hecho de que dejamos que x representara el primer número.
En consecuencia, si el primer número es x = 2, entonces el segundo número es 2x + 1, o 2 (2) + 1. Es decir, el segundo número es 5. Comprobemos para ver si el par {2, 5} es una solución calculando la suma de los recíprocos de 2 y 5.
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{5}=\frac{5}{10}+\frac{2}{10}=\frac{7}{10}\]
Así, el par {2, 5} es una solución.
Sin embargo, encontramos un segundo valor para el primer número, a saber x = −5/14. Si este es el primer número, entonces el segundo número es
\[2\left(-\frac{5}{14}\right)+1=-\frac{5}{7}+\frac{7}{7}=\frac{2}{7}\]
Así, tenemos un segundo par {−5/14, 2/7}, pero ¿cuál es la suma de los recíprocos de estos dos números? Los recíprocos son −14/5 y 7/2, y su suma es
\[-\frac{14}{5}+\frac{7}{2}=-\frac{28}{10}+\frac{35}{10}=\frac{7}{10}\]
como lo exige la declaración del problema. De ahí que el par {−14/5, 7/2} sea también una solución.
Problemas de distancia, velocidad y tiempo
Cuando desarrollamos las Ecuaciones de Movimiento en el capítulo sobre funciones cuadráticas, mostramos que si un objeto se mueve con velocidad constante, entonces la distancia recorrida viene dada por la fórmula
\[d=v t\]
donde d representa la distancia recorrida, v representa la velocidad y t representa el tiempo de viaje.
Por ejemplo, si un automóvil viaja por una autopista a una velocidad constante de 50 millas por hora (50 mi/h) durante 4 horas (4 h), entonces viajará
\[\begin{aligned} d &=v t \\ d &=50 \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{h}} \times 4 \mathrm{h} \\ d &=200 \mathrm{mi} \end{aligned}\]
Pongamos esta relación a usar en algunas aplicaciones.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Un barco viaja a una velocidad constante de 3 millas por hora en agua sin gas. En un río con corriente desconocida, el barco tarda el doble en recorrer 60 millas río arriba (contra la corriente) de lo que se necesita para el viaje de regreso de 60 millas (con la corriente). ¿Cuál es la velocidad de la corriente en el río?
Solución
La velocidad de la embarcación en aguas tranquilas es de 3 millas por hora. Cuando el barco viaja aguas arriba, la corriente va en contra de la dirección en la que viaja el barco y trabaja para reducir la velocidad real de la embarcación. Cuando la embarcación viaja aguas abajo, entonces la velocidad real de la embarcación es su velocidad en agua sin gas incrementada por la velocidad de la corriente. Si dejamos que c represente la velocidad de la corriente en el río, entonces la velocidad de la embarcación aguas arriba (contra la corriente) es 3 − c, mientras que la velocidad de la embarcación aguas abajo (con la corriente) es 3 + c. Resumamos lo que sabemos en una tabla de distancia-velocidad-tiempo (ver Tabla\(\PageIndex{1}\)).
| d (mi) | v (mi/h) | t (h) | |
| Upstream | 60 | 3-c | ? |
| Downstream | 60 | 3+c | ? |
Aquí hay un consejo útil con respecto a la distancia, la velocidad y las tablas de tiempo.
Distancia, velocidad y tablas de tiempo
Debido a que la distancia, la velocidad y el tiempo están relacionados por la ecuación d = vt, siempre que tenga dos casillas en una fila de la tabla completadas, la tercera casilla de esa fila se puede calcular por medio de la fórmula d = vt.
Tenga en cuenta que cada fila de Tabla\(\PageIndex{1}\) tiene dos entradas ingresadas. La tercera entrada en cada fila es el tiempo. Resolver la ecuación d = vt para t para obtener
\[t=\frac{d}{v}\]
La relación t = d/v se puede utilizar para calcular la entrada de tiempo en cada fila de Table\(\PageIndex{1}\).
Por ejemplo, en la primera fila, d = 60 millas y v = 3 − c millas por hora. Por lo tanto, el tiempo de viaje es
\[t=\frac{d}{v}=\frac{60}{3-c}\]
Observe cómo hemos rellenado esta entrada en la Tabla\(\PageIndex{2}\). De manera similar, el tiempo para viajar aguas abajo se calcula con
\[t=\frac{d}{v}=\frac{60}{3+c}\]
También hemos agregado esta entrada a la columna de tiempo en Tabla\(\PageIndex{2}\).
| d (mi) | v (mi/h) | t (h) | |
| Upstream | 60 | 3-c | \(\frac{60}{3-c}\) |
| Downstream | 60 | 3+c | \(\frac{60}{3+c}\) |
Para establecer una ecuación, necesitamos usar el hecho de que el tiempo para viajar aguas arriba es el doble del tiempo para viajar aguas abajo. Esto lleva al resultado
\[\frac{60}{3-c}=2\left(\frac{60}{3+c}\right)\]
o equivalentemente,
\[\frac{60}{3-c}=\frac{120}{3+c}\]
Multiplique ambos lados por el denominador común, en este caso, (3 − c) (3 + c).
\[\begin{aligned}\color{blue}{(3-c)(3+c)}\left[\frac{60}{3-c}\right] &=\left[\frac{120}{3+c}\right]\color{blue}{(3-c)(3+c)} \\ 60(3+c) &=120(3-c) \end{aligned}\]
Expandir cada lado de esta ecuación.
\[180+60 c=360-120 c\]
Esta ecuación es lineal (ninguna potencia de c que no sea 1). De ahí que queremos aislar todos los términos que contengan c en un lado de la ecuación. Sumamos 120c a ambos lados de la ecuación, luego restamos 180 de ambos lados de la ecuación.
\[60 c+120 c=360-180\]
A partir de aquí, es sencillo de resolver para c.
\[\begin{aligned} 180 c &=180 \\ c &=1 \end{aligned}\]
De ahí que la velocidad de la corriente sea de 1 milla por hora.
Es importante verificar que la solución satisfaga las limitaciones de la declaración del problema.
- Si la velocidad de la embarcación en aguas sin gas es de 3 millas por hora y la velocidad de la corriente es de 1 milla por hora, entonces la velocidad de la embarcación aguas arriba (contra la corriente) será de 2 millas por hora. Se tardarán 30 horas en recorrer 60 millas a este ritmo.
- La velocidad de la embarcación a medida que va aguas abajo (con la corriente) será de 4 millas por hora. Se tardarán 15 horas en recorrer 60 millas a este ritmo.
Tenga en cuenta que el tiempo para viajar aguas arriba (30 horas) es el doble del tiempo para viajar aguas abajo (15 horas), por lo que nuestra solución es correcta.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Una lancha rápida puede recorrer 32 millas por hora en agua sin gas. Viaja 150 millas aguas arriba contra la corriente y luego regresa a la ubicación inicial. El tiempo total del viaje es de 10 horas. ¿Cuál es la velocidad de la corriente?
Solución
Que c represente la velocidad de la corriente. Al ir río arriba, el barco lucha contra la corriente, por lo que su velocidad neta es de 32−c millas por hora. En el viaje de regreso, el barco se beneficia de la corriente, por lo que su velocidad neta en el viaje de regreso es de 32 + c millas por hora. El viaje en cada sentido es de 150 millas. Hemos ingresado estos datos en la Tabla\(\PageIndex{3}\).
| d (mi) | v (mi/h) | t (h) | |
| Upstream | 150 | 32 − c | ? |
| Downstream | 150 | 32 + c | ? |
Resolviendo d = vt para el tiempo t,
\[t=\frac{d}{v}\]
En la primera fila de Table\(\PageIndex{3}\), tenemos d = 150 millas y v = 32 − c millas por hora. De ahí que el tiempo que tarda el barco en ir río arriba viene dado por
\[t=\frac{d}{v}=\frac{150}{32-c}\]
De igual manera, al examinar los datos en la segunda fila de la Tabla\(\PageIndex{3}\), el tiempo que tarda la embarcación en regresar aguas abajo a su ubicación inicial es
\[t=\frac{d}{v}=\frac{150}{32+c}\]
Estos resultados se ingresan en la Tabla\(\PageIndex{4}\).
| d (mi) | v (mi/h) | t (h) | |
| Upstream | 150 | 32 − c | 150/ (32 − c) |
| Downstream | 150 | 32 + c | 150/ (32 + c) |
Debido a que el tiempo total para ir upstream y regresar es de 10 horas, podemos escribir
\[\frac{150}{32-c}+\frac{150}{32+c}=10\]
Multiplica ambos lados por el denominador común (32 − c) (32 + c).
\[\begin{aligned}\color{blue}{(32-c)(32+c)}\left(\frac{150}{32-c}+\frac{150}{32+c}\right) &=10\color{blue}{(32-c)(32+c)} \\ 150(32+c)+150(32-c) &=10\left(1024-c^{2}\right) \end{aligned}\]
Podemos hacer los números un poco más pequeños al señalar que ambos lados de la última ecuación son divisibles por 10.
\[15(32+c)+15(32-c)=1024-c^{2}\]
Expandir, simplificar, hacer un lado cero, luego factorial.
\[\begin{aligned} 480+15 c+480-15 c &=1024-c^{2} \\ 960 &=1024-c^{2} \\ 0 &=64-c^{2} \\ 0 &=(8+c)(8-c) \end{aligned}\]
Usando la propiedad cero del producto, ya sea
\[8+c=0 \quad \text { or } \quad 8-c=0\]
proporcionando dos soluciones para la corriente,
\[c=-8 \quad \text { or } \quad c=8\]
Descartando la respuesta negativa (la velocidad es una cantidad positiva en este caso), la velocidad de la corriente es de 8 millas por hora.
¿Tiene sentido nuestra respuesta?
- Debido a que la velocidad de la corriente es de 8 millas por hora, el barco viaja 150 millas río arriba a una velocidad neta de 24 millas por hora. Esto tomará 150/24 o 6.25 horas.
- El barco viaja río abajo 150 millas a una velocidad neta de 40 millas por hora. Esto tomará 150/40 o 3.75 horas.
Tenga en cuenta que el tiempo total para ir aguas arriba y regresar es de 6.25 + 3.75, o 10 horas.
Veamos otra clase de problemas.
Problemas de trabajo
Una buena aplicación de funciones racionales implica la cantidad de trabajo que una persona (o equipo de personas) puede hacer en cierta cantidad de tiempo. Podemos manejar estas aplicaciones que involucran trabajo de manera similar al método que usamos para resolver problemas de distancia, velocidad y tiempo. Aquí está el principio rector.
Nota
La cantidad de trabajo realizado es igual al producto de la tasa a la que se realiza el trabajo y la cantidad de tiempo requerido para realizar el trabajo. Es decir,
\[\text { Work }=\text { Rate } \times \text { Time. }\]
Por ejemplo, supongamos que Emilia puede segar el césped a razón de 3 céspedes por hora. Después de 6 horas,
\[\text { Work }=3 \frac{\text { lawns }}{\mathrm{hr}} \times 6 \mathrm{hr}=18 \text { lawns. }\]
Un segundo concepto importante es el hecho de que las tarifas se suman. Por ejemplo, si Emilia puede segar el césped a razón de 3 céspedes por hora y Michele puede segar los mismos céspedes a una
tasa de 2 céspedes por hora, luego juntos pueden segar los céspedes a una tasa combinada de 5 céspedes por hora.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Bill puede terminar un reporte en 2 horas. María puede terminar el mismo reporte en 4 horas. ¿Cuánto tiempo les llevará terminar el reporte si trabajan juntos?
Solución
Un error común es que los tiempos se suman en este caso. Es decir, a Bill le toma 2 horas completar el reporte y a María le toma 4 horas completar el mismo reporte, por lo que si Bill y María trabajan juntos tardarán 6 horas en completar el reporte. Un poco de pensamiento revela que este resultado es una tontería. Claramente, si trabajan juntos, les llevará menos tiempo del que lleva Bill completar el reporte solo; es decir, el tiempo combinado seguramente será de menos de 2 horas.
No obstante, como vimos anteriormente, se sumarán las tarifas a las que están trabajando. Para aprovechar este hecho, configuramos lo que sabemos en una tabla de Trabajo, Tasa y Tiempo (ver Tabla\(\PageIndex{5}\)).
• Bill tarda 2 horas en completar 1 reporte. Esto se refleja en las entradas de la primera fila de la Tabla\(\PageIndex{5}\).
• A María le toma 4 horas completar 1 reporte. Esto se refleja en las entradas de la segunda fila de la Tabla\(\PageIndex{5}\).
• Que t represente el tiempo que les lleva completar 1 reporte si trabajan juntos. Esto se refleja en las entradas de la última fila de la Tabla\(\PageIndex{5}\).
| w (informes) | r (informes/h) | t (h) | |
| Bill | 1 | ? | 2 |
| María | 1 | ? | 4 |
| Juntos | 1 | ? | t |
Contamos con consejos similares a los que se dan para distancia, velocidad y horarios.
Tablas de Trabajo, Tarifas y Horarios
Debido a que el trabajo, la tasa y el tiempo están relacionados por la ecuación\[\text { Work }=\text { Rate } \times \text { Time }\] cada vez que se tienen dos casillas seguidas completadas, la tercera casilla de esa fila se puede calcular por medio de la relación\(\times\) Tiempo de\(=\) Tasa de Trabajo.
En el caso de Table\(\PageIndex{5}\), podemos calcular la tasa a la que Bill está trabajando resolviendo la ecuación\(=\) Tasa de Trabajo\(\times\) Tiempo para la Tasa, luego sustituir los datos de Bill de la fila uno de la Tabla\(\PageIndex{5}\).
\[Rate \(=\frac{\text { Work }}{\text { Time }}=\frac{1 \text { report }}{2 \mathrm{h}}\)\]
Por lo tanto, Bill está trabajando a razón de 1/2 reporte por hora. Observe cómo hemos ingresado este resultado en la primera fila de la Tabla 6. De igual manera, María está trabajando a una tasa de 1/4 reporte por hora, que también hemos ingresado en Tabla\(\PageIndex{6}\).
Hemos dejado que t represente el tiempo que les lleva escribir 1 informe si están trabajando juntos (ver Tabla\(\PageIndex{5}\)), por lo que el siguiente cálculo nos da la tasa combinada.
\[Rate \(=\frac{\text { Work }}{\text { Time }}=\frac{1 \text { report }}{t \mathrm{h}}\)\]
Es decir, juntos trabajan a razón de 1/t reportes por hora. Este resultado también se registra en la Tabla\(\PageIndex{6}\).
| w (informes) | r (informes/h) | t (h) | |
| Bill | 1 | 1/2 | 2 |
| María | 1 | 1/4 | 4 |
| Juntos | 1 | 1/t | t |
En nuestra discusión anterior, señalamos el hecho de que las tarifas suman. Así, la ecuación que buscamos se encuentra en la columna Tasa de Tabla\(\PageIndex{6}\). Bill está trabajando a razón de 1/2 reporte por hora y María está trabajando a una tasa de 1/4 reporte por hora. Por lo tanto, su tarifa combinada es de 1/2 + 1/4 reportes por hora. No obstante, la última fila de la Tabla\(\PageIndex{6}\) indica que la tasa combinada es también de 1/t reportes por hora. Por lo tanto,
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{t}\]
Multiplique ambos lados de esta ecuación por el denominador común 4t.
\[\begin{aligned}\color{blue}{(4 t)}\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right] &=\left[\frac{1}{t}\right]\color{blue}{(4 t)} \\ 2 t+t &=4 \end{aligned}\]
Esta ecuación es lineal (no hay potencia de t que no sea 1) y se resuelve fácilmente.
\[\begin{aligned} 3 t &=4 \\ t &=4 / 3 \end{aligned}\]
De esta manera, tardará 4/3 de hora en completar 1 reporte si Bill y María trabajan juntos.
Nuevamente, es muy importante que revisemos este resultado.
• Sabemos que Bill hace 1/2 informes por hora. En 4/3 de hora, Bill completará
\[\text { Work }=\frac{1}{2} \frac{\text { reports }}{\mathrm{h}} \times \frac{4}{3} \mathrm{h}=\frac{2}{3} \text { reports. }\]
Es decir, Bill completará 2/3 de un reporte.
• Sabemos que María hace 1/4 informes por hora. En 4/3 de hora, María completará
\[\text { Work }=\frac{1}{4} \frac{\text { reports }}{\mathrm{h}} \times \frac{4}{3} \mathrm{h}=\frac{1}{3} \mathrm{reports}\]
Es decir, María completará 1/3 de un reporte.
Claramente, trabajando juntos, Bill y María completarán 2/3 + 1/3 informes, es decir, un informe completo.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
Liya tarda 7 horas más en pintar una cocina de lo que le toma a Hank completar el mismo trabajo. Juntos, pueden completar el mismo trabajo en 12 horas. ¿Cuánto tiempo le toma a Hank completar el trabajo si trabaja solo?
Solución
Que H represente el tiempo que le toma a Hank completar el trabajo de pintar la cocina cuando trabaja solo. Debido a que le toma a Liya 7 horas más que a Hank, deja que H + 7 represente el tiempo que le toma a Liya pintar la cocina cuando trabaja sola. Esto lleva a las entradas en la Tabla\(\PageIndex{7}\).
| w (cocinas) | r (cocinas/h) | t (h) | |
| Hank | 1 | ? | H |
| Liya | 1 | ? | H+7 |
| Juntos | 1 | ? | 12 |
Podemos calcular la velocidad a la que Hank está trabajando solo resolviendo la ecuación\(=\) Tasa de Trabajo\(\times\) Tiempo para la Tasa, luego sustituyendo los datos de Hank de la fila uno de la Tabla\(\PageIndex{7}\).
\[\text { Rate }=\frac{\text { Work }}{\text { Time }}=\frac{1 \text { kitchen }}{H \text { hour }}\]
Así, Hank está trabajando a razón de 1/H cocinas por hora. De igual manera, Liya está trabajando a razón de 1/ (H + 7) cocinas por hora. Debido a que les toma 12 horas completar la tarea cuando trabajan juntos, su tarifa combinada es de 1/12 cocinas por hora. Cada una de estas tarifas se ingresa en la Tabla\(\PageIndex{8}\).
| w (cocinas) | r (cocinas/h) | t (h) | |
| Hank | 1 | 1/H | H |
| Liya | 1 | 1/H+7 | H+7 |
| Juntos | 1 | 1/12 | 12 |
Debido a que las tarifas suman, podemos escribir
\[\frac{1}{H}+\frac{1}{H+7}=\frac{1}{12}\]
Multiplique ambos lados de esta ecuación por el denominador común 12H (H + 7).
\[\begin{aligned} \color{blue}{12 H(H+7)}\left(\frac{1}{H}+\frac{1}{H+7}\right) &=\left(\frac{1}{12}\right)\color{blue}{12 H(H+7)} \\ 12(H+7)+12 H &=H(H+7) \end{aligned}\]
Ampliar y simplificar.
\[\begin{aligned} 12 H+84+12 H &=H^{2}+7 H \\ 24 H+84 &=H^{2}+7 H \end{aligned}\]
Esta última ecuación es no lineal, así que haz un lado cero restando 24H y 84 de ambos lados de la ecuación.
\[\begin{array}{l}{0=H^{2}+7 H-24 H-84} \\ {0=H^{2}-17 H-84}\end{array}\]
Tenga en cuenta que ac = (1) (−84) = −84. El par entero {4, −21} tiene el producto −84 y se suma a −17. Por lo tanto,
\[0=(H+4)(H-21)\]
Usando la propiedad cero del producto, ya sea
\[H+4=0 \quad \text { or } \quad H-21=0\]
llevando a las soluciones
\[H=-4 \quad \text { or } \quad H=21\]
Eliminamos de consideración la solución H = −4 (no le toma tiempo negativo a Hank pintar la cocina), por lo que concluimos que le toma a Hank 21 horas pintar la cocina.
¿Tiene sentido nuestra solución?
- Hank tarda 21 horas en completar la cocina, por lo que está terminando 1/21 de la cocina por hora.
- Liya tarda 7 horas más que Hank en completar la cocina, es decir, 28 horas, por lo que está terminando 1/28 de la cocina por hora.
Juntos, están trabajando a un ritmo combinado de
\[\frac{1}{21}+\frac{1}{28}=\frac{4}{84}+\frac{3}{84}=\frac{7}{84}=\frac{1}{12}\]
o 1/12 de una cocina por hora. Esto concuerda con la tasa combinada en la Tabla\(\PageIndex{8}\).
Ejercicio
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
La suma de los recíprocos de dos enteros impares consecutivos es\(−\frac{16}{63}\). Encuentra los dos números.
- Responder
-
−9, −7
Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
La suma de los recíprocos de dos enteros impares consecutivos es\(\frac{28}{195}\). Encuentra los dos números.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
La suma de los recíprocos de dos enteros consecutivos es\(−\frac{19}{90}\). Encuentra los dos números.
- Responder
-
−10, −9
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
La suma de un número y su recíproco es\(\frac{41}{20}\). Encuentra el (los) número (s).
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
La suma de los recíprocos de dos enteros pares consecutivos es\(\frac{5}{12}\). Encuentra los dos números.
- Responder
-
4, 6
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
La suma de los recíprocos de dos enteros consecutivos es\(\frac{19}{90}\). Encuentra los dos números.
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
La suma de un número y el doble de su recíproco es\(\frac{9}{2}\). Encuentra el (los) número (s).
- Responder
-
\(\frac{1}{2}\), 4
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
La suma de un número y su recíproco es\(\frac{5}{2}\). Encuentra el (los) número (s).
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
La suma de los recíprocos de dos enteros pares consecutivos es\(\frac{11}{60}\). Encuentra los dos números.
- Responder
-
10, 12
Ejercicio\(\PageIndex{10}\)
La suma de un número y el doble de su recíproco es\(\frac{17}{6}\). Encuentra el (los) número (s).
Ejercicio\(\PageIndex{11}\)
La suma de los recíprocos de dos números es\(\frac{15}{8}\), y el segundo número es 2 mayor que el primero. Encuentra los dos números.
- Responder
-
{\(\frac{2}{3}\),\(\frac{8}{3}\)} y {\(−\frac{8}{5}\),\(\frac{2}{5}\)}
Ejercicio\(\PageIndex{12}\)
La suma de los recíprocos de dos números es\(\frac{16}{15}\), y el segundo número es 1 mayor que el primero. Encuentra los dos números.
Ejercicio\(\PageIndex{13}\)
Moira puede remar su kayak a una velocidad de 2 mph en aguas tranquilas. Ella rema 3 millas río arriba contra la corriente y luego regresa a la ubicación de salida. El tiempo total del viaje es de 9 horas. ¿Cuál es la velocidad (en mph) de la corriente? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
- Responder
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1. 63 mph
Ejercicio\(\PageIndex{14}\)
Boris es kayak en un río con una corriente de 6 mph. Supongamos que puede hacer kayak 4 millas río arriba en la misma cantidad de tiempo que le lleva hacer kayak 9 millas río abajo. Encuentra la velocidad (mph) del kayak de Boris en aguas tranquilas.
Ejercicio\(\PageIndex{15}\)
Jacob puede remar su kayak a una velocidad de 6 mph en aguas tranquilas. Rema 5 millas río arriba contra la corriente y luego regresa a la ubicación de salida. El tiempo total del viaje es de 5 horas. ¿Cuál es la velocidad (en mph) de la corriente? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
- Responder
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4. 90 mph
Ejercicio\(\PageIndex{16}\)
Boris puede remar su kayak a una velocidad de 6 mph en aguas tranquilas. Si puede remar 5 millas río arriba en la misma cantidad de tiempo que le toma remar 9 millas río abajo, ¿cuál es la velocidad de la corriente?
Ejercicio\(\PageIndex{17}\)
Jacob está haciendo piragüismo en un río con una corriente de 5 mph. Supongamos que puede canoa 4 millas río arriba en la misma cantidad de tiempo que le lleva canoa 8 millas río abajo. Encuentra la velocidad (mph) de la canoa de Jacob en aguas tranquilas.
- Responder
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15 mph
Ejercicio\(\PageIndex{18}\)
La velocidad de un tren de carga es 16 mph más lenta que la velocidad de un tren de pasajeros. El tren de pasajeros recorre 518 millas al mismo tiempo que el tren de carga recorre 406 millas. Encuentra la velocidad del tren de carga.
Ejercicio\(\PageIndex{19}\)
La velocidad de un tren de carga es 20 mph más lenta que la velocidad de un tren de pasajeros. El tren de pasajeros recorre 440 millas al mismo tiempo que el tren de carga recorre 280 millas. Encuentra la velocidad del tren de carga.
- Responder
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35 mph
Ejercicio\(\PageIndex{20}\)
Emily puede remar su canoa a una velocidad de 2 mph en aguas tranquilas. Ella rema 5 millas río arriba contra la corriente y luego regresa a la ubicación de salida. El tiempo total del viaje es de 6 horas. ¿Cuál es la velocidad (en mph) de la corriente? Redondea tu respuesta a la centésima más cercana.
Ejercicio\(\PageIndex{21}\)
Jacob está haciendo piragüismo en un río con una corriente de 2 mph. Supongamos que puede ca- noe 2 millas río arriba en la misma cantidad de tiempo que le lleva canoa 5 millas río abajo. Encuentra la velocidad (mph) de la canoa de Jacob en aguas tranquilas.
- Responder
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\(\frac{14}{3}\)mph
Ejercicio\(\PageIndex{22}\)
Moira puede remar su kayak a una velocidad de 2 mph en aguas tranquilas. Si puede remar 4 millas río arriba en la misma cantidad de tiempo que le lleva remar 8 millas río abajo, ¿cuál es la velocidad de la corriente?
Ejercicio\(\PageIndex{23}\)
Boris puede remar su kayak a una velocidad de 6 mph en aguas tranquilas. Si puede remar 5 millas río arriba en la misma cantidad de tiempo que le toma remar 10 millas río abajo, ¿cuál es la velocidad de la corriente?
- Responder
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2 mph
Ejercicio\(\PageIndex{24}\)
La velocidad de un tren de carga es 19 mph más lenta que la velocidad de un tren de pasajeros. El tren de pasajeros recorre 544 millas al mismo tiempo que el tren de carga recorre 392 millas. Encuentra la velocidad del tren de carga.
Ejercicio\(\PageIndex{25}\)
Jean tarda 15 horas más en completar un reporte de inventario que a Sanjay. Si trabajan juntos, les toma 10 horas. ¿Cuántas horas le tomaría a Sanjay si trabajara solo?
- Responder
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15 mph
Ejercicio\(\PageIndex{26}\)
Jean puede pintar una habitación en 5 horas. A Amelie le toma 10 horas pintar la misma habitación. ¿Cuántas horas tardarán si trabajan juntos?
Ejercicio\(\PageIndex{27}\)
Amelie tarda 18 horas más en completar un reporte de inventario que a Jean. Si trabajan juntos, les toma 12 horas. ¿Cuántas horas le tomaría a Jean si trabajara sola?
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18 mph
Ejercicio\(\PageIndex{28}\)
Sanjay puede pintar una habitación en 5 horas. A Amelie le toma 9 horas pintar la misma habitación. ¿Cuántas horas tardarán si trabajan juntos?
Ejercicio\(\PageIndex{29}\)
Ricardo tarda 12 horas más en completar un reporte de inventario que a Sanjay. Si trabajan juntos, les toma 8 horas. ¿Cuántas horas le tomaría a Sanjay si trabajara solo?
- Responder
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12 mph
Ejercicio\(\PageIndex{30}\)
Ricardo tarda 8 horas más en completar un reporte de inventario que a Amelie. Si trabajan juntos, les toma 3 horas. ¿Cuántas horas le tomaría a Amelie si trabajara sola?
Ejercicio\(\PageIndex{31}\)
Jean puede pintar una habitación en 4 horas. Sanjay tarda 7 horas en pintar la misma habitación. ¿Cuántas horas tardarán si trabajan juntos?
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\(\frac{28}{11}\)mph
Ejercicio\(\PageIndex{32}\)
Amelie puede pintar una habitación en 5 horas. Sanjay tarda 9 horas en pintar la misma habitación. ¿Cuántas horas tardarán si trabajan juntos?