8.8: Temas adicionales

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Computación de grandes potencias

Los logaritmos se utilizaron originalmente para calcular grandes productos y potencias. Antes de la era de las calculadoras y las computadoras, los estudiantes de matemáticas pasaban muchas horas aprendiendo y practicando estos procedimientos. En tiempos actuales, la mayoría de estos cálculos se pueden hacer fácilmente en una calculadora, por lo que el uso original de logaritmos generalmente ya no se enseña.

Sin embargo, las calculadoras siguen siendo limitadas. No pueden computar grandes potencias como\(253^{789}\) (¡pruébalo!) , y la mayoría de los programas de computadora tampoco pueden (todas esas herramientas tienen un límite en el tamaño de los cálculos que pueden realizar).

Entonces, ¿cómo podemos calcular grandes potencias como estas? La idea es utilizar nuestro conocimiento de las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales. Aquí está el procedimiento:

Primero, deja\(y = 253^{789}\), y toma el tronco de ambos lados:
\(log(y) = log(253^{789})\)
= 789 log (253) (propiedad de los registros)
\(\approx 1896.062091\) (aproximación de la calculadora)
Ahora la idea es exponenciar ambos lados, usando la función\(10^x\). Sin embargo, tu calculadora aún no puede calcular\(10^{1896.062091}\) (pruébalo). Así que ahora separamos la parte entera, y nuestra respuesta final estará en notación científica:
\(y = 10^{log(y)} = 10^{1896.062091} = 10^{1896+0.062091} = 10^{1896} \cdot 10^{0.062091} \approx 10^{1896} \cdot 1.153694972\)(aproximación de la calculadora)

Así, la respuesta final es aproximadamente\(1.153695 \cdot 10^{1896}\). Aquí hay un ejemplo adicional:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Calcula el valor\(2^{400}\) y expresa tu respuesta en notación científica.

Dejar\(y = 2^{400}\), y tomar el tronco de ambos lados:
\(log(y) = log(2^{400})\)
= 400 log (2) (propiedad de los registros)
\(\approx 120.4119983\) (aproximación de la calculadora)
Exponenciar ambos lados, usando la función\(10^x\) y separando la parte entera del exponente:
\(y = 10^{log(y)} = 10^{120.4119983} = 10^{120+4119983} = 10^{120} \cdot 10^{0.4119983}\)

\(\approx 10120 \cdot 2.582250083\)(aproximación de la calculadora)

La respuesta final es aproximadamente\(2.582250 \cdot 10^{120}\).

Ejercicio

En Ejercicios 1 - 10, computar el valor de la expresión. Exprese su respuesta en notación científica\(c \cdot 10^{n}\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(131^{808}\)

Contestar: \(5.691 \cdot 10^{1710}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(132^{759}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(148^{524}\)

Contestar: \(1.649 \cdot 10^{1137}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(143^{697}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(187^{642}\)

Contestar: \(3.329 \cdot 10^{1458}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(198^{693}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(162^{803}\)

Contestar: \(1.740 \cdot 10^{1774}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(142^{569}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(134^{550}\)

Contestar: \(8.084 \cdot 10^{1169}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(153^{827}\)