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8.5: Funciones logarítmicas

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ahora podemos aplicar la teoría de la función inversa de la sección anterior a la función exponencial. De la Sección 8.2, sabemos que la funciónf(x)=bx está aumentando (si b > 1) o decreciente (si 0 < b < 1), y por lo tanto es uno a uno. En consecuencia, f tiene una función inversaf1.

Como ejemplo, consideremos la función exponencialf(x)=2x. f está aumentando, tiene dominioDf=(,) y rangoRf=(0,). Su gráfica se muestra en la Figura 1 (a). El gráfico de la función inversaf1 es un reflejo de la gráfica de f a través de la línea y = x, y se muestra en la Figura 1 (b). Dado que los dominios y rangos se intercambian, el dominio de la función inversa esDf1=(0,) y el rango esRf1=(,).

Screen Shot 2019-08-13 a las 3.15.16 PM.png
Figura 1. Las gráficas def(x)=2x y su inversaf1(x) son reflexiones a través de la línea y = x.

Desafortunadamente, cuando tratamos de utilizar el procedimiento dado en la Sección 8.4 para encontrar una fórmula paraf1, nos encontramos con un problema. Comenzando cony=2x, luego intercambiamos x e y para obtenerx=2y. Pero ahora no tenemos ningún método algebraico para resolver esta última ecuación para y Se deduce que la inversa de nof(x)=2x tiene ninguna fórmula que involucre las operaciones aritméticas habituales y las funciones con las que estamos familiarizados. Así, la función inversa es una función nueva. El nombre de esta nueva función es el logaritmo de x a base 2, y se denota porf1(x)=log2(x).

Recordemos que la relación definitoria entre una función y su inversa (Propiedad 14 en la Sección 8.4) simplemente establece que las entradas y salidas de las dos funciones son intercambiadas. Así, la relación entre2x y su inversalog2(x) toma la siguiente forma:

v=log2(u)u=2v

De manera más general, para cada función exponencialf(x)=bx (b > 0,b1), la función inversaf1(x) se denomina logaritmo de x a base b, y se denota porlogb(x). La relación definitoria se da en la siguiente definición.

Definición8.5.1

Si b > 0 yb1, entonces el logaritmo de u a base b se define por la relación

v=logb(u)u=bv. (2)

Para entender mejor la función logaritmo, trabajemos a través de algunos ejemplos simples.

Ejemplo8.5.3

log2(8)Cómplese.

Contestar

Etiquetar el valor requerido por v, entoncesv=log2(8). Entonces por (2), usando b = 2 y u = 8, se deduce eso2v=8, y por lo tanto v = 3 (resolviendo por inspección).

En el último ejemplo, tenga en cuenta quelog2(8)=3 is the exponent v tal que2v=8. Así, en general, una manera de interpretar la definición del logaritmo en (2) es quelogb(u) es el exponente v tal quebv=u. En otras palabras, ¡el valor del logaritmo es el exponente!

Ejemplo8.5.4

log10(10000)Cómplese.

Contestar

Nuevamente, etiquetar el valor requerido por v, entoncesv=log10(10000). Por (2), se deduce que10v=10000, y por lo tanto v = 4. Tenga en cuenta que aquí nuevamente hemos encontrado el exponente v = 4 que se necesita para la base 10 para poder obtener10v=10000.

Ejemplo8.5.5

log3(19)Cómplese.

Contestar

v=log3(19)

3v=19por (2)

v=2desde32=19

Ejemplo8.5.6

Resuelve la ecuaciónlog5(x)=1.

Contestar

log5(x)=1

51=xpor (2)

x=5

Ejemplo8.5.7

Resuelve la ecuaciónlogb(64)=3 para b.

Contestar

logb(64)=3

b3=64por (2)

b=364=4

Ejemplo8.5.8

Resuelve la ecuaciónlog12(x)=2.

Contestar

log12(x)=2

(12)2=xpor (2)

1(12)2=114=4

Las relaciones de composición en el Bien 15 de la Sección 8.4, aplicadas abx ylogb(x), se convierten

PROPIEDAD8.5.9

logb(bx)=x

y

blogb(x)=x.

Ambas ecuaciones son importantes. Tenga en cuenta que Ecuatio n\ ref {11} ag ain muestra que ellogb(x) es el exponente v tal quebv=x. Equatio n\ ref {10} se utilizará frecuentemente en esta y posteriores secciones para ayudarnos a resolver ecuaciones exponenciales.

Las funciones logarítmicas se utilizan en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería. Por ejemplo, se utilizan para definir la escala de Richter para las magnitudes de los terremotos, la escala de decibelios para la sonoridad del sonido y la escala astronómica para el brillo estelar. También son herramientas importantes para su uso en computación (como veremos en la Sección 8.8). Nuestro principal uso de logaritmos en este libro de texto será resolver ecuaciones exponenciales, y con ello ayudarnos a estudiar fenómenos físicos que son descritos por funciones exponenciales (como en la Sección 8.7).

Logaritmos de Computación

En los Ejemplos 38 anteriores, pudimos calcular los logaritmos mediante la conversión a ecuaciones exponenciales que podrían resolverse por inspección. Pero es fácil ver que la mayor parte del tiempo esto no va a funcionar. Por ejemplo, ¿cómo calcularíamos el valor delog2(7)?

Afortunadamente, los matemáticos han encontrado otros métodos para computar logaritmos con alta precisión, y ahora se pueden aproximar fácilmente usando una calculadora o computadora.

Su calculadora tiene botones incorporados para computar dos logaritmos diferentes,log10(x) yloge(x). log10(x)se llama logaritmo común, yloge(x) se llama logaritmo natural.

Logaritmo Común: El logaritmo comúnlog10(x) se calcula usando el LogButton en su calculadora. Observe también que su función inversa10x, puede calcularse usando el mismo botón en conjunto con el botón 2ND. El logaritmo común suele ser el más conveniente de usar para cálculos que involucran notación científica (porque usamos un sistema numérico base 10), y por lo tanto es el logaritmo más utilizado en las ciencias físicas. Debido a eso, a menudo solo se abrevia por log (x), y lo haremos también en el resto del texto.

LOARITMO COMÚN

log (x) ylog10(x) son anotaciones equivalentes. Así, tenemos la relación definitoria

v=log(u)u=10v.

Las propiedades de composición para el logaritmo común son

log(10x)=x(12)

y

10log(x)=x.

Logaritmo Natural: El logaritmo natural\(log_{e}(x)\) is computed using the LNbutton on your calculator. Its inverse function, ex, se calcula utilizando el mismo botón en conjunto con el botón 2ND. El logaritmo natural resulta ser el más conveniente de usar en matemáticas, porque muchas fórmulas, especialmente en el cálculo, son mucho más simples cuando se usa el logaritmo natural. El logaritmo natural es abreviado por ln (x).

LOARITMO NATURAL

ln (x) yloge(x) son anotaciones equivalentes. Así, tenemos la relación definitoria

v=ln(u)u=ev.

Las propiedades de composición para el logaritmo común son

ln(ex)=x

y

eln(x)=x\lable14

Tenga en cuenta que al usar su calculadora para calcular log (x) y ln (x), generalmente solo obtendrá valores aproximados, ya que estos valores frecuentemente son números irracionales.

¿Qué pasa con otras bases? También puedes calcularlos en tu calculadora, pero primero necesitaremos desarrollar el Cambio de Fórmula Base en la siguiente sección. Sin embargo, en este punto, podemos al menos resolver ecuaciones exponenciales que involucran las bases 10 y e, como se muestra en los siguientes dos ejemplos.

Ejemplo8.5.14

Resuelve la ecuación704=2(10)x.

Contestar

El primer paso es aislar lo exponencial en el lado derecho dividiendo ambos lados por 2:

352=10x

Luego simplemente aplique lalog10(x) función a ambos lados de la ecuación:

log10(352)=log10(10x)

Pero (10) eso implicalog10(10x)=x. Por lo tanto,x=log10(352)=log(352) es la solución exacta. El valor aproximado, utilizando una calculadora, es 2.546542663 (ver Figura 2). Alternativamente, en lugar de tomar el logaritmo de ambos lados en el segundo paso, se puede aplicar (2) a la ecuación352=10x para obtenerx=log10(352).

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Figura 2. Aproximación delog(352)=log10(352).

Este último ejemplo muestra cómo se pueden utilizar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. La estrategia básica es aislar primero lo exponencial en un lado de la ecuación, y luego tomar logaritmos apropiados de ambos lados. Aquí hay un ejemplo más por ahora, y luego volveremos a este proceso repetidamente en las secciones restantes, especialmente cuando trabajamos con problemas de aplicación.

Ejemplo8.5.15

Resuelve la ecuación30=20ex.

Contestar

Primero aísle el exponencial en el lado derecho dividiendo ambos lados por 20:

1.5=ex

Esta vez, dado que la base de la función exponencial es e, aplique la función logaritmo natural a ambos lados:

loge(1.5)=loge(ex)

Simplifica el lado derecho, ya queloge(ex)=x por (10):

loge(1.5)=x

Por lo tanto,x=loge(1.5)=ln(1.5) es la solución exacta. El valor aproximado, utilizando una calculadora, es 0.4054651081 (ver Figura 3).

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Figura 3. Aproximación deln1.5=loge(1.5).

En la siguiente sección, aprenderemos a resolver ecuaciones exponenciales que involucran otras bases.

Gráficas de funciones logarítmicas

Al inicio de esta sección, observamos las gráficas def(x)=2x y su función inversaf1(x)=log2(x). De manera más general, la gráfica de la función exponencialf(x)=bx para b > 1 se muestra en la Figura 4 (a), junto con su función logarítmica inversaf1(x)=logb(x). De acuerdo con la Sección 8.4, las dos gráficas son reflexiones a través de la línea y = x Del mismo modo, la gráfica para 0 < b < 1 se muestra en la Figura 4 (b).

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Figura 4. Las gráficas def(x)=bx yf1(x)=logb(x) son reflexiones a través de la línea y = x.

Debido a que se intercambian dominios y rangos de funciones inversas, se deduce que

PROPIEDAD8.5.16

Domain(logb(x))=(0,)

y

Range(logb(x))=(,).

En particular, señalar que el logaritmo de un número negativo, así como el logaritmo de 0, no están definidos.

Dos puntos particulares en la gráfica del logaritmo son dignos de mención. Ya queb0=1, se deduce quelogb(1)=0, y por lo tanto la intersección x de la gráfica delogb(x) es (1, 0). De igual manerab1=b, ya que, se deduce quelogb(b)=1, y por lo tanto (b, 1) está en la gráfica.

PROPIEDAD8.5.17

logb(1)=0

y

logb(b)=1

Finalmente, dado que la gráfica debx tiene una asíntota horizontal y = 0, la gráfica delogb(x) debe tener una asíntota vertical x = 0. Este comportamiento es consecuencia de que se intercambian entradas y salidas de funciones inversas, y se puede observar en la Figura 4.

En el ejemplo final a continuación, aplicaremos una transformación al logaritmo y veremos cómo eso afecta a la gráfica.

Ejemplo8.5.18

Trazar la gráfica de la funciónf(x)=log2(x+1).

Contestar

La gráfica def(x)=log2(x+1) será la misma que la gráfica deg(x)=log2(x) desplazada una unidad a la izquierda. La gráfica de g se muestra en la Figura 1 (b). La intercepción x (1, 0) en la gráfica de g se desplazará una unidad a la izquierda a (0,0) en la gráfica de f. Asimismo, la asíntota vertical x = 0 en la gráfica de g se desplazará una unidad a la izquierda a la línea x = −1 en la gráfica de f. La gráfica final de f se muestra en la Figura 5.

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Figura 5. La gráfica def(x)=log2(x+1).

Ejercicio

En Ejercicios 1 - 18, encuentra el valor exacto de la función en el valor dado b.

Ejercicio8.5.1

f(x)=log3(x);b=53.

Contestar

15

Ejercicio8.5.2

f(x)=log5(x); b = 3125.

Ejercicio8.5.3

f(x)=log2(x);b=116.

Contestar

−4

Ejercicio8.5.4

f(x)=log2(x); b = 4.

Ejercicio8.5.5

f(x)=log5(x); b = 5.

Contestar

1

Ejercicio8.5.6

f(x)=log2(x); b = 8.

Ejercicio8.5.7

f(x)=log2(x); b = 32.

Contestar

5

Ejercicio8.5.8

f(x)=log4(x);b=116.

Ejercicio8.5.9

f(x)=log5(x);b=13125.

Contestar

−5

Ejercicio8.5.10

f(x)=log5(x);b=125.

Ejercicio8.5.11

f(x)=log5(x);b=65.

Contestar

16

Ejercicio8.5.12

f(x)=log3(x);b=33.

Ejercicio8.5.13

f(x)=log6(x);b=66.

Contestar

16

Ejercicio8.5.14

f(x)=log5(x);b=55.

Ejercicio8.5.15

f(x)=log2(x);b=62.

Contestar

16

Ejercicio8.5.16

f(x)=log4(x);b=14.

Ejercicio8.5.17

f(x)=log3(x);b=19.

Contestar

−2

Ejercicio8.5.18

f(x)=log4(x); b = 64.

En Ejercicios 19 - 26, utilice una calculadora para evaluar la función al valor dado p. Redondee su respuesta a la centésima más cercana.

Ejercicio8.5.19

f (x) = ln (x); p = 10.06.

Contestar

2. 31

Ejercicio8.5.20

f (x) = ln (x); p = 9.87.

Ejercicio8.5.21

f (x) = ln (x); p = 2.40.

Contestar

0.88

Ejercicio8.5.22

f (x) = ln (x); p = 9.30.

Ejercicio8.5.23

f (x) = log (x); p = 7.68.

Contestar

0.89

Ejercicio8.5.24

f (x) = log (x); p = 652.22.

Ejercicio8.5.25

f (x) = log (x); p = 6.47.

Contestar

0.81

Ejercicio8.5.26

f (x) = log (x); p = 86.19.

En los Ejercicios 27 - 34, resuelve la ecuación dada, y redondear tu respuesta a la centésima más cercana.

Ejercicio8.5.27

13=e8x

Contestar

0.32

Ejercicio8.5.28

2=8ex

Ejercicio8.5.29

19=108x

Contestar

0.16

Ejercicio8.5.30

17=102x

Ejercicio8.5.31

7=6(10)x

Contestar

0.07

Ejercicio8.5.32

7=e9x

Ejercicio8.5.33

13=8ex

Contestar

0.49

Ejercicio8.5.34

5=7(10)x

En los Ejercicios 35 - 42 se muestra la gráfica de una función logarítmica def(x)=logb(xa) la forma. La línea roja discontinua es una asíntota vertical. Determinar el dominio de la función. Exprese su respuesta en notación de intervalos.

Ejercicio8.5.35

Screen Shot 2019-08-13 a las 5.37.13 PM.png

Contestar

(0,)

Ejercicio8.5.36

Screen Shot 2019-08-13 a las 5.40.03 PM.png

Ejercicio8.5.37

Screen Shot 2019-08-13 a las 5.41.17 PM.png

Contestar

(1,)

Ejercicio8.5.38

Screen Shot 2019-08-13 a las 5.42.46 PM.png

Ejercicio8.5.39

Screen Shot 2019-08-13 a las 5.44.43 PM.png

Contestar

(0,)

Ejercicio8.5.40

Screen Shot 2019-08-13 a las 5.45.38 PM.png

Ejercicio8.5.41

Screen Shot 2019-08-13 a las 5.46.55 PM.png

Contestar

(3,)

Ejercicio8.5.42

Screen Shot 2019-08-13 a las 5.47.29 PM.png


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