4.2: Sistemas de Ecuaciones - El Método de Sustitución
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Resolver un sistema graficando tiene sus limitaciones. Primero, requiere que la gráfica se dibuje con precisión. Si las líneas no se dibujan correctamente, es posible obtener el punto de intersección incorrecto. Segundo, la gráfica no es un método suficiente para usar si el punto de intersección está lejos del origen, como el par ordenado (12567, 9832), o si la respuesta es un decimal (o número irracional) que la gráfica no mostrará bien. Por estas razones, rara vez usamos la gráfica para resolver sistemas. En cambio, utilizamos un enfoque algebraico. Hay dos enfoques y el primero se llama sustitución. Construimos los conceptos de sustitución a través de varios ejemplos y luego concluimos con un proceso general de cuatro pasos para resolver problemas utilizando este método.
Introducción a la Sustitución
Resolver el sistema de ecuaciones.
\[\left\{\begin{array}{l}x=5 \\ y=2x-3\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Nos dan\(x = 5\) en la primera ecuación. Por lo tanto, podemos enchufar y chug\(x = 5\) en la segunda ecuación para encontrar\(y\) porque sabemos que cualquier par ordenado con la\(x\) coordenada 5 satisfará la ecuación:
\[\begin{array}{rl}y=2x-3&\text{Plug-n-chug }x=5 \\ y=2\color{blue}{(5)}\color{black}{}-3&\text{Evaluate} \\ y=10-3&\text{Subtract} \\ y=7&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Ya que se da\(x = 5\) y se obtiene\(y = 7\), entonces la solución al sistema es el par ordenado\((5, 7)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, se cruzarían en\((5, 7)\).
El Método de Sustitución
Cuando se nos da la solución a una de las dos variables, podemos enchufar fácilmente ese valor (o expresión) en la otra ecuación para obtener el valor de la segunda variable. Es muy importante que cuando sustituimos, escribamos paréntesis alrededor de la expresión que estamos sustituyendo; esto minimizará los errores con la distribución.
Resolver el sistema por sustitución.
\[\left\{\begin{array}{l}2x-3y=7 \\ y=3x-7\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Podemos ver que\(y\) está aislado en la segunda ecuación,\(y = 3x − 7\), y podemos sustituir el lado derecho por\(y\) en la primera ecuación.
\[\begin{array}{rl}2x-3y=7&\text{Plug-n-chug }y=3x-7&\text{ into the first equation} \\ 2x-3\color{blue}{(3x-7)}\color{black}{}=7&\text{Distribute} \\ 2x-9x+21=7&\text{Combine like terms} \\ -7x+21=7&\text{Isolate the variable term} \\ -7x=-14&\text{Multiply by the reciprocal of }-7 \\ x=2&x\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Desde\(x = 2\) entonces podemos enchufar y chug\(x = 2\) en una de las ecuaciones para obtener\(y\):
\[\begin{array}{rl}y=3x-7&\text{Plug-n-chug }x=2 \\ y=3\color{blue}{(2)}\color{black}{}-7&\text{Evaluate} \\ y=6-7&\text{Subtract} \\ y=-1&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
La solución al sistema es el par pedido\((2, −1)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que se cruzarían en\((2, −1)\). Cuando obtenemos una solución a un sistema, llamamos a este sistema un sistema consistente. Cuando obtenemos un par ordenado como solución al sistema, llamamos a esta solución una solución independiente.
Dado un sistema de ecuaciones,
- Si existe al menos una solución para el sistema, entonces este es un sistema consistente.
- Si el sistema consistente tiene una solución única, es decir, la solución es un par ordenado, entonces este es un sistema independiente.
- Si el sistema consistente tiene más de una solución, es decir, hay infinitamente muchas soluciones, entonces este es un sistema dependiente.
- Si no existe una solución al sistema, es decir, no hay solución, entonces este es un sistema inconsistente.
Resolver para una variable
Resolver el sistema por sustitución:
\[\left\{\begin{array}{l}3x+2y=1 \\ x-5y=6\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Observe que ninguna de las ecuaciones tiene\(y\) o\(x\) aislado. De ahí que tendremos que escoger una ecuación y una variable, y resolver para esa variable en esa ecuación. Siempre queremos trabajar de manera más inteligente, no más difícil, así que seamos inteligentes al elegir la ecuación y la variable. Al observar la primera ecuación, hay un coeficiente frente a cada variable. Mirando la segunda ecuación, vemos que solo el\(y\) tiene un coeficiente distinto a 1, y\(x\) el coeficiente's es uno. Escojamos esto porque resolver for\(x\) es una ecuación de un solo paso mientras que la otra es una ecuación de dos pasos.
\[\begin{aligned}x-5y&=6 \\ x&=6+5y\end{aligned}\]
Ahora, podemos sustituir\(x\) en la primera ecuación:
\[\begin{array}{rl}3x+2y=1&\text{Plug-n-chug }x=6+5y \\ 3\color{blue}{(6+5y)}\color{black}{}+2y=1&\text{Distribute} \\ 18+15y+2y=1&\text{Combine like terms} \\ 18+17y=1&\text{Isolate the variable term} \\ 17y=-17&\text{Multiply by the reciprocal of }17 \\ y=-1&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Desde\(y = −1\) entonces podemos enchufar y chug\(y = −1\) en una de las ecuaciones para obtener\(x\):
\[\begin{array}{rl}x=6+5y &\text{Plug-n-chug }y=-1 \\ x=6+5\color{blue}{(-1)}\color{black}{}&\text{Evaluate} \\ x=6-5&\text{Subtract} \\ x=1&x\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
La solución al sistema es el par pedido\((1, −1)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, se cruzarían en\((1, −1)\). Además, sabemos que este sistema es un sistema consistente que es independiente.
Al elegir la ecuación y la variable a utilizar en sustitución, queremos elegir la ecuación de un solo paso, es decir, una ecuación con una de las variables con un coeficiente de uno. A pesar de que estamos acostumbrados a resolver siempre para a la\(y\) hora de graficar líneas, con este método, no importa. Queremos trabajar de manera más inteligente, no más difícil, y elegir la ecuación que nos dará la solución más rápida.
Dado un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, podemos usar los siguientes pasos para resolver por sustitución.
- Paso 1. Elija una ecuación y luego resuelva para\(x\) o\(y\). (Elija la ecuación de un solo paso cuando sea posible).
- Paso 2. Sustituir la expresión por\(x\) o\(y\) en la otra ecuación.
- Paso 3. Resuelve la ecuación.
- Paso 4. Sustituya el valor en una de las ecuaciones originales para encontrar la variable restante.
Es práctica común escribir tu respuesta como un par ordenado del formulario\((x, y)\) ya que este es el punto de intersección. Asegúrese de verificar la solución.
Resolver el sistema por sustitución:
\[\left\{\begin{array}{l}4x-2y=2 \\ 2x+y=-5\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Observe que ninguna de las ecuaciones tiene\(y\) o\(x\) aislado. De ahí que tendremos que escoger una ecuación y una variable, y resolver para esa variable en esa ecuación.
Paso 1. Queremos elegir la ecuación de un solo paso, si la hay. Al mirar la segunda ecuación, vemos que solo el\(y\) tiene un coeficiente de uno, y el coeficiente\(x\) de s es dos. Escojamos esto porque resolver for\(y\) es una ecuación de un solo paso mientras que la otra es una ecuación de dos pasos. \[\begin{aligned}2x+y&=-5 \\ y&=-2x-5\end{aligned}\]
Paso 2. Ahora, podemos sustituir\(y\) en la primera ecuación:\[\begin{array}{rl}4x-2y=2&\text{Plug-n-chug }y=-2x-5 \\ 4x-2\color{blue}{(-2x-5)}\color{black}{}=2\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Resolver para\(x\):\[\begin{array}{rl}4x-2\color{blue}{(-2x-5)}\color{black}{}=2&\text{Distribute} \\ 4x+4x+10=2&\text{Combine like terms} \\ 8x+10=2&\text{Isolate the variable term} \\ 8x=-8&\text{Multiply by the reciprocal of }8 \\ x=-1&x\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Desde\(x = −1\) entonces podemos enchufar n-chug\(x = −1\) en una de las ecuaciones para obtener\(y\):\[\begin{array}{rl}y=-2x-5&\text{Plug-n-chug }x=-1 \\ y=-2\color{blue}{(-1)}\color{black}{}-5&\text{Evaluate} \\ y=2-5&\text{Subtract} \\ y=-3&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\] La solución al sistema es el par ordenado\((−1, −3)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, se cruzarían en\((−1, −3)\). Además, sabemos que este sistema es un sistema consistente que es independiente.
Sustitución: Casos especiales
Resolver el sistema por sustitución:
\[\left\{\begin{array}{l}y+4=3x \\ 2y-6x=-8\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Observe que ninguna de las ecuaciones tiene\(y\) o\(x\) aislado. De ahí que tendremos que escoger una ecuación y una variable, y resolver para esa variable en esa ecuación.
Paso 1. Queremos elegir la ecuación de un solo paso, si la hay. Al mirar la primera ecuación, vemos que solo el\(y\) tiene un coeficiente de uno, y\(x\) el coeficiente es de tres. Escojamos esto porque resolver for\(y\) es una ecuación de un solo paso mientras que la otra es una ecuación de dos pasos. \[\begin{aligned}y+4&=3x \\ y&=3x-4\end{aligned}\]
Paso 2. Ahora, podemos sustituir\(y\) en la segunda ecuación:\[\begin{array}{rl}2y-6x=-8&\text{Plug-n-chug }y=3x-4 \\ 2\color{blue}{(3x-4)}\color{black}{}-6x=-8\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Resolver para\(x\):\[\begin{array}{rl}2\color{blue}{(3x-4)}\color{black}{}-6x=-8&\text{Distribute} \\ 6x-8-6x=-8&\text{Combine like terms} \\ -8=-8\end{array}\nonumber\] Ya que todas las variables cancelan y nos quedamos con una declaración sin variables, preguntamos: “¿Es verdad esta afirmación?” \[\begin{array}{rl}-8\stackrel{?}{=}-8&\text{Is this true?} \\ -8=-8&\checkmark\text{ True}\end{array}\nonumber\]Como esta afirmación es cierta, entonces hay infinitamente muchas soluciones en la línea\(y + 4 = 3x\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que serían la misma línea y se cruzarían en cada punto de la línea. Además, sabemos que este sistema es un sistema consistente que es dependiente.
Resolver el sistema por sustitución:
\[\left\{\begin{array}{l}6x-3y=-9 \\ -2x+y=5\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Observe que ninguna de las ecuaciones tiene\(y\) o\(x\) aislado. De ahí que tendremos que escoger una ecuación y una variable, y resolver para esa variable en esa ecuación.
Paso 1. Queremos elegir la ecuación de un solo paso, si la hay. Al mirar la segunda ecuación, vemos que solo el\(y\) tiene un coeficiente de uno, y\(x\) el coeficiente es\(−2\). Escojamos esto porque resolver for\(y\) es una ecuación de un solo paso mientras que la otra es una ecuación de dos pasos. \[\begin{aligned}-2x+y&=5 \\ y&=2x+5\end{aligned}\]
Paso 2. Ahora, podemos sustituir\(y\) en la primera ecuación:\[\begin{array}{rl}6x-3y=-9&\text{Plug-n-chug }y=2x+5 \\ 6x-3\color{blue}{(2x+5)}\color{black}{}=-9\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Resolver para\(x\):\[\begin{array}{rl}6x-3\color{blue}{(2x+5)}\color{black}{}=-9&\text{Distribute} \\ 6x-6x-15=-9&\text{Combine like terms} \\ -15=-9\end{array}\nonumber\] Ya que todas las variables cancelan y nos quedamos con una declaración sin variables, preguntamos: “¿Es verdad esta afirmación?” \[\begin{array}{rl}-15\stackrel{?}{=}-9&\text{Is this true?} \\ -15\neq -9&X \text{ False}\end{array}\nonumber\]Dado que esta afirmación es falsa, entonces no hay solución a este sistema. Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que serían paralelas. De ahí que este sistema sea un sistema inconsistente.
El matemático francés Rene Descartes escribió un libro que incluía un apéndice sobre geometría. Fue en este libro que sugirió usar letras del final del alfabeto para valores desconocidos. Esta es la razón por la que muchas veces estamos resolviendo para las variables\(x,\: y,\) y\(z\).
Resolver el sistema por sustitución:
\[\left\{\begin{array}{l}5x-6y=-14 \\ -2x+4y=12\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Observe que ninguna de las ecuaciones tiene\(y\) o\(x\) aislado. De ahí que tendremos que escoger una ecuación y una variable, y resolver para esa variable en esa ecuación.
Paso 1. Queremos elegir la ecuación de un solo paso, si la hay. Al observar ambas ecuaciones, vemos que ninguna de estas son ecuaciones de un solo paso. De ahí que solo podamos elegir una ecuación y resolver para una variable. Observe en la segunda ecuación, todos los coeficientes son divisibles por 2. Escojamos esto porque resolver para\(x\) evitaría fracciones. \[\begin{aligned}-2x+4y&=12 \\ -2x&=-4y+12 \\ x&=2y-6\end{aligned}\]
Paso 2. Ahora, podemos sustituir\(x\) en la primera ecuación:\[\begin{array}{rl}5x-6y=-14 &\text{Plug-n-chug }x=2y-6 \\ 5\color{blue}{(2y-6)}\color{black}{}-6y=-14\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Resolver para\(y\):\[\begin{array}{rl}5\color{blue}{(2y-6)}\color{black}{}-6y=-14&\text{Distribute} \\ 10y-20-6y=-14&\text{Combine like terms} \\ 4y-30=-14&\text{Isolate the variable term} \\ 4y=16&\text{Multiply by the reciprocal of }4 \\ y=4&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Desde\(y = 4\) entonces podemos enchufar n-chug\(y = 4\) en una de las ecuaciones para obtener\(x\):\[\begin{array}{rl}x=2y-6&\text{Plug-n-chug }y=4 \\ x=2\color{blue}{(4)}\color{black}{}-6&\text{Evaluate} \\ x=8-6&\text{Subtract} \\ x=2&x\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\] La solución al sistema es el par ordenado\((2, 4)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que se cruzarían en\((2, 4)\). Además, sabemos que este sistema es un sistema consistente que es independiente.
Sistemas de ecuaciones: La tarea del método de sustitución
Resuelve cada sistema por sustitución. Determinar si cada sistema es consistente, independiente o dependiente, o inconsistente.
\(\begin{array}{l}y=-3x \\ y=6x-9\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=-2x-9 \\ y=2x-1\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=6x+4 \\ y=-3x-5\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=3x+2 \\ y=-3x+8\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=2x-3 \\ y=-2x+9\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=6x-6 \\ -3x-3y=-24\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=-6 \\ 3x-6y=30\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=-5 \\ 3x+4y=-17\end{array}\)
\(\begin{array}{l}-2x+2y=18 \\ y=7x+15\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=-8x+19 \\ -x+6y=16\end{array}\)
\(\begin{array}{l}7x-2y=-7 \\ y=7\end{array}\)
\(\begin{array}{l}x-5y=7 \\ 2x+7y=-20\end{array}\)
\(\begin{array}{l}-2x-y=-5 \\ x-8y=-23\end{array}\)
\(\begin{array}{l}-6x+y=20 \\ -3x-3y=-18\end{array}\)
\(\begin{array}{l}3x+y=9 \\ 2x+8y=-16\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=x+5 \\ y=-2x-4\end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=-6x+3 \\ y=6x+3 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=3x+13\\y=-2x-22 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=-2x-9\\y=-5x-21 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=7x-24 \\ y=-3x+16 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-x+3y=12 \\ y=6x+21 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}6x-4y=-8 \\ y=-6x+2 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}7x+2y=-7 \\ y=5x+5 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=x+4 \\ 3x-4y=-19 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}y=-2x+8 \\ -7x-6y=-8 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}x-2y=-13 \\ 4x+2y=18 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}3x-4y=15 \\ 7x+y=4 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}6x+4y=16 \\ -2x+y=-3 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}7x+5y=-13 \\ x-4y=-16 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-5x-5y=-20 \\ -2x+y=7 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}2x+y=2 \\ 3x+7y=14 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}x+5y=15 \\ -3x+2y=6 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-2x+4y=-16 \\ y=-2 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-6x+6y=-12 \\ 8x-3y=16 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}2x+3y=16 \\ -7x-y=20 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}2x+y=-7 \\ 5x+3y=-21 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}2x+3y=-10 \\ 7x+y=3 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-2x+2y=-22 \\ -5x-7y=-19 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-8x+2y=-6 \\ -2x+3y=11 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-x-4y=-14 \\ -6x+8y=12 \end{array}\)