4.3: Sistema de Ecuaciones - El Método de Adición
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Primero descubrimos que graficar no es una forma sofisticada de resolver sistemas en general. Luego se consideró un segundo método conocido como sustitución. El método de sustitución se utiliza a menudo para resolver sistemas en diversas áreas del álgebra. No obstante, la sustitución puede involucrarse bastante, sobre todo si hay fracciones porque esto solo permite más margen de error. De ahí que necesitamos una forma aún más sofisticada de resolver sistemas en general. Llamamos a este método el método de adición, también llamado el método de eliminación. Construiremos el concepto en los siguientes ejemplos, luego definiremos un proceso de cuatro pasos que podemos usar para resolver por eliminación.
El método de adición
Resolver el sistema por adición (eliminación).
\[\left\{\begin{array}{l}3x-4y=8 \\ 5x+4y=-24\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Resolvemos el sistema por adición porque hacemos justamente eso- sumamos. Queremos sumar las dos ecuaciones juntas para obtener una ecuación de una variable. De ahí que no podamos simplemente agregar de inmediato; necesitamos asegurarnos de que cuando agreguemos, eliminaremos una de las variables. Al observar los términos\(y\) variables, podemos ver que los coeficientes de\(y\) son los mismos pero signos opuestos. Podemos prever que cuando agreguemos estas dos ecuaciones, los términos\(y\) variables cancelarán:
\[\begin{array}{l} \quad 3x-4y=8 \\ \underline{+5x+4y=-24} \\ \qquad\quad 8x=-16 \end{array}\qquad \text{ Add the equations}\nonumber\]
Observe los términos\(y\) variables cancelados y nos quedamos con una ecuación en una variable. Este es siempre el objetivo. Ahora, podemos resolver fácilmente como de costumbre:
\[\begin{array}{rl}8x=-16 &\text{Multiply by the reciprocal of }8 \\ x=-2&x\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Desde\(x = −2\) entonces podemos enchufar y chug\(x = −2\) en una de las ecuaciones para obtener\(y\):
\[\begin{array}{rl}3x-4y=8&\text{Plug-n-chug }x=-2 \\ 3\color{blue}{(-2)}\color{black}{}-4y=8&\text{Evaluate} \\ -6-4y=8&\text{Isolate the variable term} \\ -4y=14&\text{Multiply by the reciprocal of }-4 \\ y=-\dfrac{14}{4}&\text{Reduce the fraction} \\ y=-\dfrac{7}{2}&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
La solución al sistema es el par ordenado\(\left(-2,-\dfrac{7}{2}\right)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que se cruzarían en\(\left(-2,-\dfrac{7}{2}\right)\). Además, sabemos que este sistema es un sistema consistente con una solución independiente.
El método de adición con multiplicación
En Ejemplo 4.3.1 , uno de los términos variables tenía el mismo coeficiente, pero signos opuestos, y sumando estos juntos eliminó por completo los términos variables, lo que nos permitió resolver para la otra variable. Esta es la idea detrás del método de adición. Sin embargo, generalmente, no se nos dan términos variables que tengan el mismo coeficiente con signos opuestos. Entonces, manipularemos las ecuaciones multiplicando una o ambas ecuaciones por el LCM de los coeficientes para una de las variables. Queremos trabajar de manera más inteligente, no más difícil, así que debemos ser inteligentes en qué variable elegimos.
Resolver el sistema por adición (eliminación).
\[\left\{\begin{array}{l}-6x+5y=22 \\ 2x+3y=2\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Dado que ninguno de los términos de la variable tiene el mismo coeficiente con signos opuestos, necesitamos elegir una variable y reescribir las ecuaciones para que podamos cancelar la variable. Recordemos, el objetivo es obtener una ecuación en una variable después de sumar. Al observar los términos\(x\) variables, podemos ver que los coeficientes de\(x\) tienen signos opuestos. Entonces escojamos eliminar\(x\) y multiplicamos la segunda ecuación por 3 para obtener el\(\text{LCM}(2, 6) = 6\):
\[\begin{array}{rl}\color{blue}{3}\color{black}{}\cdot (2x+3y)=(2)\cdot\color{blue}{3}\color{black}{}&\text{Distribute} \\ 6x+9y=6\end{array}\nonumber\]
Observe que los términos\(x\) variables tienen los mismos coeficientes con signos opuestos. Ahora podemos agregar y eliminar\(x\):
\[\begin{array}{l} -6x+5y=22 \\ \underline{+\quad 6x+9y=6}\:\: \\ \qquad\quad 14y=28 \end{array}\qquad \text{ Add the equations}\nonumber\]
Observe los términos\(x\) variables cancelados y nos quedamos con una ecuación en una variable. Este es siempre el objetivo. Ahora, podemos resolver fácilmente como de costumbre:
\[\begin{array}{rl}14y=28&\text{Multiply by the reciprocal of }14 \\ y=2&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Desde\(y = 2\) entonces podemos enchufar y chug\(y = 2\) en una de las ecuaciones para obtener\(x\):
\[\begin{array}{rl}2x+3y=2&\text{Plug-n-chug }y=2 \\ 2x+3\color{blue}{(2)}\color{black}{}=2&\text{Evaluate} \\ 2x+6=2&\text{Isolate the variable term} \\ 2x=-4&\text{Multiply by the reciprocal of }2 \\ x=-2&x\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
La solución al sistema es el par ordenado\((−2, 2)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que se cruzarían en\((−2, 2)\). Además, sabemos que este sistema es un sistema consistente con una solución independiente.
Multiplicar dos ecuaciones
Resolver el sistema por adición (eliminación).
\[\left\{\begin{array}{l}3x+6y=-9 \\ 2x+9y=-26\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Dado que ninguno de los términos de la variable tiene el mismo coeficiente con signos opuestos, necesitamos elegir una variable y reescribir las ecuaciones para que podamos cancelar la variable. Recordemos, el objetivo es obtener una ecuación en una variable después de sumar. Al observar los términos\(x\) y\(y\) variables, podemos ver que ninguno de los coeficientes es igual o con signos opuestos. Así podemos elegir cualquier variable a eliminar. Escojamos eliminar\(y\) y multiplicamos ambas ecuaciones por un factor para obtener el\(\text{LCM}(9, 6) = 18\) con signos opuestos:
\[\begin{aligned}\color{blue}{-3}\color{black}{}\cdot (3x+6y)&=(-9)\cdot\color{blue}{-3}\color{black}{} \\ \color{blue}{2}\color{black}{}\cdot (2x+9y)&=(-26)\cdot\color{blue}{2}\color{black}{}\end{aligned}\]
Observe que los términos\(y\) variables tienen los mismos coeficientes con signos opuestos
\[\begin{array}{r}-9x-18y=27 \\ 4x+18y=-52\end{array}\nonumber\]
Ahora podemos agregar y eliminar\(y\):
\[\begin{array}{l} \quad -9x-18y=27 \\ \underline{+\quad 4x+18y=-52}\:\: \\ \qquad\quad -5x=-25 \end{array}\qquad \text{ Add the equations}\nonumber\]
Observe los términos\(y\) variables cancelados y nos quedamos con una ecuación en una variable. Este es siempre el objetivo. Ahora, podemos resolver fácilmente como de costumbre:
\[\begin{array}{rl}-5x=-25&\text{Multiply by the reciprocal of }-5 \\ x=5&x\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Desde\(x = 5\) entonces podemos enchufar y chug\(x = 5\) en una de las ecuaciones para obtener\(y\):
\[\begin{array}{rl}2x+9y=-26 &\text{Plug-n-chug }x=5 \\ 2\color{blue}{(5)}\color{black}{}+9y=-26&\text{Evaluate} \\ 10+9y=-26&\text{Isolate the variable term} \\ 9y=-36&\text{Multiply by the reciprocal of }9 \\ y=-4&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
La solución al sistema es el par ordenado\((5, −4)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que se cruzarían en\((5, −4)\). Además, sabemos que este sistema es un sistema consistente con una solución independiente.
Dado un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, podemos usar los siguientes pasos para resolver por suma (eliminación).
- Paso 1. Elija una variable para eliminar. (Elija la variable con los términos variables con signos opuestos, mismo coeficiente, o ambos, si es posible.)
- Paso 2. Multiplique una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esta variable sean el LCM de los coeficientes con signos opuestos.
- Paso 3. Sumar las ecuaciones juntas, luego resolver.
- Paso 4. Sustituya el valor en una de las ecuaciones originales para encontrar la variable restante.
Es práctica común escribir tu respuesta como un par ordenado del formulario\((x, y)\) ya que este es el punto de intersección. Asegúrese de verificar la solución.
Resolver el sistema por adición (eliminación):
\[\left\{\begin{array}{l}2x-5y=-13 \\ 5x-3y=-4\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Dado que ninguno de los términos variables tiene el mismo coeficiente, signos opuestos, o ambos, necesitamos elegir una variable y reescribir las ecuaciones para que podamos cancelar la variable. Podemos elegir cualquier variable a eliminar.
Paso 1. Optemos por eliminar\(x\) y multiplicamos ambas ecuaciones por un factor para obtener el\(\text{LCM}(2, 5) = 10\) con signos opuestos.
Paso 2. Podemos mulitply la primera ecuación por un factor de\(5\) y la segunda ecuación por un factor de\(−2\) para que obtengamos términos variables con el mismo coeficiente,\(10\), con signos opuestos:\[\begin{aligned}\color{blue}{5}\color{black}{}\cdot (2x-5y)&=(-13)\cdot\color{blue}{5}\color{black}{} \\ \color{blue}{-2}\color{black}{}\cdot (5x-3y)&=(-4)\cdot\color{blue}{-2}\color{black}{}\end{aligned}\] Observe que los términos\(x\) variables tienen los mismos coeficientes con signos opuestos: \[\begin{aligned}10x-25y&=-65 \\ -10x+6y&=8\end{aligned}\]
Paso 3. Ahora podemos agregar y eliminar\(x\):\[\begin{array}{l} \quad 10x-25y=-65 \\ \underline{+\quad -10x+6y=8}\:\: \\ \qquad\quad -19y=-57 \end{array}\qquad \text{ Add the equations}\nonumber\] Observe los términos\(x\) variables cancelados y nos quedamos con una ecuación en una variable. Este es siempre el objetivo. Ahora, podemos resolver fácilmente como de costumbre:\[\begin{array}{rl}-19y=-57&\text{Multiply by the reciprocal of }-19 \\ y=3&y\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\]
Paso 4. Desde\(y = 3\) entonces podemos enchufar n-chug\(y = 3\) en una de las ecuaciones para obtener\(x\):\[\begin{array}{rl}5x-3y=-4&\text{Plug-n-chug }y=3 \\ 5x-3\color{blue}{(3)}\color{black}{}=-4&\text{Evaluate} \\ 5x-9=-4&\text{Isolate the variable term} \\ 5x=5&\text{Multiply by the reciprocal of }5 \\ x=1&x\text{-coordinate of the solution}\end{array}\nonumber\] La solución al sistema es el par ordenado\((1, 3)\). Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que se cruzarían en\((1, 3)\). Además, sabemos que este sistema es un sistema consistente con una solución independiente.
El famoso texto matemático, Los nueve capítulos sobre el arte matemático, que se imprimió alrededor del 179 d.C en China, describe un proceso muy similar a la eliminación gaussiana que es muy similar al método de adición.
Adición: Casos especiales
Al igual que con la gráfica y la sustitución, es posible no tener solución o soluciones infinitas con eliminación. Al igual que con la sustitución, si las variables eliminan, una declaración verdadera indicará infinitamente muchas soluciones y una declaración falsa indicará que no hay solución.
Resolver el sistema por adición (eliminación):
\[\left\{\begin{array}{l}2x-5y=3 \\ -6x+15y=-9\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Dado que ninguno de los términos variables tiene el mismo coeficiente, pero ambos tienen signos opuestos, podemos elegir cualquier variable a eliminar.
Paso 1. Optemos por eliminar\(y\) y multiplicamos ambas ecuaciones por un factor para obtener el\(\text{LCM}(5, 15) = 15\) con signos opuestos.
Paso 2. Podemos mulitply la primera ecuación por un factor de\(3\) y dejar la segunda ecuación sola para que obtengamos términos variables con el mismo coeficiente,\(15\), con signos opuestos:\[\begin{array}{rl}\color{blue}{3}\color{black}{}\cdot (2x-5y)=(3)\cdot\color{blue}{3}\color{black}{}&\text{Distribute} \\ 6x-15y=9\end{array}\nonumber\] Observe que los términos\(y\) variables tienen los mismos coeficientes con signos opuestos\[\begin{array}{l} 6x-5y=9 \\ -6x+15y=-9\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Ahora podemos agregar y eliminar\(x\):\[\begin{array}{l} \qquad\quad 6x-15y=9 \\ \underline{+\quad -6x+15y=-9}\:\: \\ \qquad\qquad\qquad\quad 0=0 \end{array}\qquad \text{ Add the equations}\nonumber\] Ya que todas las variables cancelan y nos quedamos con una sentencia sin variables, preguntamos: “¿Es verdad esta afirmación?” \[\begin{array}{rl}0\stackrel{?}{=}0&\text{Is this true?} \\ 0=0&\checkmark\text{ True}\end{array}\nonumber\]Como esta afirmación es cierta, entonces hay infinitamente muchas soluciones a este sistema. Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que serían la misma línea. De ahí que este sistema sea un sistema consistente con una solución dependiente.
Resolver el sistema por adición (eliminación):
\[\left\{\begin{array}{l}4x-6y=8 \\ 6x-9y=15\end{array}\right.\nonumber\]
Solución
Dado que ninguno de los términos variables tiene el mismo coeficiente, signos opuestos, o ambos, necesitamos elegir una variable y reescribir las ecuaciones para que podamos cancelar la variable. Podemos elegir cualquier variable a eliminar.
Paso 1. Optemos por eliminar\(x\) y multiplicamos ambas ecuaciones por un factor para obtener el\(\text{LCM}(4, 6) = 12\) con signos opuestos.
Paso 2. Podemos multiplicar la primera ecuación por un factor de\(3\) y la segunda ecuación por\(−2\) para que obtengamos términos variables con el mismo coeficiente,\(12\), con signos opuestos:\[\begin{aligned}\color{blue}{3}\color{black}{}\cdot (4x-6y)&=(8)\cdot\color{blue}{3}\color{black}{} \\ \color{blue}{-2}\color{black}{}\cdot (6x-9y)&=(15)\cdot\color{blue}{-2}\end{aligned}\] Observe que los términos\(y\) variables tienen los mismos coeficientes con signos opuestos:\[\begin{array}{l}12x-18y=24 \\ -12x+18y=-20\end{array}\nonumber\]
Paso 3. Ahora podemos agregar y eliminar\(x\):\[\begin{array}{l} \qquad\quad 12x-18y=24 \\ \underline{+\quad -12x+18y=-20}\:\: \\ \qquad\qquad\qquad\quad 0=4 \end{array}\qquad \text{ Add the equations}\nonumber\] Ya que todas las variables cancelan y nos quedamos con una sentencia sin variables, preguntamos: “¿Es verdad esta afirmación?” \[\begin{array}{rl}0\stackrel{?}{=}4&\text{Is this true?} \\ 0\neq 4&X\text{ False} \end{array}\nonumber\]Dado que esta afirmación es falsa, entonces no hay solución a este sistema. Además, si tuviéramos que graficar estas dos líneas, sabemos que serían paralelas. De ahí que este sistema sea un sistema inconsistente.
Se discutieron tres métodos diferentes que pueden ser utilizados para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Si bien los tres se pueden usar para resolver cualquier sistema, la gráfica funciona muy bien para soluciones de números enteros pequeños. La sustitución funciona muy bien cuando tenemos un término variable dado con un coeficiente de uno, y la adición funciona muy bien para todos los demás casos. Como cada método tiene sus propias fortalezas, es importante estar familiarizado con los tres métodos. A continuación, utilizamos estos métodos para resolver problemas de aplicación.
Sistema de ecuaciones: La tarea del método de adición
Resuelve cada sistema por adición (eliminación). Determinar si cada sistema es consistente, independiente o dependiente, o inconsistente.
\(\begin{array}{l}4x+2y=0 \\ -4x-9y=-28 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-9x+5y=-22 \\ 9x-5y=13 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-6x+9y=3 \\ 6x-9y=-9 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}4x-6y=-10 \\ 4x-6y=-14 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-x-5y=28 \\ -x+4y=-17 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}2x-y=5 \\ 5x+2y=-28 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}10x+6y=24 \\ -6x+y=4 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}2x+4y=24 \\ 4x-12y=8 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-7x+4y=-4 \\ 10x-8y=-8 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}5x+10y=20 \\ -6x-5y=-3 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-7x-3y=12 \\ -6x-5y=20 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}9x-2y=-18 \\ 5x-7y=-10 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}9x+6y=-21 \\ -10x-9y=28 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-7x+5y=-8 \\ -3x-3y=12 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-8x-8y=-8 \\ 10x+9y=1 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}9y=7-x \\ -18y+4x=-26 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}0=9x+5y \\ y=\dfrac{2}{7}x \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-7x+y=-10 \\ -9x-y=-22 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-x-2y=-7 \\ x+2y=7 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}5x-5y=-15 \\ 5x-5y=-15 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-3x+3y=-12 \\ -3x+9y=-24 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-10x-5y=0 \\ -10x-10y=-30 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-5x+6y=-17 \\ x-2y=5 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}x+3y=-1 \\ 10x+6y=-10 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-6x+4y=12 \\ 12x+6y=18 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-6x+4y=4 \\ -3x-y=26 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-9x-5y=-19 \\ 3x-7y=-11 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-5x+4y=4 \\ -7x-10y=-10 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}3x+7y=-8 \\ 4x+6y=-4 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-4x-5y=12 \\ -10x+6y=30 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}8x+7y=-24 \\ 6x+3y=-18 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-7x+10y=13 \\ 4x+9y=22 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}0=-9x-21+12y \\ 1+\dfrac{4}{3}y+\dfrac{7}{3}x=0 \end{array}\)
\(\begin{array}{l}-6-42y=-12x \\ x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{2}y=0 \end{array}\)