5.3: Álgebra de funciones
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Sumar y restar funciones
Si\(x\) en los dominios de funciones\(f\) y\(g\), donde\((f + g)(x)\) y\((f − g)(x)\) se define para todos\(x\), entonces
- la suma\(f + g\) viene dada por\((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
- la diferencia\(f − g\) viene dada por\((f − g)(x) = f(x) − g(x)\)
Es decir, para sumar dos funciones, sumamos sus salidas; para restar dos funciones, restamos sus salidas, y así sucesivamente.
Tenga en cuenta que si bien la fórmula\((f + g)(x) = f(x) + g(x)\) se ve sospechosamente como algún tipo de propiedad distributiva, no es nada por el estilo; la adición en el lado izquierdo de la ecuación es adición de función, y estamos usando esta ecuación para definir la salida de la nueva función\(f +g\), la suma del número real de salidas de\(f\) y\(g\).
Dejar\(f(x)=2x^2+x-3\) y\(g(x)=-x^2-2x+1\). Encuentra
- \((f+g)(2)\)
- \((f-g)\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)
- \((f+g)(x)\)
- \((f-g)(x)\)
Solución
- Aplicamos la definición de adición de funciones a\((f + g)(2)\), luego evaluamos. \[\begin{array}{rl}(f+g)(2)=f(2)+g(2)&\text{Apply the definition} \\ (f+g)(2)=\underset{f(2)}{\underbrace{(2\color{blue}{(2)}\color{black}{}^2+\color{blue}{(2)}\color{black}{}-3)}}+\underset{g(2)}{\underbrace{(-\color{blue}{(2)}\color{black}{}^2-2\color{blue}{(2)}\color{black}{}+1)}}&\text{Evaluate} \\ (f+g)(2)=0&\text{The sum of the outputs }f(2)+g(2)\end{array}\nonumber\]
- Aplicamos la definición de resta de funciones a\((f − g)\left(-\dfrac{3}{2}\right)\), luego evaluamos. \[\begin{array}{rl}(f-g)\left(-\dfrac{3}{2}\right)=f\left(-\dfrac{3}{2}\right)-g\left(-\dfrac{3}{2}\right)&\text{Apply the definition} \\ (f-g)\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\underset{f(-\dfrac{3}{2})}{\underbrace{\left(2\color{blue}{\left(-\dfrac{3}{2}\right)}\color{black}{}^2+\color{blue}{\left(-\dfrac{3}{2}\right)}\color{black}{}-3\right)}}-\underset{g(-\dfrac{3}{2})}{\underbrace{\left(-\color{blue}{\left(-\dfrac{3}{2}\right)}\color{black}{}^2-2\color{blue}{\left(-\dfrac{3}{2}\right)}\color{black}{}+1\right)}}&\text{Evaluate} \\ (f-g)\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{7}{4}\end{array}\nonumber\]Así, la diferencia de las salidas\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)-g\left(-\dfrac{3}{2}\right)\).
- Aplicamos la definición de adición de funciones a\((f + g)(x)\), luego simplificamos combinando términos similares. \[\begin{array}{rl}(f+g)(x)=f(x)+g(x)&\text{Apply the definition} \\ (f+g)(x)=\underset{f(x)}{\underbrace{(2x^2+x-3)}}+\underset{g(x)}{\underbrace{(-x^2-2x+1)}}&\text{Simplify by combining like terms} \\ (f+g)(x)=2x^2+x-3-x^2-2x+1 \\ (f+g)(x)=x^2-x-2&\text{The sum of all outputs }f(x)+g(x)\end{array}\nonumber\]
- Aplicamos la definición de resta de funciones a\((f −g)(x)\), luego simplificamos combinando términos similares. \[\begin{array}{rl}(f-g)(x)=f(x)-g(x)&\text{Apply the definition} \\ (f-g)(x)=\underset{f(x)}{\underbrace{(2x^2+x-3)}}-\underset{g(x)}{\underbrace{(-x^2-2x+1)}}&\text{Distribute the negative} \\ (f-g)(x)=2x^2+x-3\color{blue}{+}\color{black}{}x^2\color{blue}{+}\color{black}{}2x\color{blue}{-}\color{black}{}1&\text{Simplify by combining like terms} \\ (f+g)(x)=3x^2+3x-4&\text{The difference of all outputs }f(x)-g(x)\end{array}\nonumber\]
En estos dos últimos ejemplos, esencialmente estamos combinando una función con otra función. La parte interesante de estos ejemplos es cuando combinamos una función con otra función, estamos creando una función completamente nueva. Qué increíble, ¿verdad?
Composición de las funciones
Podemos volver a pensar en los Ejemplos 5.1.10 y 5.1.11, donde queríamos evaluar\(g(3x)\) y\(p(t + 1)\). Después de evaluar estas funciones, obtuvimos funciones completamente nuevas. En general, cuando sustituimos una función en la entrada de otra función, llamamos a esto una composición de dos funciones. Podemos componer más de dos funciones, pero, en esta sección, demostramos la composición sólo con dos funciones.
Si\(x\) está en los dominios de funciones\(f\) y\(g\), entonces\(f\) compuesto de\(g\) está dado por\[(f\circ g)(x)=f(g(x)),\nonumber\] i.e., sustituimos cada\(x\) in\(f\) con la función\(g(x)\).
\((f\circ g)(x)\)implica que\(x\) está en el dominio de\(g(x)\) y\(g(x)\) está en el dominio de\(f(x)\).
El término función vino de Gottfried Wihelm Leibniz, un matemático alemán de finales de\(17^{\text{th}}\) siglo.
Veamos una representación gráfica de la definición anterior.
Si\(a(x) = x^2 − 2x + 1\) y\(b(x) = x − 5\), encuentra\((a ◦ b)(3)\).
Solución
Reescribamos\((a ◦ b)(3)\) usando la definición, luego evaluemos.
\[\begin{array}{rl}(a\circ b)(3)=a(b(3))&\text{Apply the definition} \\ (a\circ b)(3)=a\underset{b(3)}{\underbrace{(\color{blue}{3-5}\color{black}{})}}&\text{Simplify }3-5 \\ (a\circ b)(3)=a(\color{blue}{-2}\color{black}{})&\text{Evaluate }a(-2) \\ (a\circ b)(3)=(\color{blue}{-2}\color{black}{})^2-2(\color{blue}{-2}\color{black}{})+1&\text{Simplify} \\ (a\circ b)(3)=9&\text{The value of the composition}\end{array}\nonumber\]
Recordemos, cuando evaluamos funciones en valores particulares, realmente estamos obteniendo pares ordenados en la gráfica de la función. Como estamos componiendo dos funciones en este caso, entonces el par ordenado de la nueva función es\((3, 9)\).
Dejar\(f(x)=x^2-x\) y\(g(x)=x+3\).
- Encuentra\((f\circ g)(x)\).
- Encuentra\((g\circ f)(x)\).
- Encuentra\((f\circ f)(x)\).
Solución
- Comenzamos por reescribir\((f ◦ g)(x)\) usando la definición, luego simplificamos. Tenga en cuenta que después de simplificar, obtenemos una función completamente nueva. \[\begin{array}{rl}(f\circ g)(x)=f(g(x))&\text{Replace }g(x)\text{ with }x+3 \\ (f\circ g)(x)=f\underset{g(x)}{\underbrace{(\color{blue}{x+3}\color{black}{})}}&\text{Replace the variables in }f\text{ with }(x+3) \\ f(\circ g)(x)=(\color{blue}{x+3}\color{black}{})^2-(\color{blue}{x+3}\color{black}{})&\text{Simplify} \\ (f\circ g)(x)=(x^2+6x+9)-(x+3)&\text{Combine like terms} \\ (f\circ g)(x)=x^2+5x+6&\text{The composition of }f\text{ and }g\end{array}\nonumber\]Como asumimos, componiendo\(f\) y dando\(g\) como resultado una función completamente nueva.
- Aviso,\((g\circ f)(x)\), donde estamos componiendo\(g\) y\(f\). Al igual que las fresas cubiertas de chocolate con crema batida, el orden importa. Tendremos que poner\(f\)\(g\), a diferencia del ejemplo anterior. \[\begin{array}{rl}(g\circ f)(x)=g(f(x))&\text{Replace }f(x)\text{ with }x^2-x \\ (g\circ f)(x)=g\underset{f(x)}{\underbrace{\color{blue}{(x^2-x)}}}&\text{Replace the variables in }g\text{ with }(x^2-x) \\ (g\circ f)(x)=(\color{blue}{x^2-x}\color{black}{})+3&\text{Simplify} \\ (g\circ f)(x)=x^2-x+3&\text{The composition of }g\text{ and }f\end{array}\nonumber\]Como asumimos, componer\(g\) y\(f\), donde nos\(f\) sumergimos en\(g\) resultó en una función completamente diferente a la del ejemplo anterior.
- Observe\((f\circ f)(x)\),, donde estamos componiendo\(f\) consigo mismo. Sustituiremos la función\(f\) en sí misma por cada\(x\). \[\begin{array}{rl}(f\circ f)(x)=f(f(x))&\text{Replace }f(x)\text{ with }x^2-x \\ (f\circ f)(x)=f\underset{f(x)}{\underbrace{\color{blue}{(x^2-x)}}}&\text{Replace the variables in }f\text{ with }(x^2-x) \\ (f\circ f)(x)=(\color{blue}{x^2-x}\color{black}{})^2-(\color{blue}{x^2-x}\color{black}{})&\text{Simplify} \\ (f\circ f)(x)=x^4-2x^3+x^2-x^2+x&\text{Combine like terms} \\ (f\circ f)(x)=x^4-2x^3+x&f\text{ composed with itself}\end{array}\nonumber\]Observe, incluso cuando componemos una función consigo misma, todavía resulta en una función completamente nueva.
Con la composición de funciones, esencialmente, estamos componiendo una función con otra función. La parte interesante de estos ejemplos es cuando componemos una función con otra función, estamos creando una función completamente nueva.
Álgebra de Funciones Tareas
Dadas las funciones, realizar las operaciones indicadas y simplificar.
\(g(a) = a^3 + 5a^2\)y\(f(a) = 2a + 4\); encontrar\(g(3) + f(3)\)
\(g(a) = 3a + 3\)y\(f(a) = 2a − 2\); encontrar\((g + f)(9)\)
\(g(x) = x + 3\)y\(f(x) = −x + 4\); encontrar\((g − f)(3)\)
\(g(x) = x^2 + 2\)y\(f(x) = 2x + 5\); encontrar\((g − f)(0)\)
\(g(t) = t − 3\)y\(h(t) = −3t^3 + 6t\); encontrar\(g(1) + h(1)\)
\(h(t) = t + 5\)y\(g(t) = 3t − 5\); encontrar\((h − g)(5)\)
\(h(n) = 2n − 1\)y\(g(n) = 3n − 5\); encontrar\(h(0) + g(0)\)
\(f(a) = −2a − 4\)y\(g(a) = a^2 + 3\); encontrar\((f + g)(a)\)
\(g(x) = −x^3 − 2\)y\(h(x) = 4x\); encontrar\((g − h)(x)\)
\(f(x) = −3x + 2\)y\(g(x) = x^2 + 5x\); encontrar\((f − g)(x)\)
\(g(x) = 4x + 5\)y\(h(x) = x^2 + 5x\); encontrar\((g + h)(x)\)
\(f(x) = −3x^2 + 3x\)y\(g(x) = 2x + 5\); encontrar\((f + g)(−4)\)
\(g(x) = 4x + 3\)y\(h(x) = x^3 − 2x^2\); encontrar\((g − h)(−1)\)
\(g(x) = −4x + 1\)y\(h(x) = −2x − 1\); encontrar\(g(5) + h(5)\)
\(f(n) = n − 5\)y\(g(n) = 4n + 2\); encontrar\((f + g)(−8)\)
\(g(a) = 3a − 2\)y\(h(a) = 4a − 2\); encontrar\((g + h)(−10)\)
\(g(x) = x^2 − 2\)y\(h(x) = 2x + 5\); encontrar\(g(−6) + h(−6)\)
\(g(n) = n^2 − 3\)y\(h(n) = 2n − 3\); encontrar\((g − h)(n)\)
\(g(x) = 2x − 3\)y\(h(x) = x^3 − 2x^2 + 2x\); encontrar\((g − h)(x)\)
\(f(x) = 2x\)y\(g(x) = −3x − 1\); encontrar\((f + g)(−4 − x)\)
\(f(t) = t^2 + 4t\)y\(g(t) = 4t + 2\); encontrar\(f(t^2) + g(t^2)\)
\(f(n) = −3n^2 + 1\)y\(g(n) = 2n + 1\); encontrar\((f − g)\left(\dfrac{n}{3}\right)\)
\(f(x) = −4x + 1\)y\(g(x) = 4x + 3\); encontrar\((f ◦ g)(9)\)
\(h(a) = 3a + 3\)y\(g(a) = a + 1\); encontrar\((h ◦ g)(5)\)
\(g(x) = x + 4\)y\(h(x) = x^2 − 1\); encontrar\((g ◦ h)(10)\)
\(f(x) = 4x − 4\)y\(g(x) = 3x^2 − 5\); encontrar\((f + g)(x)\)
\(f(x) = 2x + 4\)y\(g(x) = 4x − 5\); encontrar\(f(x) − g(x)\)
\(g(t) = t^3 + 3t^2\)y\(h(t) = 3t − 5\); encontrar\(g(t) − h(t)\)
\(f(n) = 3n + 4\)y\(g(n) = n^3 − 5n\); encontrar\(f\left(\dfrac{n}{2}\right)-g\left(\dfrac{n}{2}\right)\)
\(g(x) = x − 1\); encontrar\((g ◦ g)(7)\)
\(g(t) = t + 3\)y\(h(t) = 2t − 5\); encontrar\((g ◦ h)(3)\)
\(f(a) = 2a − 4\)y\(g(a) = a^2 + 2a\); encontrar\((f ◦ g)(−4)\)
\(f(n) = −4n + 2\)y\(g(n) = n + 4\); encontrar\((f ◦ g)(9)\)
\(g(x) = 2x − 4\)y\(h(x) = 2x^3 + 4x^2\); encontrar\((g ◦ h)(3)\)
\(g(x) = x^2 − 5x\)y\(h(x) = 4x + 4\); encontrar\((g ◦ h)(x)\)
\(f(a) = −2a + 2\)y\(g(a) = 4a\); encontrar\((f ◦ g)(a)\)
\(g(x) = 4x + 4\)y\(f(x) = x^3 − 1\); encontrar\((g ◦ f)(x)\)
\(g(x) = −x + 5\)y\(f(x) = 2x − 3\); encontrar\((g ◦ f)(x)\)
\(f(t) = 4t + 3\)y\(g(t) = −4t − 2\); encontrar\((f ◦ g)(t)\)
\(g(x) = 3x + 4\)y\(h(x) = x^3 + 3x\); encontrar\((g ◦ h)(3)\)
\(g(a) = a^2 + 3\); encontrar\((g ◦ g)(−3)\)
\(g(a) = 2a + 4\)y\(h(a) = −4a + 5\); encontrar\((g ◦ h)(a)\)
\(g(t) = −t − 4\); encontrar\((g ◦ g)(t)\)
\(f(n) = −2n^2 − 4n\)y\(g(n) = n + 2\); encontrar\((f ◦ g)(n)\)
\(g(t) = t^3 − t\)y\(f(t) = 3t − 4\); encontrar\((g ◦ f)(t)\)
\(f(x) = 3x − 4\)y\(g(x) = x^3 + 2x^2\); encontrar\((f ◦ g)(x)\)