6.3: Suma y resta expresiones polinómicas
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Ahora que hemos discutido las reglas de exponentes en gran medida, es momento de discutir polinomios y sus operaciones.
- Un monomio en una variable es el producto de un coeficiente y una variable elevada a un exponente entero positivo. Un monomio es de la forma\[ax^k,\nonumber\] donde\(a\) está el coeficiente,\(x\) es la variable (y base), y\(k\) es el grado del monomio. Recordar,\(k\) es un entero positivo.
- Un binomio en una variable es la suma de dos monomios.
- Un polinomio es la suma o diferencia de los monomios. El grado de un polinomio es el grado más alto de todos los términos en el polinomio.
Reescribir el polinomio en forma estándar e identificar los coeficientes, términos variables y grado del polinomio\[-12x^2+x^3-x+2\nonumber\]
Solución
La forma estándar de un polinomio es donde el polinomio se escribe con exponentes descendentes:
\[x^3-12x^2-x+2\nonumber\]
Los coeficientes son\(1,\: −12,\: −1,\) y\(2\); los términos variables son\(x^3,\: −12x^2,\: −x\). El grado del polinomio es\(3\) porque ese es el grado más alto de todos los términos.
Evaluar expresiones polinomiales
Si se nos da un valor para la variable en un polinomio, podemos evaluar el polinomio.
Evaluar\(2x^2-4x+6\) cuándo\(x=-4\).
Solución
Tapamos y chug\(x = −4\) para cada uno\(x\) y simplificamos.
\[\begin{array}{rl}2x^2-4x+6&\text{Plug-n-chug }x=-4 \\ 2(\color{blue}{-4}\color{black}{})^2-4(\color{blue}{-4}\color{black}{})+6&\text{Evaluate} \\ 32+16+6&\text{Simplify} \\ 54&\text{Value of the polynomal when }x=-4\end{array}\nonumber\]
Es importante tener cuidado con las variables negativas, y los exponentes. Recordemos, el exponente sólo se aplica a su base. Por ejemplo,\(−3^2 = −9\) porque evaluamos\(3^2\) primero, luego multiplicamos por un negativo. Por otro lado,\((−3)^2 = 9\) porque evaluamos toda la base entre paréntesis como\(−3\cdot −3 = 9\). En matemáticas, si se ve diferente, entonces es diferente.
Evaluar\(-x^2+2x+6\) cuándo\(x=3\).
Solución
\[\begin{array}{rl}-x^2+2x+6&\text{Plug-n-chug }x=3 \\ -(\color{blue}{3}\color{black}{})^2+2(\color{blue}{3}\color{black}{})+6&\text{Evaluate} \\ -9+6+6&\text{Simplify} \\ 3&\text{Value of the polynomial when }x=3\end{array}\nonumber\]
Ada Lovelace, en 1842, describió el Motor de Diferencia de Charles Babbage que se utilizaría para calcular valores de polinomios. Su trabajo se convirtió en la base de lo que se convertiría en la computadora moderna (el lenguaje de programación Ada fue nombrado en su honor) más de 100 años después de su muerte por cáncer.
Sumar y restar expresiones polinómicas
Generalmente, cuando se trabaja con polinomios, rara vez conocemos el valor de la variable, así que, a continuación, simplificamos las expresiones polinómicas sumando y restándolas. Combinaremos términos similares.
Recordar. Los términos similares son términos con la (s) misma (s) variable (s) que la base y el exponente.
Agregar:\((4x^3-2x+8)+(3x^3-9x^2-11)\)
Solución
Podemos agregar combinando términos similares.
\[\begin{array}{rl}(4x^3-2x+8)+(3x^3-9x^2-11)&\text{Rewrite without parenthesis} \\ 4x^3-2x+8+3x^3-9x^2-11&\text{Add like terms} \\ 7x^3-9x^2-2x-3&\text{Sum}\end{array}\nonumber\]
Asegúrese de escribir la suma en forma estándar.
Restar:\((5x^2-2x+7)-(3x^2+6x-4)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}(5x^2-2x+7)-(3x^2+6x-4)&\text{Rewrite without parenthesis} \\ 5x^2-2x+7\color{blue}{-}\color{black}{}3x^2\color{blue}{-}\color{black}{}6x\color{blue}{+}\color{black}{}4&\text{Subtract like terms} \\ 2x^2-8x+11&\text{Difference}\end{array}\nonumber\]
Simplificar:\((2x^2 − 4x + 3) + (5x^2 − 6x + 1) − (x^2 − 9x + 8)\)
Solución
\[\begin{array}{rl}(2x^2-4x+3)+(5x^2-6x+1)-(x^2-9x+8)&\text{Rewrite without parenthesis} \\ 2x^2-4x+3+5x^2-6x+1\color{blue}{-}\color{black}{}x^2\color{blue}{+}\color{black}{}9x\color{blue}{-}\color{black}{}8&\text{Combine like terms} \\ 6x^2-x-4&\text{Simplified expression}\end{array}\nonumber\]
Sumar y restar expresiones polinomiales tarea
Evaluar la expresión para el valor dado.
\(−a^3 − a^2 + 6a − 21\)cuando\(a = −4\)
\(n^2 + 3n − 11\)cuando\(n = −6\)
\(n^3 − 7n^2 + 15n − 20\)cuando\(n = 2\)
\(n^3 − 9n^2 + 23n − 21\)cuando\(n = 5\)
\(−5n^4 − 11n^3 − 9n^2 − n − 5\)cuando\(n = −1\)
\(x^4 − 5x^3 − x + 13\)cuando\(x = 5\)
\(x^2 + 9x + 23\)cuando\(x = −3\)
\(−6x^3 + 41x^2 − 32x + 11\)cuando\(x = 6\)
\(x^4 − 6x^3 + x^2 − 24\)cuando\(x = 6\)
\(m^4 + 8m^3 + 14m^2 + 13m + 5\)cuando\(m = −6\)
Simplificar. Escribe la respuesta en forma estándar.
\((5p − 5p^4) − (8p − 8p^4)\)
\((7m^2 + 5m^3) − (6m^3 − 5m^2)\)
\((3n^2 + n^3) − (2n^3 − 7n^2)\)
\((x^2 + 5x^3) + (7x^2 + 3x^3)\)
\((8n + n^4) − (3n − 4n^4)\)
\((3v^4 + 1) + (5 − v^4)\)
\((1 + 5p^3) − (1 − 8p^3)\)
\((6x^3 + 5x) − (8x + 6x^3)\)
\((5n^4 + 6n^3) + (8 − 3n^3 − 5n^4)\)
\((8x^2 + 1) − (6 − x^2 − x^4)\)
\((3 + b^4) + (7 + 2b + b^4)\)
\((1 + 6r^2) + (6r^2 − 2 − 3r^4)\)
\((8x^3 + 1) − (5x^4 − 6x^3 + 2)\)
\((4n^4 + 6) − (4n − 1 − n^4)\)
\((2a + 2a^4) − (3a^2 − 5a^4 + 4a)\)
\((6v + 8v^3) + (3 + 4v^3 − 3v)\)
\((4p^2 − 3 − 2p) − (3p^2 − 6p + 3)\)
\((7 + 4m + 8m^4) − (5m^4 + 1 + 6m)\)
\((4b^3 + 7b^2 − 3) + (8 + 5b^2 + b^3)\)
\((7n + 1 − 8n^4) − (3n + 7n^4 + 7)\)
\((3 + 2n^2 + 4n^4 ) + (n^3 − 7n^2 − 4n^4)\)
\((7x^2 + 2x^4 + 7x^3) + (6x^3 − 8x^4 − 7x^2)\)
\((n − 5n^4 + 7) + (n^2 − 7n^4 − n)\)
\((8x^2 + 2x^4 + 7x^3 ) + (7x^4 − 7x^3 + 2x^2)\)
\((8r^4 − 5r^3 + 5r^2 ) + (2r^2 + 2r^3 − 7r^4 + 1)\)
\((4x^3 + x − 7x^2) + (x^2 − 8 + 2x + 6x^3)\)
\((2n^2 + 7n^4 − 2) + (2 + 2n^3 + 4n^2 + 2n^4)\)
\((7b^3 − 4b + 4b^4) − (8b^3 − 4b^2 + 2b^4 − 8b)\)
\((8 − b + 7b^3) − (3b^4 + 7b − 8 + 7b^2) + (3 − 3b + 6b^3)\)
\((1 − 3n^4 − 8n^3) + (7n^4 + 2 − 6n^2 + 3n^3) + (4n^3 + 8n^4 + 7)\)
\((8x^4 + 2x^3 + 2x) + (2x + 2 − 2x^3 − x^4) − (x^3 + 5x^4 + 8x)\)
\((6x − 5x^4 − 4x^2) − (2x − 7x^2 − 4x^4 − 8) − (8 − 6x^2 − 4x^4)\)